第2講第一章基本概念

第一章概率論的基本概念第一節(jié)隨機試驗第二節(jié)樣本空間隨機事件第三節(jié)頻率與概率第四節(jié)等可能概型(古典概型)第五節(jié)條件概率第六節(jié)獨立性第一節(jié)隨機試驗幾個具體試驗隨機試驗小結(jié)上一講中，我們了解到，隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.而概率論正是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機性的世界，開始第一步的探索和研究.從觀察試驗開始研究隨機現(xiàn)象,首先要對研究對象進行觀察試驗.這里的試驗是一個含義廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)試驗,甚至對某一事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗.幾個具體試驗

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命.上述試驗具有下列共同的特點:(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行;

(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能的結(jié)果;

(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

在概率論中將具有上述特點的試驗稱為隨機試驗.用表示隨機試驗.小結(jié)幾個試驗實例隨機試驗的定義第二節(jié)樣本空間隨機事件樣本空間隨機事件事件間的關(guān)系與事件的運算小結(jié)試驗是在一定條件下進行的

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.

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的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)

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觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).試驗有一個需要觀察的目的我們注意到根據(jù)這個目的,試驗被觀察到多個不同的結(jié)果.

試驗的全部可能結(jié)果,是在試驗前就明確的;或者雖不能確切知道試驗的全部可能結(jié)果,但可知道它不超過某個范圍.試驗是在一定條件下進行的試驗有一個需要觀察的目的樣本點e.

S現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.一、樣本空間例如,試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn).則樣本空間如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實數(shù)都是一個可能結(jié)果，S={t：t≥0｝樣本空間故若試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：則樣本空間由以上兩個例子可見,樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的.調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).

也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔.這時，樣本點有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9種，樣本空間就由這9個樣本點構(gòu)成.這時，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點構(gòu)成.

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).

請注意：

實際中,在進行隨機試驗時,我們往往會關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合.例如在測試某燈泡的壽命這一試驗中,若規(guī)定燈泡的壽命(小時)小于500為次品,那么我們關(guān)心燈泡的壽命是否滿足.或者說,我們關(guān)心滿足這一條件的樣本點組成的一個集合.這就是隨機事件試驗的樣本空間的子集稱為的隨機事件.二、隨機事件如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點}事件A={擲出1點}事件C{出現(xiàn)的點數(shù)大于4}=基本事件:(相對于觀察目的不可再分解的事件)事件

B={擲出奇數(shù)點}如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù).事件Ai

={擲出i點},i=1,2,3,4,5,6由一個樣本點組成的單點集.基本事件

當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個樣本點出現(xiàn)時,稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點1,3,5中的某一個出現(xiàn).兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗中必定發(fā)生的事件，常用S表示;不件可事能而“擲出點數(shù)8”則是不可能事件.即在一次試驗中不可能發(fā)生的事件，常用表示.?三、事件間的關(guān)系與事件的運算則稱為

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對立事件即A與B不可能同時發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

事件的運算滿足的規(guī)律四、小結(jié)樣本空間和隨機事件的定義事件間的關(guān)系與事件的運算那么要問:如何求得某事件的概率呢?下面幾節(jié)就來回答這個問題.研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事率件概的第三節(jié)頻率與概率頻率的定義概率的定義小結(jié)

研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？我先給大家舉幾個例子，也希望你們再補充幾個例子.

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.一、頻率的定義試驗者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗記錄可見,在大量重復(fù)的試驗中,隨機事件出現(xiàn)的頻率具

有穩(wěn)定性.即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.二、概率的定義三、小結(jié)頻率的定義概率的公理化定義及概率的性質(zhì)事件在一次試驗中是否發(fā)生具有隨機性，它發(fā)生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo).它介于0與1之間.第四節(jié)等可能概型(古典概型)古典概型的定義古典概率的求法舉例小結(jié)我們首先引入的計算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為古典概型一、古典概型假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果

假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如

ei，比任一其它結(jié)果，例如

ej,更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/N的出現(xiàn)機會.e1,e2,…，eN

,常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN

試驗結(jié)果你認(rèn)為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機會都是1/1023479108615我們用i表示取到i號球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機試驗為古典概型.34791086152且每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗的樣本空間如i=2稱這種試驗為等可能隨機試驗或古典概型.

若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.

定義1二、古典概型中事件概率的計算記

A={摸到2號球}

P(A)=?

P(A)=1/10記

B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456這里實際上是從“比例”

轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球},P(B)=6/10靜態(tài)動態(tài)當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例.23479108615

三、古典概率計算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：CISNCEE問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次.解七個字母的排列總數(shù)為7！這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解=0.3024允許重復(fù)的排列問錯在何處？例2

某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同.從10個不同數(shù)字中取5個的排列例3

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？

“等可能性”是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時必須注意“等可能性”的條件.請注意：在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計算事件的概率.2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：有n個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，設(shè)每個人在每站下車的概率為1/N(N≥n)，求指定的n個站各有一人下車的概率.旅客車站3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.車禍天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).

這一節(jié)，我們介紹了古典概型.古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見的幾種模型.箱中摸球分球入箱隨機取數(shù)分組分配課下可通過作業(yè)進一步掌握.四、小結(jié)古典概型的定義古典概率的求法第五節(jié)條件概率條件概率乘法公式小結(jié)

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.

B中共有3個元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個在集A中.于是容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)則P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是

有(1).設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(zhì)(自行驗證)

2)從加入條件后改變了的情況去算

4.條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2

點}，

B={擲出偶數(shù)點}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)

例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解

設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請看下面的例子

例2

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標(biāo)準(zhǔn)件300個乙廠生產(chǎn)300個乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標(biāo)準(zhǔn)件300個乙廠生產(chǎn)

例3

設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的,設(shè)A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.乘法公式應(yīng)用舉例一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”

b個白球,r個紅球隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.解

設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.后抽比先抽的確實吃虧嗎？

“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大.”到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大?！?/p>

我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，則表示“第i個人未抽到入場券”因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，計算得：由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，

有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發(fā)生，123其中A1、A2、A3兩兩互斥看一個例子:三、全概率公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15運用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥一個事件發(fā)生.某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達了它們之間的關(guān)系.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因B是結(jié)果

例

甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.設(shè)A={飛機被擊落}

Bi={飛機被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式則A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)可求得為求P(Bi

),

設(shè)Hi={飛機被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機被擊落的概率為0.458.于是該球取自哪號箱的可能性最大?這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:四、貝葉斯公式看一個例子:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用.它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

例

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗結(jié)果是陽性}，求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計算得

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066

2.即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認(rèn).

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識.當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計.貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai

|B)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.這一節(jié)我們介紹了全概率公式貝葉斯公式它們是加法公式和乘法公式的綜合運用,同學(xué)們可通過進一步的練習(xí)去掌握它們.五、小結(jié)條件概率的概念，給出了計算兩個或多個事件同時發(fā)生的概率的乘法公式，它在計算概率時經(jīng)常使用，需要牢固掌握.第六節(jié)獨立性兩個事件的獨立性多個事件的獨立性獨立性的概念在計算概率中的應(yīng)用小結(jié)顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.一、兩事件的獨立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.兩事件獨立的定義

例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

可見P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B