數(shù)值分析(計算方法)第七章

第七章函數(shù)逼近用簡單的函數(shù)p(x)近似地代替函數(shù)f(x)，是計算數(shù)學(xué)中最基本的概念和方法之一。近似代替又稱為逼近，函數(shù)f(x)稱為被逼近的函數(shù)，p(x)稱為逼近函數(shù)，兩者之差稱為逼近的誤差或余項。如何在給定精度下，求出計算量最小的近似式，這就是函數(shù)逼近要解決的問題函數(shù)逼近問題的一般提法：對于函數(shù)類A中給定的函數(shù)f(x)，要求在另一類較簡單的且便于計算的函數(shù)類B(

A)中尋找一個函數(shù)p(x)，使p(x)與f(x)之差在某種度量意義下最小。

最常用的度量標(biāo)準(zhǔn)：(一)一致逼近以函數(shù)f(x)和p(x)的最大誤差作為度量誤差f(x)－p(x)的“大小”的標(biāo)準(zhǔn)

在這種意義下的函數(shù)逼近稱為一致逼近或均勻逼近對于任意給定的一個小正數(shù)>0，如果存在函數(shù)p(x)，使不等式成立，則稱該函數(shù)p(x)在區(qū)間[a,b]上一致逼近或均勻逼近于函數(shù)f(x)。

(二)平方逼近：采用作為度量誤差的“大小”的標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)逼近稱為平方逼近或均方逼近。

§1正交多項式一、正交函數(shù)系的概念考慮函數(shù)系

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…

此函數(shù)系中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[-

,

]上的積分都等于0！我們稱這個函數(shù)中任何兩個函數(shù)在[-

,

]上是正交的，并且稱這個函數(shù)系為一個正交函數(shù)系。若對以上函數(shù)系中的每一個函數(shù)再分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使之成為：那么這個函數(shù)系在[-

,

]上不僅保持正交的性質(zhì)，而且還是標(biāo)準(zhǔn)化的(規(guī)范的)1．權(quán)函數(shù)定義7.1

設(shè)

(x)定義在有限或無限區(qū)間[a,b]上，如果具有下列性質(zhì)：(1)

(x)≥0，對任意x

[a,b]，(2)積分存在，(n=0,1,2,…)，(3)對非負(fù)的連續(xù)函數(shù)g(x)若

則在(a,b)上g(x)0稱

(x)為[a,b]上的權(quán)函數(shù)

2．內(nèi)積定義7.2

設(shè)f(x)，g(x)

C[a,b]，(x)是[a,b]上的權(quán)函數(shù)，則稱

為f(x)與g(x)在[a,b]上以(x)為權(quán)函數(shù)的內(nèi)積。

內(nèi)積的性質(zhì)：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0

f=0；(2)(f,g)=(g,f)；

(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；

(4)對任意實數(shù)k，(kf,g)=k(f,g)。3．正交性定義7.3

設(shè)f(x)，g(x)C[a,b]若則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)(x)正交。

定義7.4

設(shè)在[a,b]上給定函數(shù)系，若滿足條件則稱函數(shù)系{k(x)}是[a,b]上帶權(quán)(x)的正交函數(shù)系，若定義7.4中的函數(shù)系為多項式函數(shù)系，則稱為以(x)為權(quán)的在[a,b]上的正交多項式系。并稱pn(x)是[a,b]上帶權(quán)(x)的n次正交多項式。特別地，當(dāng)Ak1時，則稱該函數(shù)系為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。二、常用的正交多項式1．切比雪夫(чебыщев)多項式定義7.5

稱多項式為n次的切比雪夫多項式(第一類)。

切比雪夫多項式的性質(zhì)：

(1)正交性：由{Tn(x)}所組成的序列{Tn(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)

的正交多項式序列。且(2)遞推關(guān)系相鄰的三個切比雪夫多項式具有三項遞推關(guān)系式：(3)奇偶性：

切比雪夫多項式Tn(x)，當(dāng)n為奇數(shù)時為奇函數(shù)；n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。

(4)Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個不同的零點(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1個不同的極值點使Tn(x)輪流取得最大值1和最小值-1。(6)切比雪夫多項式的極值性質(zhì)Tn(x)的最高次項系數(shù)為2n-1(n=1,2,…)。

定理7.1

在-1≤x≤1上，在首項系數(shù)為1的一切n次多項式Hn(x)中與零的偏差最小，且其偏差為即，對于任何，有2．勒讓德(Legendre)多項式定義7.6

多項式稱為n次勒讓德多項式。勒讓德多項式的性質(zhì)：(1)正交性勒讓德多項式序列{pn(x)}是在[-1,1]上帶權(quán)(x)=1的正交多項式序列。(2)遞推關(guān)系相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關(guān)系式：(3)奇偶性：

當(dāng)n為偶數(shù)時，pn(x)為偶函數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時，pn(x)為奇函數(shù)。(4)pn(x)的n個零點都是實的、相異的，且全部在區(qū)間[-1,1]內(nèi)部。3．其它常用的正交多項式(1)第二類切比雪夫多項式定義7.7

稱為第二類切比雪夫多項式。①{un(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項式序列。②相鄰的三項具有遞推關(guān)系式：(2)拉蓋爾(Laguerre)多項式定義7.8稱多項式為拉蓋爾多項式。①{Ln(x)}是在區(qū)間[0,+∞]上帶權(quán)

(x)=e-x

的正交多項式序列。

②相鄰的三項具有遞推關(guān)系式：

(3)埃爾米特(Hermite)多項式定義7.9

稱多項式

為埃爾米特多項式。的正交多項式序列。①{Hn(x)}是在區(qū)間(-,+)上帶權(quán)函數(shù)②相鄰的三項具有遞推關(guān)系式：§2

最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定義7.10設(shè)函數(shù)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，對于

任意給定的

>0，如果存在多項式p(x)，使不等式成立，則稱多項式p(x)在區(qū)間[a,b]上一致逼近(或均勻逼近)于函數(shù)f(x)。維爾斯特拉斯定理若f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對于任意

>0，總存在多項式p(x)，使對一切a≤x≤b有§3最佳平方逼近1．函數(shù)系的線性關(guān)系定義7.11

若函數(shù)，在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如果關(guān)系式

當(dāng)且僅當(dāng)時才成立，則稱函數(shù)在[a,b]上是線性無關(guān)的，否則稱線性相關(guān)。設(shè)是[a,b]上線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)a0,a1,…,an是任意實數(shù)，則并稱是生成集合的一個基底。的全體是C[a,b]的一個子集，記為定理7.3

連續(xù)函數(shù)在[a,b]上線性無關(guān)的充分必要條件是它們的克萊姆(Gram)行列式Gn

0，其中2．廣義多項式設(shè)函數(shù)系{，…}線性無關(guān)，則其有限項的線性組合稱為廣義多項式。二、函數(shù)的最佳平方逼近定義7.12

對于給定的函數(shù)，若n次多項式滿足關(guān)系式則稱S*(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的n次最佳平方逼近多項式。定義7.13對于給定的函數(shù)如果存在使

則稱S*(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的最佳平方逼近函數(shù)。求最佳平方逼近函數(shù)的問題可歸結(jié)為求它的系數(shù)使多元函數(shù)取得極小值。I(a0,a1,…，an)是關(guān)于a0,a1,…，an的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)取得極值的必要條件，(k=0,1,2,…,n)得方程組最小二乘！如采