第2講第一章基本概念

第一章概率論的基本概念第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)第二節(jié)樣本空間隨機(jī)事件第三節(jié)頻率與概率第四節(jié)等可能概型(古典概型)第五節(jié)條件概率第六節(jié)獨(dú)立性第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)幾個(gè)具體試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)小結(jié)上一講中，我們了解到，隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.而概率論正是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的世界，開始第一步的探索和研究.從觀察試驗(yàn)開始研究隨機(jī)現(xiàn)象,首先要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察試驗(yàn).這里的試驗(yàn)是一個(gè)含義廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn),甚至對(duì)某一事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn).幾個(gè)具體試驗(yàn)

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命.上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;

(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果;

(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).用表示隨機(jī)試驗(yàn).小結(jié)幾個(gè)試驗(yàn)實(shí)例隨機(jī)試驗(yàn)的定義第二節(jié)樣本空間隨機(jī)事件樣本空間隨機(jī)事件事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算小結(jié)試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的

壽命試驗(yàn)測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.

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的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)

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觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的我們注意到根據(jù)這個(gè)目的,試驗(yàn)被觀察到多個(gè)不同的結(jié)果.

試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,是在試驗(yàn)前就明確的;或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,但可知道它不超過某個(gè)范圍.試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的樣本點(diǎn)e.

S現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具.一、樣本空間例如,試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).則樣本空間如果試驗(yàn)是測試某燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，S={t：t≥0｝樣本空間故若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：則樣本空間由以上兩個(gè)例子可見,樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的.調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).

也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔.這時(shí)，樣本點(diǎn)有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9種，樣本空間就由這9個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成.這時(shí)，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成.

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).

請(qǐng)注意：

實(shí)際中,在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),我們往往會(huì)關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集合.例如在測試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中,若規(guī)定燈泡的壽命(小時(shí))小于500為次品,那么我們關(guān)心燈泡的壽命是否滿足.或者說,我們關(guān)心滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)集合.這就是隨機(jī)事件試驗(yàn)的樣本空間的子集稱為的隨機(jī)事件.二、隨機(jī)事件如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}事件A={擲出1點(diǎn)}事件C{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}=基本事件:(相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件)事件

B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件Ai

={擲出i點(diǎn)},i=1,2,3,4,5,6由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.基本事件

當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)出現(xiàn).兩個(gè)特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用S表示;不件可事能而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件.即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用表示.?三、事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算則稱為

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件即A與B不可能同時(shí)發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律四、小結(jié)樣本空間和隨機(jī)事件的定義事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算那么要問:如何求得某事件的概率呢?下面幾節(jié)就來回答這個(gè)問題.研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事率件概的第三節(jié)頻率與概率頻率的定義概率的定義小結(jié)

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意義呢？我先給大家舉幾個(gè)例子，也希望你們?cè)傺a(bǔ)充幾個(gè)例子.

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.一、頻率的定義試驗(yàn)者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗(yàn)記錄可見,在大量重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具

有穩(wěn)定性.即通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.二、概率的定義三、小結(jié)頻率的定義概率的公理化定義及概率的性質(zhì)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有隨機(jī)性，它發(fā)生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo).它介于0與1之間.第四節(jié)等可能概型(古典概型)古典概型的定義古典概率的求法舉例小結(jié)我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為古典概型一、古典概型假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果

假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如

ei，比任一其它結(jié)果，例如

ej,更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會(huì).e1,e2,…，eN

,常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN

試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？23479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得.也就是說，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.1324567891010個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是1/1023479108615我們用i表示取到i號(hào)球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗(yàn)的樣本空間如i=2稱這種試驗(yàn)為等可能隨機(jī)試驗(yàn)或古典概型.

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

定義1二、古典概型中事件概率的計(jì)算記

A={摸到2號(hào)球}

P(A)=?

P(A)=1/10記

B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456這里實(shí)際上是從“比例”

轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球},P(B)=6/10靜態(tài)動(dòng)態(tài)當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例.23479108615

三、古典概率計(jì)算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：CISNCEE問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次.解七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解=0.3024允許重復(fù)的排列問錯(cuò)在何處？例2

某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從10個(gè)不同數(shù)字中取5個(gè)的排列例3

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？

“等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.請(qǐng)注意：在許多場合，由對(duì)稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為1/N(N≥n)，求指定的n個(gè)站各有一人下車的概率.旅客車站3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.車禍天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).

這一節(jié)，我們介紹了古典概型.古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見的幾種模型.箱中摸球分球入箱隨機(jī)取數(shù)分組分配課下可通過作業(yè)進(jìn)一步掌握.四、小結(jié)古典概型的定義古典概率的求法第五節(jié)條件概率條件概率乘法公式小結(jié)

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.

B中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中.于是容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)則P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是

有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)

2)從加入條件后改變了的情況去算

4.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2

點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解

設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請(qǐng)看下面的例子

例2

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)

例3

設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的,設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.乘法公式應(yīng)用舉例一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”

b個(gè)白球,r個(gè)紅球隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.解

設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一場精彩的足球賽將要舉行,5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到‘入場券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！?/p>

我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個(gè)人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，則表示“第i個(gè)人未抽到入場券”因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場券，第1個(gè)人肯定沒抽到.也就是要想第2個(gè)人抽到入場券，必須第1個(gè)人未抽到，計(jì)算得：由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.同理，第3個(gè)人要抽到“入場券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，

有三個(gè)箱子,分別編號(hào)為1,2,3.1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球,3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時(shí)發(fā)生，123其中A1、A2、A3兩兩互斥看一個(gè)例子:三、全概率公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15運(yùn)用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥一個(gè)事件發(fā)生.某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因B是結(jié)果

例

甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.設(shè)A={飛機(jī)被擊落}

Bi={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式則A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)可求得為求P(Bi

),

設(shè)Hi={飛機(jī)被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問:四、貝葉斯公式看一個(gè)例子:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

例

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066

2.即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai

|B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.這一節(jié)我們介紹了全概率公式貝葉斯公式它們是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,同學(xué)們可通過進(jìn)一步的練習(xí)去掌握它們.五、小結(jié)條件概率的概念，給出了計(jì)算兩個(gè)或多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率的乘法公式，它在計(jì)算概率時(shí)經(jīng)常使用，需要牢固掌握.第六節(jié)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用小結(jié)顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨(dú)立，簡稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義

例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

可見P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨(dú)立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B