復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章

留數(shù)理論及其應(yīng)用第五章1.留數(shù)的定義

2.留數(shù)定理

3.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則§5.1留數(shù)(Residue)C所圍成的區(qū)域內(nèi)含有f(z)的奇點(diǎn)z0一、留數(shù)的引入設(shè)C為區(qū)域D內(nèi)包含的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn))(fòdzzc未必為0，0,z所圍成的區(qū)域內(nèi)解析在)(Cf?íì=.的某去心鄰域:D內(nèi)的Laurent展式:在0(P49例3.3)0(柯西-古薩基本定理)定義設(shè)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z-z0)–1的系數(shù)

c–1稱(chēng)為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]。由留數(shù)定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)——綜上，的系數(shù)-01)(-zz展式中負(fù)冪項(xiàng)Laurent記作為f(z)在的。定義留數(shù),注二、利用留數(shù)求積分1.留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),則Dz1z2z3znC1C2C3CnC證明兩邊同時(shí)除以得，如圖,由復(fù)合閉路原理求沿閉曲線(xiàn)C積分求C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).注1(1)如果為的可去奇點(diǎn),一般規(guī)則說(shuō)明：2.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則成Laurent級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),展開(kāi)則需將(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算方法：1)應(yīng)用Laurent展式2)求n級(jí)極點(diǎn)的一般方法(求導(dǎo)運(yùn)算)1)應(yīng)用Laurent展式例5.1解如果為的級(jí)極點(diǎn),規(guī)則2那末如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則12)求n級(jí)極點(diǎn)的一般方法（當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則1)規(guī)則3

如果設(shè)及在都解析，那末為的一級(jí)極點(diǎn),

且有解例2例3解思考題思考題答案例2解例3解例4解故由留數(shù)定理得：

(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求留數(shù)，不要死套規(guī)則。如是f(z)的三級(jí)極點(diǎn)。---該方法較規(guī)則2更簡(jiǎn)單！

(2)由規(guī)則2的推導(dǎo)過(guò)程知，在使用規(guī)則2時(shí)，可將m取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更簡(jiǎn)單。如三、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)注意積分路線(xiàn)取順時(shí)針?lè)较蛘f(shuō)明記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，òp-=Czzfid)(21.......證由留數(shù)定義有:(繞原點(diǎn)的并將內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn))包含在2.定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)

(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.[證畢]說(shuō)明:由定理得(留數(shù)定理)計(jì)算積分計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).優(yōu)點(diǎn):使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化.(避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù))3.在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則4說(shuō)明:定理5.2和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線(xiàn)積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.現(xiàn)取正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C為半徑足夠大的正向圓周:于是有證內(nèi)除在外無(wú)其他奇點(diǎn).[證畢]例5計(jì)算積分C為正向圓周:函數(shù)在的外部,除點(diǎn)外沒(méi)有其他奇點(diǎn).解根據(jù)定理5.2與規(guī)則4:與以下解法作比較:被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則3可見(jiàn),利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單.例6計(jì)算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為由于與1在C的內(nèi)部,則所以小結(jié)與思考一概念-----留數(shù)一定理-----留數(shù)定理（計(jì)算閉路復(fù)積分）（重點(diǎn)）兩方法-----展開(kāi)式和規(guī)則求留數(shù)三規(guī)則-----求極點(diǎn)處留數(shù)（難點(diǎn)）五、小結(jié)與思考

本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計(jì)算以及留數(shù)定理.應(yīng)重點(diǎn)掌握計(jì)算留數(shù)的一般方法,尤其是極點(diǎn)處留數(shù)的求法,并會(huì)應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算閉路復(fù)積分.§5.2留數(shù)在定積分中的應(yīng)用其中

注意:

對(duì)的要求,分母Q(x)次數(shù)比分子P(x)至少高兩次，是函數(shù)在上半平面內(nèi)的有限個(gè)孤立奇點(diǎn)；

注意:

對(duì)的要求,分母比分子至少高一次，是函數(shù)在上半平面內(nèi)的有限個(gè)孤立奇點(diǎn)；思想方法

:封閉路線(xiàn)的積分

.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條注意：其中是函數(shù)在單位圓內(nèi)的有限個(gè)孤立奇點(diǎn)。形如當(dāng)歷經(jīng)變程時(shí),的正方向繞行一周.z沿單位圓周z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿(mǎn)足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).例