人口增長預測(12,8,5)

裴麗芳中國人口增長預測A題：中國人口增長預測

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)還做出了進一步的分析。關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。

附錄1《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》

附錄2人口數(shù)據(jù)（《中國人口統(tǒng)計年鑒》中的部分數(shù)據(jù)）及其說明1-1中國人口現(xiàn)狀概覽人口基數(shù)大人口老齡化性別比例失衡城鎮(zhèn)化問題數(shù)學建模解決實際問題對現(xiàn)狀進行分析研究12人口預測和人口策略所掌握的數(shù)據(jù)資料2001~2005年的人口總數(shù)（參考中國統(tǒng)計年鑒2006）各年人口市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)比例各年人口年齡比例及性別比例各年的育齡婦女年齡別生育率各年的人口出生性別比數(shù)學建模的任務即在此基礎(chǔ)上分析我國人口現(xiàn)狀，預測未來的人口發(fā)展趨勢以及研究人口計劃的措施。模型分析

人口模型是一個永恒的話題。目前，對近期的預測已可達到相當?shù)木?，但對作出較精確的中長期的預測還難以實現(xiàn)。由于人口增長的機理還是比較清楚的，而且本題要求作出較長期的預測，因此可選擇確定性系統(tǒng)的數(shù)學模型，建立一個描述隨時間演化過程的微分方程或差分方程，有些同學采用灰色系統(tǒng)模型，或一些統(tǒng)計模型，這對確定參數(shù)及人口的近期預測是比較有效的，但難以對人口中長期的變化作出預測。經(jīng)典人口模型1、指數(shù)增長模型（P9）2、阻滯增長（Logistic）模型(P11)3、偏微分方程模型(P162)4、Leslie迭代矩陣模型(P216)(姜啟源，《數(shù)學模型》)數(shù)據(jù)分析模型的建立必須考慮我國近年來人口發(fā)展的總趨勢。例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高、鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化人口的自然增長率＝出生率－死亡率；出生率＝育齡婦女的生育率×育齡婦女在總?cè)丝谥兴嫉谋壤青l(xiāng)差異（城，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)三級；或者城鎮(zhèn)，鄉(xiāng)兩級）男女性別差異城鎮(zhèn)化老齡化，不同年齡段生育率不同（體現(xiàn)年齡差異）偏微分方程模型：

含年齡結(jié)構(gòu)，連續(xù)模型，（求解時需離散化）

Leslie迭代矩陣模型：以年齡移算為基礎(chǔ)的離散建模在一定的程度上可以反映人口結(jié)構(gòu)的變化并且預測結(jié)果比較精確均忽略：城鄉(xiāng)差異，性別差異，人口遷移（城鎮(zhèn)化），可將此類因素綜合考慮在新的模型內(nèi)。

模型建立優(yōu)秀論文選講梁騰飛黃文超張程碩（鄭州大學，獲全國一等獎）中國人口預測及綜合評估模型【摘要】改進的Leslie矩陣模型，差分方程建模，灰色系統(tǒng)模型GM（1，1）預測參數(shù)，Logistic模型對城市化函數(shù)進行預測，Weibull分布確定了婦女的生育模式函數(shù)，推算得在2015年末，我國總?cè)丝趯⑦_到13.30億，城市化率達到53.8%左右的水平?！娟P(guān)鍵詞】：Leslie矩陣預測模型灰色GM(1,1)模型Logistic模型生育模式函數(shù)Weibull分布1.問題重述2.問題分析從中國的實際情況和人口增長的特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做預測；特別要指出模型中的優(yōu)點與不足之處。

人口模型是研究較多的數(shù)學模型之一，其理論也非常豐富,從指數(shù)增長（馬爾薩斯）模型到Logistic阻滯增長模型（連續(xù)偏微分方程），著名Leslie矩陣人口離散模型都可以對人口的發(fā)展趨勢進行預測。但由中國獨特國情決定(老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)偏高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等)，經(jīng)分析以上幾種模型都不能充分合理地反應現(xiàn)階段中國人口的發(fā)展趨勢?？紤]到Leslie矩陣人口模型是以年齡移算為基礎(chǔ)的離散建模，在一定的程度上可以反映人口結(jié)構(gòu)的變化并且預測結(jié)果比較精確。但由于Leslie模型忽略了性別差異，在我國國情環(huán)境下偏差較大，考慮對Leslie模型進行改進，考慮男女性生育及遷移的交叉性，建立多轉(zhuǎn)移矩陣離散模型，則可將此類因素綜合考慮在內(nèi)。

考慮到Leslie矩陣人口模型是以年齡移算為基礎(chǔ)的離散建模，在一定的程度上可以反映人口結(jié)構(gòu)的變化并且預測結(jié)果比較精確。但由于Leslie模型忽略了性別差異，在我國國情環(huán)境下偏差較大，考慮對Leslie模型進行改進，考慮男女性生育及遷移的交叉性，建立多轉(zhuǎn)移矩陣離散模型，則可將此類因素綜合考慮在內(nèi)。

3-1基本假設(shè)（1）假設(shè)所有婦女均正?；榕?，均在育齡生育，不考慮多胎；（2）假設(shè)所有人口都是自然死亡，不考慮其余因素（自然災害、戰(zhàn)爭、事故等）；（3）假設(shè)在短期內(nèi)，城鄉(xiāng)各年齡男女的自然死亡率相對穩(wěn)定；（4）不考慮地區(qū)、民族政策等額外因素帶來的影響；（5）認為所有的出生、死亡都在每年年初進行；（6）只考慮0~90歲的人口狀況，90歲的人一年后自然死亡；（7）假設(shè)國家對人口的宏觀調(diào)控是有效的；（8）不考慮國際人口遷移；（9）假設(shè)所給數(shù)據(jù)真實可信。（個別異常數(shù)據(jù)酌情處理）3-2符號說明k 年份i 人口年齡i0,i1 育齡婦女的育期起止年齡（15-49）P

人口d 死亡率 s=1-d 存活率b 年齡別生育率=總生育數(shù)÷該年齡段婦女總數(shù)B0 總和生育率r 性別比（r0

人口出生性別比=活女嬰÷總）

g 凈人口遷移數(shù)，遷入為正M 城鎮(zhèn)化率3-2符號說明**例如：

P(k)為k年總?cè)丝?，P(i,k)為k年i齡總?cè)丝?，Pm(k)為k年男性總?cè)丝?，Pmc(i,k)為k年i齡的城市男性人口。 下標m代表男性，f代表女性，c代表城市，t代表城鎮(zhèn)，v代表農(nóng)村 其余符號系統(tǒng)采取同樣的格式?！駇,f 性別標識符，作后綴，m-男性，f-女●c,t,v 城鄉(xiāng)標識符，c-城市，t-城鎮(zhèn)，v-鄉(xiāng)村；建模前的準備人口基數(shù)（數(shù)據(jù)）

數(shù)表中，可查得各年中國人口1%調(diào)查數(shù)據(jù)，量少，只用求比例，引用中國統(tǒng)計年鑒網(wǎng)[1]上面發(fā)布2001~2005全國人口總數(shù)，推算各年的市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)男女人口基數(shù)人口基數(shù)Leslie矩陣預測模型人口的年際變遷符合如下年齡移算差分方程組：

(1)-第k+1年0歲人口=∑總?cè)丝凇翄D女比例×出生率(2)-第k+1年i歲人口=第k年i-1歲存活Leslie矩陣模型：P(k+1)=LP(k)不能體現(xiàn)城鄉(xiāng)差異城鄉(xiāng)的遷移現(xiàn)象無法用此模型得到一個完整的描述。只適用于所有人口混合考慮的年際變化；對于人口性別比例的因素無法研究；（不體現(xiàn)性別差異）

因此，為了適應與我國國情，能夠細致地考慮到各種因素的影響，必須對Leslie模型進行改進。Leslie矩陣模型的局限性

將城，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)分開討論：以城市人口為例，人口的年際變遷符合如下年齡移算差分方程組：(1)-第k+1年0歲城市人口=∑總?cè)丝凇翄D女比例×出生率+遷入的0歲人口(2)-第k+1年i歲人口=第k年i-1歲存活+遷入5改進的模型Leslie矩陣模型：Pc(k+1)=APc(k)+gc5改進的模型現(xiàn)將男女人口分開討論，模型更正如下：對女性人口：Pf(k+1)=APf(k)+rfg(A為轉(zhuǎn)移矩陣)

即：假設(shè)遷移人口的性別比與目標地的性別比相當，而且出生的女嬰數(shù)=生育數(shù)×人口出生性別比，其余沿用原模型的假設(shè)。對男性人口：Pm(k+1)=B1Pm(k)+B2Pf(k)+(1-rf)g

即：第k+1年的男嬰數(shù)由第k年的女性人數(shù)Pf(k)確定，其余年齡的均由第k年的男性人數(shù)Pm(k)確定。因此，只要系數(shù)確定，則可由前一年的人口狀況預測下一年的情況。(存活率（死亡率），年齡別生育率，出生人口性別比，遷入（出）人口四組參數(shù))改進的Leslie矩陣預測模型建立的關(guān)鍵是存活率（死亡率），年齡別生育率，出生人口性別比，遷入（出）人口四組參數(shù)的確立，其精度直接影響人口模型的好壞參數(shù)確定根據(jù)已有數(shù)據(jù)來確定參數(shù):從實際數(shù)據(jù)出發(fā)，基于一定的機理，通過一定的擬合方式來確定參數(shù)擬合方式：曲線擬合，最小二乘，回歸分析，神經(jīng)網(wǎng)絡，灰色GM（1,1），支持向量機等；一些重要參數(shù)的擬合函數(shù)還可在文獻中查到對于中短期模型，死亡率，年齡別生育率都認為是五年來的平均，這是可以由概率理論保證的。由于出生人口性別比的波動性和影響其因素的復雜，其內(nèi)部機理難以分析。因此對短期的出生人口性別比的估計，可用灰色GM(1,1)模型預測。遷入（出）人口可以由城鎮(zhèn)化率間接得到，通過近年來中國城鎮(zhèn)化的發(fā)展趨勢和國家城鎮(zhèn)化部署結(jié)合事物的普遍發(fā)展規(guī)律建立了城鎮(zhèn)化Logistic模型，且有很好的擬合優(yōu)度。這樣既可對中短期的模型進行matlab求解。 而對于長期模型，固定的參數(shù)不可能長期生效，而應該根據(jù)人口現(xiàn)狀積極進行有利的調(diào)整。因此可以對參數(shù)進行函數(shù)化，令政策的影響體現(xiàn)在參數(shù)中，根據(jù)長期的預測的結(jié)果來評估政策的效果，這是長期政策的方向與作用短期模型參數(shù)的確定存活率（死亡率）的估計：經(jīng)過觀察，發(fā)現(xiàn)5年間各類人口的死亡率相對固定，認為短期內(nèi)死亡率不變，均為5年的均值：存活率（死亡率）的估計 假設(shè)短期內(nèi)國家醫(yī)療水平不變化，2001-2005年存活率參數(shù)應該有一個相對穩(wěn)定的值。自然死亡X是一個隨機事件，可以看作是概率為d(i)的兩點分布(假設(shè)死亡為1，存活為0)，d(i)的極大似然估計即是某年i齡人群死亡人數(shù)的樣本均值，實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)即是據(jù)此得到的。根據(jù)中心極限定理[3]P206，可證明此樣本的均值服從均值為m

，方差為的正態(tài)分布。則在方差未知的條件下，n年內(nèi)各年死亡率的均值則服從自由度為n-1的t分布[3]P276?？梢哉J為統(tǒng)計樣本足夠大，那么可以用死亡率5年的均值的估計d(i)值（方差暫不考慮）作為短期內(nèi)各年齡死亡率的估計值：

年齡別生育率的估計

同樣的原因，取5年的年齡別生育率之均值作為實際年齡別生育率的估計，并假設(shè)短期不變。出生人口性別比的估計

數(shù)據(jù)給出了1994年到2005年的出生人口性別比，但數(shù)據(jù)呈現(xiàn)較大的隨機波動，其內(nèi)部機理難以分析，因此采用灰色GM(1,1)模型預測：灰色GM(1,1)模型預測步驟：先對數(shù)據(jù)進行累加：相應的白化微分方程為：引入記號：用最小二乘法求解：5.則其時間響應序列為：6.還原值（預測值）為：GM（1，1）模型同時，在預測一個新的數(shù)據(jù)的時候舍棄掉最舊的數(shù)據(jù)，利用Matlab求解，得到如下結(jié)果：求解與分析 用此模型計算1995~2005年的城市出生男女比，并與實際數(shù)據(jù)作誤差檢驗，最大相對誤差為2001年的2.37%（詳細的誤差檢驗表見附表3），并計算模擬數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的絕對關(guān)聯(lián)度=0.9931，符合二級精度等級檢驗，發(fā)展系數(shù)a=-0.0026，a<0.3，則1步預測精度在98%以上，2步和5步預測精度都在97%以上，模型可以用于中短期預測。GM（1，1）模型的有效性

城鎮(zhèn)遷移人口的確定據(jù)了解，我國人口城鎮(zhèn)化正處于高速發(fā)展的階段，每年有大量的農(nóng)村人口遷移到城鎮(zhèn)。從發(fā)達國家的發(fā)展歷程，可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律：國家的城鎮(zhèn)化一般從低水平慢速發(fā)展，在一定條件下經(jīng)歷一個高速發(fā)展的階段后逐漸減緩，最終達到一個相對穩(wěn)定的水平。用來描述這個S形的發(fā)展趨勢，Logistic模型應當是合適的，下面即用Logistic曲線建立模型：城鎮(zhèn)化的Logistic模型據(jù)文獻了解，在2010年前后，中國城鎮(zhèn)化水平將接近45%，2020年超過50%，2050年將達到70%左右，初步完成中國城鎮(zhèn)化戰(zhàn)略。并且發(fā)達國家的城鎮(zhèn)化水平一般為75%左右?？梢杂纱舜_定Logistic模型的參數(shù)：其中，M(t)為t年的城鎮(zhèn)化率，m0為2010年的城鎮(zhèn)化率m0=

M(t0)=0.45，k0為中國城鎮(zhèn)化的理想極限值，參照發(fā)達國家的城鎮(zhèn)化水平，取k0=0.75。于是得到：如圖示，我國現(xiàn)正處城鎮(zhèn)化高速發(fā)展階段，作為短期預測，取該段的線性化函數(shù)作為近似：并且，認為轉(zhuǎn)到市的人口與轉(zhuǎn)到鎮(zhèn)的人口比例為3:7，男女均等。短期模型的求解取2005年的人口數(shù)據(jù)作為初值，和上面求得的參數(shù)代入改進Leslie矩陣模型，利用Matlab求解，可以得到2006~2015年的中國人口狀況短期預測值：表4人口概況預測（單位：百萬）：人口年齡結(jié)構(gòu)預測1、平均年齡R(k)：

2、平均壽命L(k)：一個嬰兒存活時間的期望3、老齡化指數(shù)n(k)：平均年齡與平均壽命的比值，比值越大說明老齡化越嚴重先給出幾個重要指標的定義4、撫養(yǎng)比：非勞動年齡（15-64歲）人口數(shù)與勞動年齡人口數(shù)之比，表明平均每個人平均扶養(yǎng)的人數(shù)求得各項參數(shù)的結(jié)果：表52006∽2015年我國人口年齡結(jié)構(gòu)預測表62006∽2015年我國人口城市化結(jié)構(gòu)預測圖62006-2015我國人口預測概況短期預測結(jié)果的分析與說明1人口基數(shù)： 10年之內(nèi)，全國總?cè)丝谌匀怀掷m(xù)增長，但增幅有所減緩。結(jié)果表明，前一階段的計劃生育是有成效的。2城鎮(zhèn)化： 未來10年內(nèi)，市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口由于城鄉(xiāng)遷移的原因，農(nóng)村人口變化與總?cè)丝诎l(fā)展趨勢有所不同，總的來說，市、鎮(zhèn)人口高速增長，而鄉(xiāng)村人口則反而減少。全國人口城鎮(zhèn)化速度非?？?，大量的農(nóng)村人口涌入城鎮(zhèn)，對于這一現(xiàn)象必須兩面考慮，城鎮(zhèn)化是國家發(fā)展程度的指標，但最終決定于生產(chǎn)力。作為國家，除了推動鎮(zhèn)化進程外，更應當理智的分析當前經(jīng)濟格局，農(nóng)村是否有足夠的生產(chǎn)力保障農(nóng)業(yè)；城鎮(zhèn)是否有足夠的能力容納大量的農(nóng)村人口；如何采取宏觀調(diào)控使得遷移人口取得一個合適的平衡值，這些都值得深思。短期預測結(jié)果的分析與說明3年齡比率： 10年內(nèi)我國老齡化程度日益加重，但其影響在短期內(nèi)不明顯，按常理分析，老齡化問題凸顯的時候，應該是實行計劃生育后一個生育周期(約為24年)之后才會出現(xiàn)；4性別比率： 對于現(xiàn)有人口整體性別比例來說，但由于生理特征，高年齡段女性死亡率比男性低，女性比例會較大。低年齡段男性卻明顯偏多。 而對于出生的性別比，波動較大，但基本呈上升趨勢，這是一個不好的趨勢，會破壞人口婚配平衡，從而影響到社會穩(wěn)定等，國家對此現(xiàn)象的控制只能從政策上保證男女平等，并從科學上克服生理不平衡，才能解決問題。模型的長期預測模型參數(shù)的改進（死亡率，年齡別生育率，出生人口性別比，人口遷移）1、死亡率仍然假設(shè)其死亡率不變，現(xiàn)有的死亡率仍然被沿用在長期模型中（由于醫(yī)療水平在一定時期內(nèi)難有提高，而且效果也難以明確）2、生育率由圖3的生育率曲線可以看出，女性的生育模式具有很強的規(guī)律性，并且在不同的條件下呈現(xiàn)出變化；觀察生育率曲線，可以定義一個特定的生育模式函數(shù)，函數(shù)的各個系數(shù)有明顯的意義，不同的政策可以體現(xiàn)在這個生育模式函數(shù)中。經(jīng)過相關(guān)文獻[7]的提示以及對曲線的實際觀察，認為引入Weibull分布描述比較合適。2、生育率

引入Weibull分布函數(shù)來描述育齡婦女的年齡別生育率，即生育模式函數(shù)B(i)：B0為總和生育率，影響生育模式函數(shù)的幅度；a和b為Weibull分布的參數(shù)，決定生育模式函數(shù)的形狀，i0為最低生育年齡。生育模式函數(shù)的形狀固定，a和b的參數(shù)也固定，以城鎮(zhèn)為例，可以通過擬合得出：a=0.0001791， b=3.482最后得到的生育模式函數(shù)由兩個可變參量i0和B0決定，其中i0為強制晚婚年齡，B0為總和生育率。因此只需要關(guān)于此兩個參量的政策決定，即可求得實際的年齡別生育率。這樣一來，所采取的人口政策即可以反映到模型中，在此基礎(chǔ)上進行預測，可以預測政策的實際效應并進行分析討論。在短期預測中，采用了Logistic曲線的局部線性化函數(shù)，而在長期預測中，實際的變化應該由整個Logistic曲線確定，即：3、城鎮(zhèn)遷移：4、人口出