建筑力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

建筑力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第一頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.1概述結(jié)構(gòu)在荷載作用、溫度變化、支座移動(dòng)、制造誤差與材料收縮等因素影響下，將發(fā)生尺寸和形狀的改變，這種改變稱為變形。結(jié)構(gòu)變形后，其上各點(diǎn)的位置會(huì)有變動(dòng)，這種位置的變動(dòng)稱為位移。結(jié)構(gòu)的位移通常有兩種：即截面移動(dòng)和截面轉(zhuǎn)動(dòng)。13.1.1結(jié)構(gòu)的位移第二頁，共七十四頁，2022年，8月28日

截面移動(dòng)稱線位移，即各截面形心的移動(dòng)；截面轉(zhuǎn)動(dòng)稱角位移，用桿軸上該點(diǎn)切線方向的變化來表示。圖13.1所示剛架，在荷載作用下產(chǎn)生虛線所示變形。圖13.2所示結(jié)構(gòu)在荷載P作用下發(fā)生如虛線所示變形第三頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.1第四頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.2第五頁，共七十四頁，2022年，8月28日

(1)

為了驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度，即保證結(jié)構(gòu)的位移不超過允許的位移限值。

(2)

為計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，單用靜力平衡條件不能得到惟一確定解，還必須考慮位移條件。另外，在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)等過程中，往往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。13.1.2計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的第六頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.2變形體的虛功原理功與力和位移兩個(gè)因素有關(guān)，它等于物體上作用力和沿力方向的相應(yīng)位移的乘積。例如圖13.3(a)中，力P的相應(yīng)位移Δ=AA'cosα，力P所做的功T=P·AA'cosα。又如圖13.3(b)所示一轉(zhuǎn)盤受力偶M=P·D作用，設(shè)轉(zhuǎn)盤在力偶作用平面內(nèi)沿力偶轉(zhuǎn)動(dòng)方向有微小轉(zhuǎn)角dθ，則此力偶所做的功應(yīng)為

dT=PAA′+PBB′=P(AA′+BB′)13.2.1功、實(shí)功和虛功第七頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.3第八頁，共七十四頁，2022年，8月28日其中：AA′=OAdθBB′=OBdθAA′+BB′=(OA+OB)dθ=Ddθ所以dT=PDdθ=Mdθ

(a)

式(a)說明，力偶所做的功等于力偶矩M與角位移θ的乘積?？梢杂靡粋€(gè)公式來統(tǒng)一表達(dá)力或力偶做功：

T=PΔ

(13.1)第九頁，共七十四頁，2022年，8月28日力在自身所引起的位移上做功，稱為實(shí)功。如圖13.4(a)所示簡支梁，設(shè)其在P1作用下達(dá)到平衡時(shí)，P1作用點(diǎn)沿P1方向上產(chǎn)生的位移為Δ11。荷載P1在位移Δ11上所做的功用T11表示，則

T11=1/2P1Δ11(b)力在沿其它因素引起的位移上所做的功，稱為虛功。其它因素如另外的荷載作用、溫度變化或支座移動(dòng)等。如圖18.4(b)，位移Δ12由零增加至最終值的過程中，P1保持不變是常力，因此P1沿Δ12做功為

T12=P1Δ12(c)第十頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.4第十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日在荷載作用等因素影響下會(huì)產(chǎn)生變形的結(jié)構(gòu)稱為變形體。變形體的虛功原理可概括表述為

外力虛功W=內(nèi)力虛功W′

(13.2)做功的外力和內(nèi)力稱為力狀態(tài)或第一狀態(tài)，它們必須滿足平衡條件；位移和變形稱為位移狀態(tài)或第二狀態(tài)，它們必須滿足變形和支座約束條件。式(13.2)又稱為虛功方程。13.2.2變形體的虛功原理第十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日

在虛功方程中，若取第一狀態(tài)為實(shí)際狀態(tài)，第二狀態(tài)為虛擬狀態(tài)，也就是虛功中力狀態(tài)是實(shí)際的，位移狀態(tài)是虛擬的，這時(shí)，虛功原理也稱為虛位移原理；反之，若取第一狀態(tài)為虛擬狀態(tài)，第二狀態(tài)為實(shí)際狀態(tài)，也就是虛功中的力狀態(tài)是虛擬的，位移狀態(tài)是實(shí)際的，這時(shí)，虛功原理也稱為虛力原理。第十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.3荷載作用下位移計(jì)算的一般公式圖13.5(a)所示結(jié)構(gòu)在荷載q作用下發(fā)生了如圖中虛線所示變形。下面來求結(jié)構(gòu)上任一截面沿任一指定方向上的位移，如K截面的水平位移ΔK。在K點(diǎn)上作用一個(gè)水平的單位荷載PK=1，它應(yīng)與ΔK相對應(yīng)，如圖13.5(b)所示。虛擬狀態(tài)中的外力所做虛功

W=PK·ΔK=ΔK(a)首先在圖13.5(a)上取ds微段，其上由于實(shí)際荷載所產(chǎn)生的內(nèi)力MP、QP、NP作用下所引起的相應(yīng)變形為dθ、dη、dλ分別如圖13.5(c)、(d)、(e)所示，其計(jì)算式分別為第十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.5第十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日相對轉(zhuǎn)角dθ=1/ρds=Kds相對剪切變形dη=γds(b)相對軸向變形dλ=εds

由材料力學(xué)公式，有(c)第十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日

微段上虛內(nèi)力在實(shí)際變形上所做內(nèi)力虛功為整根桿件的內(nèi)力虛功可由積分求得為整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功等于各桿內(nèi)力虛功的代數(shù)和，即(d)(e)(f)第十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日由虛功方程式(13.2)，得將式(c)各項(xiàng)代入式(13.3)，有13.313.4第十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算利用式(13.4)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移時(shí)，應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況，只保留其中的一項(xiàng)或兩項(xiàng)。例如梁和剛架以彎曲變形為主，而剪切變形和軸向變形的影響很小，故可略去，式(13.4)簡化為而在桁架中，只存在軸力，且同一桿件的軸力N、NP及EA沿桿長l均為常數(shù)，故式(18.4)簡化成13.513.6第十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日例如圖13.6(a)所示懸臂剛架，橫梁上作用有豎向荷載q，當(dāng)求此荷載作用下的不同位移時(shí)，其虛設(shè)單位荷載有以下幾種不同情況：

(1)欲求A點(diǎn)的水平線位移時(shí)，應(yīng)在A點(diǎn)沿水平方向加一單位集中力如圖13.6(b)所示；

(2)欲求A點(diǎn)的角位移，應(yīng)在A點(diǎn)加一單位力偶如圖18.6(c)所示；

(3)欲求A、B兩點(diǎn)的相對線位移，應(yīng)在A、B兩點(diǎn)沿AB連線方向加一對反向的單位集中力如圖13.6(d)所示；第二十頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.6第二十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日

(4)

欲求A、B兩截面的相對角位移，應(yīng)在A、B兩截面處加一對反向的單位力偶如圖13.6(e)所示。

利用單位荷載法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的步驟是：

(1)

根據(jù)欲求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)；

(2)

列出結(jié)構(gòu)各桿段在虛擬狀態(tài)下和實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力方程；

(3)

將各內(nèi)力方程分別代入位移計(jì)算公式，分段積分求總和即可計(jì)算出所求位移。第二十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例18.1】求圖13.7(a)所示懸臂梁B端的豎向位移ΔBV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)取圖13.7(b)所示虛力狀態(tài)。

(2)實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩分別為(以下側(cè)受拉為正，B為原點(diǎn))MP=－1/2qx2(0≤x≤l)M=－x(0≤x≤l)

(3)將MP及M代入位移公式，得

計(jì)算結(jié)果為正，說明ΔBV的方向與虛設(shè)單位力方向一致。第二十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.7第二十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例18.2】試求圖13.8(a)所示簡支梁在均布荷載q作用下：(1)B支座處的轉(zhuǎn)角；(2)梁跨中C點(diǎn)的豎向線位移。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

求B截面的角位移。在B截面處加一單位力偶m=1，建立虛力狀態(tài)如圖13.8(b)。實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩分別為(以A為原點(diǎn))MP=ql2x-q/2×x2M=-1/l×x第二十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.8第二十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日

將MP、M代入位移公式得φB的結(jié)果為負(fù)值，表示其方向與所加的單位力偶方向相反，即B截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。(2)

求跨中C點(diǎn)的豎向線位移在C點(diǎn)加一單位力P=1，建立虛力狀態(tài)如圖18.8(c)所示。實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩分別為(以A為原點(diǎn))，當(dāng)0≤x≤l/2時(shí)，有第二十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日

因?yàn)閷ΨQ關(guān)系，因此得ΔCV的計(jì)算結(jié)果為正值，表示C點(diǎn)豎向線位移方向與單位力方向相同，即C點(diǎn)位移向下。第二十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例13.3】求圖13.9(a)所示懸臂剛架C截面的角位移φC。剛架EI為常數(shù)?！窘狻?1)取圖13.9(b)所示虛力狀態(tài)。

(2)實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩分別為(以內(nèi)側(cè)受拉為正)橫梁BC(以C為原點(diǎn))MP=-Px1(0≤x1≤l)M=-1(0≤x1≤l)豎柱BA(以B為原點(diǎn))MP=-Pl(0≤x2≤l)M=-1(0≤x2≤l)第二十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.9第三十頁，共七十四頁，2022年，8月28日

(3)將MP、M代入位移公式第三十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例18.4】計(jì)算圖13.10(a)所示屋架D點(diǎn)的豎向位移ΔDV。圖中右半部分括號內(nèi)數(shù)值為桿件的截面面積A(cm2)，設(shè)E=2.1×102kN/m2?！窘狻?1)取圖13.10(b)所示虛力狀態(tài)。

(2)實(shí)際荷載和單位荷載所引起的各桿內(nèi)力分別如圖13.10(a)左半部和13.10(b)左半部所示。

(3)根據(jù)Δ=∑NPNl/EA，可把計(jì)算數(shù)據(jù)列成表18.1。由此求得D點(diǎn)豎向位移ΔDV=(2×940.3-200)/(2.1×102)=8.0mm(↓)結(jié)果為正，表示D點(diǎn)位移向下。第三十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.10第三十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日表13.1計(jì)算半個(gè)屋架數(shù)值第三十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.5圖乘法在計(jì)算梁和剛架的位移時(shí)，經(jīng)常要為一桿件作如下積分：

當(dāng)荷載較復(fù)雜或桿件數(shù)目較多時(shí)，計(jì)算工作相當(dāng)繁瑣。但當(dāng)組成結(jié)構(gòu)各桿段符合下述條件：(1)桿軸為直線；(2)EI為常數(shù)；(3)M與MP兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形時(shí)，則可用下述圖乘法來代替積分運(yùn)算，使計(jì)算得到簡化。第三十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日如圖13.11所示，設(shè)結(jié)構(gòu)上AB桿段為等截面直桿，EI為常數(shù)，M圖為一段直線，而MP圖為任意形狀?，F(xiàn)以M圖的基線為x軸，以M圖的延長線與x軸的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立xOy坐標(biāo)系，則積分式(a)可寫成

由此可知，計(jì)算位移的積分就等于一個(gè)彎矩圖的面積w乘以其形心所對應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上的豎標(biāo)yC，再除以EI，于是積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)值乘除運(yùn)算，此法即稱圖乘法。第三十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.11第三十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日

下面指出應(yīng)用圖乘法計(jì)算位移的幾個(gè)具體問題當(dāng)結(jié)構(gòu)某一根桿件的M圖為折線形時(shí)，或者各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，然后進(jìn)行疊加。豎標(biāo)yC只能由直線彎矩圖中取值。如果MP與M圖都是直線，則yC可取自其中任一個(gè)圖形。當(dāng)圖形比較復(fù)雜，其面積或形心位置不易直接確定時(shí)，可采用疊加法。例如，圖13.12(a)所示兩個(gè)梯形應(yīng)用圖乘法，可不必求梯形的形心位置，而將其中一個(gè)梯形(設(shè)為MP圖)分成兩個(gè)三角形，分別圖乘后再疊加。第三十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.12第三十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日對于圖13.13所示由于均布荷載q所引起的MP圖，可以把它看作是兩端彎矩豎標(biāo)所連成的梯形ABDC與相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖疊加而成。

圖13.14給出了位移計(jì)算時(shí)常見的幾種曲線的面積和形心的位置。第四十頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.13第四十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.14第四十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日

圖乘法計(jì)算位移的解題步驟是：

(1)畫出結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP；

(2)據(jù)所求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)，畫出單位彎矩圖M；

(3)分段計(jì)算一個(gè)彎矩圖形的面積w及其形心所對應(yīng)的另一個(gè)彎矩圖形的豎標(biāo)yC；

(4)將w、yC代入圖乘法公式計(jì)算所求位移。第四十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例18.5】求圖13.15(a)所示簡支梁A端角位移φA及跨中C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)求φA①實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖13.15(b)所示。②在A端加單位力偶m=1，其單位彎矩圖M如圖13.15(c)所示。③MP圖面積及其形心對應(yīng)M圖豎標(biāo)分別為w=2/3/×1/8ql2×l=ql3/12yC=1/2④計(jì)算φAφA=1/EI×wyC=1/EI×ql3/12×1/2=ql3/24EI第四十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.15第四十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日(2)

求ΔCV①M(fèi)P圖仍如圖13.15(b)所示。②在C點(diǎn)加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖13.15(d)所示。③計(jì)算w、yC。由于M圖是折線形，故應(yīng)分段圖乘再疊加。因兩個(gè)彎矩圖均對稱，故計(jì)算一半取兩倍即可。w=2/3×1/8ql2×l/2=ql3/24yC=5/8×l/4=5l/32④計(jì)算ΔCVΔCV=2(1/EI×wyC)=5/384ql4(↓)第四十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例18.6】試求圖13.16(a)所示的梁在已知荷載作用下，A截面的角位移φA及C點(diǎn)的豎向線位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)分別建立在m=1及P=1作用下的虛設(shè)狀態(tài)，如圖13.16(c)、(d)所示。

(2)分別作荷載作用和單位力作用下的彎矩圖，如圖13.16(b)、(c)、(d)。

(3)圖形相乘。將圖(b)與圖(c)相乘，則得φA=-1/EI(Pa2/6+qa3/12)結(jié)果為負(fù)值，表示φA的方向與m=1的方向相反。第四十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.16第四十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日

計(jì)算ΔCV時(shí)，將圖(b)與圖(d)相乘，這里必須注意的是MP圖BC段的彎矩圖是非標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，所以圖乘時(shí)不能直接代入公式，應(yīng)將此部分面積分解為兩部分，然后疊加，則得ΔCV==1/EI(2/3Pa3+7/24qa4)(↓)第四十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例13.7】計(jì)算圖13.17(a)所示懸臂剛架D點(diǎn)的豎向位移ΔDV。各桿EI如圖示。【解】(1)實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖13.17(b)所示。

(2)在D端加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖13.17(c)所示。

(3)計(jì)算w、yC圖乘時(shí)應(yīng)分AB、BC、CD三段進(jìn)行，由于CD段M=0，可不必計(jì)入。故只計(jì)算AB、BC兩段。AB段：w1=2/3l2(取自M圖)y1=Pl/4第五十頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.17第五十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日BC段：w2=2l2/9y2=Pl/4

(4)計(jì)算ΔDVΔDV=1/EI(w1yC1)+1/2EI(w2yC2)=-5Pl3/(36EI)(↑)第五十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例13.8】計(jì)算圖13.18(a)所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)。【解】(1)實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖13.18(b)所示。

(2)在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖13.18(f)所示。

(3)計(jì)算w、yCBC段：w1=ql3/48y1=3/8l第五十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.18第五十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日AB段：w2=ql3/16y2=1/3w3=ql3/24y3=1/4l

(4)計(jì)算ΔCVΔCV=1/EI(w1y1+w2y2+w3y3)=ql4/(128EI)(↓)第五十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.6靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)或制造誤差，不引起任何內(nèi)力，且其內(nèi)部亦不產(chǎn)生變形，但整個(gè)結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生位移(純屬剛體位移)。如圖13.19(a)所示剛架，支座移動(dòng)為C1、C2、C3，致使整個(gè)結(jié)構(gòu)移動(dòng)到了虛線位置如圖示。下面利用虛功原理求結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)K沿i-i方向的位移ΔKi。以圖13.19(a)為實(shí)際狀態(tài)(位移狀態(tài))。為了建立虛功方程還需選取虛擬狀態(tài)(力狀態(tài))，為此在K點(diǎn)沿i-i方向加一個(gè)單位集中力PK=1，如圖13.19(b)所示。第五十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.19第五十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日容易計(jì)算出由于PK=1而引起的與實(shí)際位移C1、C2、C3相應(yīng)的支座反力R1、R2、R3。外力虛功為

W=PKΔKi+∑RC(a)而內(nèi)力虛功應(yīng)等于零，即

W′=0(b)由虛功原理W=W′，即

PKΔKi+∑RC=0而PK=1，代入上式整理得

ΔKi=-∑RC(13.8)第五十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例13.9】已知簡支梁AB跨度為l，右支座B豎直下沉Δ，如圖13.20(a)所示。試求梁中點(diǎn)C的豎向位移ΔCV?！窘狻?1)在梁中點(diǎn)C處加單位力P=1，如圖13.20(b)所示

（2）計(jì)算單位荷載作用下的支座反力由于A支座無位移，故只需計(jì)算B支座反力RB即可。由于對稱，B支座反力RB=1/2(↑)

(3)計(jì)算ΔCVΔCV=-∑RC=-(-1/2×Δ)=Δ/2(↓)計(jì)算結(jié)果為正，說明ΔCV與虛設(shè)單位力的方向一致。第五十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.20第六十頁，共七十四頁，2022年，8月28日【例13.10】三鉸剛架的跨度l=12m，高為h=8m。已知右支座B發(fā)生了豎直沉陷C1=6m，同時(shí)水平移動(dòng)了C2=4cm(向右)，如圖13.21(a)所示。試求由此引起的左支座A處的桿端轉(zhuǎn)角φA。【解】(1)在A處虛設(shè)單位力偶m=1，如圖13.21(b)所示。

(2)計(jì)算單位荷載作用下的支座反力由于A支座無位移，故只需計(jì)算B支座反力即可。取整體為隔離體，由∑MA=0得RBV·l-1=0RBV=1/l(↑)第六十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.21第六十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日取右半剛架BC為隔離體，由∑MC=0得RBH·h-RBV·l/2=0RBH=12h

(3)計(jì)算φAφA=-∑RC=-RBV·C1+RBH·C2)=0.0075rad計(jì)算結(jié)果為正，說明φA與虛設(shè)單位力偶m=1的轉(zhuǎn)向一致。第六十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日13.7功的互等定理如圖13.22所示簡支梁，分別作用兩組外力P1與P2，并分別稱為第一狀態(tài)(圖13.22(a))和第二狀態(tài)(圖13.22(b))。計(jì)算第一狀態(tài)的外力及其所引起的內(nèi)力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移和變形上所做的虛功T12和W12時(shí)，據(jù)虛功原理有T12=W12，即13.7.1功的互等定理第六十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖13.22第六十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日反之，計(jì)算第二狀態(tài)的外力及其所引起的內(nèi)力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移和變形上所做的虛功T21和W21時(shí)，據(jù)虛功原理有T21=W21，即上式表明