傅里葉變換的由來及復(fù)數(shù)下的傅里葉變換公式證明

1、考慮到一個(gè)函數(shù)可以展開成一個(gè)多項(xiàng)式的和，可惜多項(xiàng)式并不能直觀的表示周期函數(shù)，由于正余弦函數(shù)是周期函數(shù)，可以考慮任意一個(gè)周期函數(shù)能否表示成為一系列正余弦函數(shù)的和。假設(shè)可以，不失一般性，于是得到：f2如+>A口宙口（齡側(cè)f+護(hù)H）,FT-12、將后面的正弦函數(shù)展開：A?sin(n?￡+(pn}—Ansin趴cosnot；+cos<pasinn(at,于是得到：那么如何計(jì)算a,b,a這些參數(shù)成為能否展開成為正余弦函數(shù)的關(guān)鍵。nn0面的這些積分為于是得到：那么如何計(jì)算a,b,a這些參數(shù)成為能否展開成為正余弦函數(shù)的關(guān)鍵。nn0面的這些積分為0被稱之為正余弦函數(shù)的正交性。這些證明很簡(jiǎn)單，可惜當(dāng)初學(xué)習(xí)正余弦函數(shù)的時(shí)候可能遇到過，但是卻不知道這些東西能干什么用。下面的處理手段凸顯了大師的風(fēng)范：如果我們隊(duì)原函數(shù)進(jìn)行如下積分，得到很神奇的東西：jH"「--Xcxjs^rd.r7jH"「--Xcxjs^rd.r7bksm/\rd.T.后面的積分很明顯是0,于是我們求出了a。的值。那么如何求出a，如果讓原函數(shù)乘以cos(nx)再進(jìn)行積分。利用三角函數(shù)的正交性，可以得到：/（3那么如何求出a，如果讓原函數(shù)乘以cos(nx)再進(jìn)行積分。利用三角函數(shù)的正交性，可以得到：/（3：）ctifirLrd.r再用sin(nx)乘，再進(jìn)行積分就會(huì)得到b,n于是乎得到了一個(gè)任意函數(shù)展開成為正余弦函數(shù)的通用表達(dá)式，同時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是讓整個(gè)表達(dá)式更具有通用性，體現(xiàn)一種簡(jiǎn)潔的美。通過了以上的證明過程，應(yīng)該很容易記住傅里葉變換的公式。到此為止，作為一個(gè)工程人員不用再去考慮了，可是作為每一個(gè)數(shù)學(xué)家他們想的很多，他們需要知道右側(cè)的展開式為什么收斂于原函數(shù)，這個(gè)好難，有個(gè)叫Dirichlet的家伙證明出如下結(jié)論：定理￡收斂定理，狄利克雷(Diruh就)充分條件)設(shè)兒八是周期為2rr的周期函數(shù)?如果它滿足：(1｝在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一董閭斷點(diǎn)*f.2)在一個(gè)周期內(nèi)至參只有有限個(gè)根值點(diǎn).則心〉的傅里葉級(jí)數(shù)收爼并且當(dāng)-r是的連續(xù)盒時(shí).級(jí)數(shù)收毀于點(diǎn)上；:當(dāng)’是門八的間斷點(diǎn)時(shí).級(jí)數(shù)收斂于y[/(^)+U*)]■有興趣的可以繼續(xù)找書看，可惜我有興趣沒時(shí)間??…至此以2n為周期的傅里葉變換證明完畢，只不過我們經(jīng)常遇到的周期函數(shù)我想應(yīng)該不會(huì)這么湊巧是2n,于是乎任意的一個(gè)周期函數(shù)如何知道其傅里葉變換呢，數(shù)學(xué)向來都是一個(gè)很具有條理性的東西，任意周期的函數(shù)的傅里葉變換肯定也是建立在2n周期函數(shù)的基礎(chǔ)之上的。也就是說如何讓一個(gè)以21為周期的函數(shù)變成一個(gè)以2n為周期的函數(shù)，于是乎可以使

用z=2n*x/(2l),用z=2n*x/(2l),這樣就z就是一個(gè)以2n為周期的函數(shù)了，于是乎得到如下公式:傅里葉函數(shù)看起來其實(shí)還是比較復(fù)雜的，有沒有一種更簡(jiǎn)單的表達(dá)形式來表示呢。既然提出這個(gè)問題，肯定是有的，我個(gè)人猜想肯定是復(fù)變函數(shù)大師在挖掘復(fù)變函數(shù)的時(shí)候，用復(fù)變函數(shù)去套用經(jīng)典的傅里葉變換，偶然間發(fā)現(xiàn)的……—個(gè)基本的歐拉公式eie二COS9+i*sin6,這個(gè)很容易可以從復(fù)數(shù)的幾何意義上得知，我們通nn=1TOC\o"1-5"\h\za 1 jf(t)=o+厶(a[—(ejn?ot+e_j叫)]—b[—(ejn?ot—e_j叫)]T2 n2 n2n=1a守za—jb a+jb 、=f+乙(—n nejn叫t+n ne—jn叫t)2202n=11Ft亍J2匸打(t)dt，令廠=令廠=a_jbc一2￥[JZ左⑴cosne腫一丿區(qū)fT(燈sin卜?同]止 —三 一三1T=J2f(t)[cosn①t—jsinn①t]dtTOC\o"1-5"\h\zT_TT 0 021[t=—J2f(t)e_j叫dt,(n=1,2,3, )T_TT22同理：C=^~n n=J2f(t)e.j叫'dt,(n=1,2,3, ),_n2T_TT 1Ftc=J2f(t)e-j叫dt,(n=±1,±2,±3,nT_TT—22rfT（t）e如赤f(t)=C+