2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 拋物線（精講）（解析版）

9.5拋物線（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一拋物線的定義及運用【例1】（1）（2021·全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，是上一點.若，則（）A． B．5 C． D．（2）．（2021·全國高三（理））已知拋物線的準(zhǔn)線為，點是拋物線上的動點，直線的方程為，過點分別作，垂足為，，垂足為，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由可得，準(zhǔn)線為，設(shè)，因為，由拋物線的定義得，解得：，所以，所以，故選：A.（2）令拋物線的焦點為F，則，連接PF，如圖，因是拋物線的準(zhǔn)線，點是拋物線上的動點，且于，于是得，點到直線：的距離，又于，顯然點P在點F與N之間，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)F，P，N三點共線時取“=”，所以的最小值為.故選：B【一隅三反】1．（2021·廣西柳州·高三開學(xué)考試（理））已知F是拋物線的焦點，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由得，所以F到直線l的距離為故選：B2．（2021·長春市基礎(chǔ)教育研究中心（長春市基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中心）高三（文））已知是拋物線上的一動點，是拋物線的焦點，點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】過作垂直準(zhǔn)線，為垂足，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)縱坐標(biāo)相等時取等號）故選：C3（2021·深州長江中學(xué)）已知是拋物線的焦點，，是該拋物線上兩點，，則的中點到準(zhǔn)線的距離為（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是其焦點，設(shè)，，由拋物線定義得：，于是得，則線段的中點的縱坐標(biāo)為，所以的中點到準(zhǔn)線的距離為.故選：C考法二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（1）．（2021·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（文））已知拋物線：的焦點為，點在上且滿足，則（）A． B． C． D．（2）（2021·廣西柳州市·柳鐵一中高三月考（文））拋物線y2＝2px（p0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P為拋物線上一點，PAl，垂足為A，若直線AF的斜率為，＝4，則拋物線方程為（）A．y2＝4x B．y2＝x C．y2＝8x D．y2＝x【答案】（1）D（2）A【解析】（1）由拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離可知，故選：D（2）∵直線AF的斜率為，∵拋物線的定義知，∴△PAF為等邊三角形，∴，∴在Rt△AKF中，，∴拋物線方程為．故選：A【一隅三反】1．（2021·全國高三月考（文））拋物線上點到其準(zhǔn)線的距離為1，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線即，可得準(zhǔn)線方程，因為到其準(zhǔn)線的距離為1，所以，解得，故選：.2．（2021·湖南湘潭市·高三）已知拋物線：（）的焦點為，點在上，且，若點的坐標(biāo)為，且，則的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】設(shè)為，則，又由，所以，因為，所以，可得，由，聯(lián)立方程組，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程為或．故選：A．3．（2021·汕頭市澄海中學(xué)）若拋物線上的點到焦點的距離是4，則拋物線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點的距離，則，所以，故拋物線方程為，故選：B．4．（2021·四川內(nèi)江·高三（理））已知直線：與拋物線相交于、兩點，若的中點為，且拋物線上存在點，使得（為坐標(biāo)原點），則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，由點為的中點，所以設(shè)，因為，可得，又由點在拋物線上，可得，即，解得或（舍去），所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.考法三直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】（1）（2021·云南師大附中高三月考（理））已知拋物線，過點且斜率為的直線與交于，兩點，若，則（）A． B． C． D．（2）（2021·江西高三月考（文））給定拋物線，F(xiàn)是其焦點，直線，它與E相交于A，B兩點，如果且，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）設(shè)直線，由得，設(shè)，，則有，又，所以，則，于是，且k>0，進(jìn)一步得.故選：B．（2）直線與拋物線方程聯(lián)立得：，因為直線與拋物線相交于A，B兩點，所以，設(shè)，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，因此，所以或故選：C【一隅三反】1．（2021·廣東高三月考）已知直線過拋物線：的焦點，與拋物線交于，兩點，且，，成等差數(shù)列，則直線的斜率（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得直線的斜率存在.因為拋物線：的焦點，所以直線的方程可設(shè)為，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，因此，因為，，成等差數(shù)列，所以，于是有，化簡得：，而，所以解得：或（舍去），因為，所以，解得，故選：D2．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）設(shè)拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線交于點，若，則直線的方程為___________.【答案】【解析】因為拋物線方程為，所以焦點，準(zhǔn)線.設(shè)，直線方程為，代入拋物線方程消去，得，所以.又過的中點作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點，設(shè)，可得，因為，所以，得到，所以.因為，所以，解之得，所以，直線方程為，即.故答案為：.3．（2021·四川高三（理））已知AB，CD是過拋物線焦點F且互相垂直的兩弦，則的值為__________.【答案】【解析】由題設(shè)，直線、的斜率一定存在，設(shè)為，，，聯(lián)立拋物線方程，可得且，∴，，而，，∴，由，設(shè)為，，，聯(lián)立拋物線，可得，同理有，，∴，綜上，.故答案為：.考法四弦長【例4】（1）（2021·黑龍江實驗中學(xué)高三（文））已知拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A?B兩點，若AB的中點為，則線段AB的長為（）A． B．4 C．5 D．4或5（2）（2021·全國高三開學(xué)考試（理））已知點F為拋物線的焦點，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，若，則（）A．9 B． C． D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）設(shè)，因為中點坐標(biāo)為，可得，，因為直線AB過焦點，可設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，整理得，則，因為均為拋物線上的點，可得，兩式相加得，即，解得或，因為，可得或.故選：D.（2）因為焦點，設(shè)直線l的方程為，代入拋物線方程，得．設(shè)，，由韋達(dá)定理得．因為，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．故選D．【一隅三反】1．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知直線過拋物線：的焦點，并交拋物線于，兩點，，則弦中點的橫坐標(biāo)是（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如圖，由題意可得拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線于，過分別作于點，于點，則，因為弦的中點為，所以，所以點的橫坐標(biāo)是，故選：C2．（2021·河南高三（文））拋物線：的焦點為，過點且平行于軸的直線與線段的中垂線交于點，若點在拋物線上，則（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】若點在拋物線外部，如下圖，設(shè)線段的中點為，因為線段的中垂線是，所以，由拋物線定義，又等于點到準(zhǔn)線的距離，而圖中，所以點不在拋物線外部；若點在拋物線內(nèi)部，如下圖，設(shè)線段的中點為，，，因為線段的中垂線是，所以，再由拋物線定義得，解得或，所以時，，時，，故選：A.3．（2021·河北高三月考）已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】焦點，設(shè)直線為，代入拋物線方程得.設(shè)，由韋達(dá)定理得：①.由，即，有②∴由①②得：或，即，，化簡得，或（舍）.故選：B.4．（2021·全國高三（理））已知拋物線，過拋物線焦點F的直線與拋物線C交于A?B兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點P，若F為PB.中點，且，則|AB|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，N，由拋物線定義知，，又F為PB.中點，則，，則，，，則故選：D5．（2021·全國高三）已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則．過作于，交軸于，則，，,所以，，所以，得，從而四邊形的面積為．故選：C.考法五綜合運用【例5】（2021·廣東）設(shè)為坐標(biāo)原點，過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，為線段的中點，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．C．當(dāng)時，D．三角形的面積最小值為4【答案】C【解析】由題意，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，所以，所以，所以，，A．以線段為直徑的圓的圓心到直線距離為，圓與直線相離，A錯；B．，B錯；C．時，，又，，兩式聯(lián)立解得，所以，C正確；D．，D錯．故選：C．【一隅三反】1．（2021·遼寧朝陽·高三）拋物線（）的焦點為，過與軸垂直的直線交于點，，有下列四個命題：甲：點坐標(biāo)為；乙：拋物線的準(zhǔn)線方程為；丙：線段長為4；?。褐本€與拋物線相切．如果只有一個命題是假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】拋物線（）的焦點坐標(biāo)為，若，則，，甲正確；拋物線的準(zhǔn)線方程為，乙錯誤；拋物線的通徑為，丙正確；拋物線方程為，與聯(lián)立，可得，即，可得直線與拋物線相切于，丁正確．若，則，可得，甲錯誤；準(zhǔn)線方程為，乙正確；拋物線的通徑為，丙錯誤，不合題意．故，甲、丙、丁正確，乙錯誤．故選：B．2．（2021·陜西寶雞·高三（理））拋物線的焦點為F，設(shè)是拋物線上的兩點，，則∠AFB的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知拋物線，所以，，結(jié)合拋物線定義得|AF|+|BF|＝x1+x2+p，|AF|+|BF|＝|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝.又|AB|=|AF|+|BF|（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）?2|AF|?|BF||AB|2．所以cos∠AFB，，∠AFB的最大值為.故選：B.3．（2021·河北滄州市·高三月考）（多選）已知直線與拋物線交于兩點，若線段的中點是，則（）A． B．C． D．點在以為直徑的圓內(nèi)【答案】AB【解析】對于A，設(shè)，，由得：，，又線段的中點為，，解得：，A正確；對于B，在直線上，，B正確；對于C，過點，為拋物線的焦點，，C錯誤；對于D，設(shè)，則，又，，，在以為直徑的圓上，D錯誤.故選：AB.4．（2021·湖南高三）（多選）已知直線和拋物線交于、兩點，直線、（為坐標(biāo)原點）的斜率分別為、，若，則（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】設(shè)點、，聯(lián)立，消去可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，.對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，，解得，B選項正確；對于C選項，，，