應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)

應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)第一頁，共八十九頁，2022年，8月28日定義

若事件A與B滿足P(AB)=P(A)P(B),

則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱A與B獨(dú)立。

推論1A.B為兩個(gè)事件,若P(A)>0,

則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(B|A)=P(B).

若P(B)>0,

則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(A|B)=P(A).第1.5節(jié)獨(dú)立性及其應(yīng)用

推論2

在A與B,與B,A與，與這四對事件中,若有一對獨(dú)立,則另外三對也相互獨(dú)立。第二頁，共八十九頁，2022年，8月28日性質(zhì)

若n個(gè)事件相互獨(dú)立，則

第三頁，共八十九頁，2022年，8月28日巴斯卡概率公式在n重貝努里試驗(yàn)中,如果第r次“成功”出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中,則幾何概率公式在n重貝努里試驗(yàn)中,如果第1次“成功”出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中,則二項(xiàng)概率公式在n重貝努里試驗(yàn)中,如果“成功”在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p,令Bk=“在n次試驗(yàn)中“成功”出現(xiàn)k次”,則第四頁，共八十九頁，2022年，8月28日第2章隨機(jī)變量及分布第2.1節(jié)隨機(jī)變量的概念第2.3節(jié)隨即變量的分布第2.4節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量第2.5節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第2.2節(jié)離散型隨機(jī)變量第五頁，共八十九頁，2022年，8月28日品質(zhì)數(shù)據(jù)的分類整理：數(shù)量數(shù)據(jù)分組：組距分組：單變量分組：條形圖、餅圖直方圖、折線圖組數(shù)：組距：排序計(jì)數(shù)頻率與直方圖分組的原則：窮盡原則，互斥原則第六頁，共八十九頁，2022年，8月28日例：某商店連續(xù)40天的商品銷售額（單位：萬元）如下：根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組，編制頻數(shù)分布表，并畫出直方圖。4125294738343038434046364537373645433344

4228463430374426384442363737493942323635第七頁，共八十九頁，2022年，8月28日按銷售額分組（萬元）頻數(shù)頻率%25-3030-3535-4040-4545-5046159610.015.037.522.515.0合計(jì)40100.0第八頁，共八十九頁，2022年，8月28日第九頁，共八十九頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分布特征的測度1、分布的集中趨勢：(1)眾數(shù)：出現(xiàn)頻率最高的值，用記之。算法(1)例1,2,4,4,5,6則1,2,3,3,4,5,6,6,7則第十頁，共八十九頁，2022年，8月28日(2)中位數(shù)：中間位置的數(shù)，用記之。算法(1)例1,2,3,4,5,6,7則1,2,3,4,5,6則第十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日(4)均值：1)簡單平均2)加權(quán)平均3)調(diào)和平均4)加權(quán)調(diào)和平均5)幾何平均其中第十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較對稱分布左偏分布右偏分布第十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日2、分布的離散程度：(1)(2)平均離差樣本方差(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差（4）極差第十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日例：求1,2,3,4,5的樣本均值，樣本方差。解：第十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日試驗(yàn)考察可能的結(jié)果拋擲一枚硬幣100次一家餐館營業(yè)一天抽查一批電子元件新建一座住宅樓銷售一輛汽車正面出現(xiàn)的次數(shù)顧客數(shù)使用壽命(小時(shí))半年完成百分比顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…

[0,)[0,100]男性為0,女性為1一、隨機(jī)變量(randomvariables)概念記為是一個(gè)隨機(jī)事件。第2.1節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布第十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日例如

(1)隨機(jī)地?cái)S一顆骰子，ω表示所有的樣本點(diǎn),ω:出現(xiàn)1點(diǎn)出現(xiàn)2點(diǎn)出現(xiàn)3點(diǎn)出現(xiàn)4點(diǎn)出現(xiàn)5點(diǎn)出現(xiàn)6點(diǎn)X(ω):123456(2)某人接連不斷地對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,直至射中為止，ω表示射擊次數(shù)，則ω射擊1次射擊2次......射擊n次......X(ω)12......n......(3)某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車,旅客在任意時(shí)間到達(dá)車站,ω表示該旅客的候車時(shí)間,ω候車時(shí)間X(ω)[0,10]1.隨機(jī)變量(4)擲一枚硬幣，ω表示正反面，則X(ω):10第十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日特別離散型連續(xù)型定義設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間記為Ω={ω},如果對于每一個(gè)ω都有實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng),則稱這個(gè)定義在Ω上的實(shí)單值函數(shù)X(ω)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量一般用X,Y,Z,或ξ,η,ζ等表示.取值為有限個(gè)和至多可列個(gè)的隨機(jī)變量.可以取區(qū)間內(nèi)一切值的隨機(jī)變量.例如

S=πR2中,其中R為測量中的隨機(jī)變量,S為隨機(jī)變量R的函數(shù).此外,若X是一個(gè)隨機(jī)變量,則以X為自變量的函數(shù)Y=f(X)稱為隨機(jī)變量X的函數(shù).隨機(jī)變量函數(shù)也是隨機(jī)變量.第十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日2.離散型隨機(jī)變量的概率分布

定義設(shè)隨機(jī)變量X的一切可能取值為x1,x2,...,xn,...,且

pn=P(X=xn),n=1,2,...,稱此公式為X的概率分布或分布列.或者Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...

性質(zhì)

(1)pn≥0,n=1,2,...；(2)p1+p2+...+pn+…=1；

計(jì)算

對a<b有P(a<X≤b)=例如在擲一顆骰子的試驗(yàn)中,X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則X的概率分布為X123456P1/61/61/61/61/61/6設(shè)A表示出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),則P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/2第十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日注意離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求:(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;(2)設(shè)法（如利用古典概率）計(jì)算取每個(gè)值的概率.(3)列出隨機(jī)變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)）.第二十頁，共八十九頁，2022年，8月28日例1

某試驗(yàn)出現(xiàn)“成功”的概率為p(0<p<1),出現(xiàn)“失敗”的概率為1-p，現(xiàn)進(jìn)行一次試驗(yàn),求成功次數(shù)的概率分布.解設(shè)隨機(jī)變量X表示成功次數(shù),則X=0表示試驗(yàn)出現(xiàn)“失敗”,X=1表示試驗(yàn)出現(xiàn)“成功”

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,

所以,X的概率分布為:X01P1-pp兩點(diǎn)分布注兩點(diǎn)分布用于描述只有兩種對立結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn).常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)兩點(diǎn)分布(0-1分布)第二十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日注二項(xiàng)分布的試驗(yàn)背景是n重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ?

其中n是試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)的次數(shù),

p是每一次基本試驗(yàn)“成功”的概率.

隨機(jī)變量X指n次試驗(yàn)中“成功”出現(xiàn)的次數(shù).例2一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得不合格品件數(shù)為X,則(2)二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的概率分布為X~B(4,0.2)第二十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日一般地：設(shè)射擊次數(shù)為n，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p，則：當(dāng)（n+1）p為整數(shù)時(shí)，概率最大的擊中目標(biāo)次數(shù)為(n+1)p和(n+1)p-1;

當(dāng)（n+1）p不為整數(shù)時(shí)，概率最大的擊中目標(biāo)次數(shù)為(n+1)p的整數(shù)部分.第二十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日巴斯卡分布在n重貝努里試驗(yàn)中,如果第r次“成功”出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中,則幾何分布在n重貝努里試驗(yàn)中,如果第1次“成功”出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中,則第二十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日(3)泊松分布定義若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為λ(>0)的Possion分布,記為X~P(λ).可以證明

當(dāng)n很大,p很小,λ=np是一個(gè)不太大的常數(shù)時(shí),可以用泊松分布作為二項(xiàng)分布的近似.即第二十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日

即Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近似。實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)p0.25，n>20，np5時(shí)，近似效果良好。第二十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日

例3在一部篇幅很大的書籍中，發(fā)現(xiàn)只有13.5%的頁數(shù)沒有印刷錯(cuò)誤，如果我們假定每頁的錯(cuò)字?jǐn)?shù)是服從Poisson分布的，求正好有一個(gè)錯(cuò)字的頁數(shù)的百分比.解設(shè)為每頁的錯(cuò)字個(gè)數(shù)，由已知得又已知

第二十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日解1月1日公司收入(元)

設(shè)一年中死亡人數(shù)為（人），則

例4

在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)。在一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元，問下列事件的概率各為多少？

(1)保險(xiǎn)公司虧本

(2)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元

(3)保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元第二十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日(1){保險(xiǎn)公司虧本}=(2){保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元}=

(3){保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元}=

第二十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例5

設(shè)一試驗(yàn)成功的概率為p(0<p<1),接連重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn),直到首次成功出現(xiàn)為止,求試驗(yàn)次數(shù)的概率分布.解設(shè)X表示試驗(yàn)次數(shù),X取值為1,2,...,n,...,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,

記q=1-p,則X的概率分布為:幾何分布P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,...)第三十頁，共八十九頁，2022年，8月28日

例6一批產(chǎn)品共100只，其中有10只次品.求任意取出的5只產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分布。解

設(shè)任意取出的5只產(chǎn)品中次品數(shù)為可能取值為：0,1,2,3,4,5.超幾何分布

一般地，若一集合成員分A、B兩類，總成員有N個(gè)，其中A類有M個(gè)，現(xiàn)從中任取n個(gè),則其中所含的A

類個(gè)數(shù)的分布為：第三十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日例7

袋內(nèi)有5個(gè)黑球3個(gè)白球,每次抽取一個(gè)不放回,直到取得黑球?yàn)橹?。記X為取到白球的數(shù)目,Y為抽取次數(shù)，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解

(1)X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,類似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布為X0123P5/815/565/561/56

(2)Y的可能取值為1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,類似有

P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,

所以Y的概率分布為Y1234P5/815/565/561/56(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56第三十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日例8

某車間有5臺(tái)同類型的機(jī)床,每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦.每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)20分鐘,且每臺(tái)開動(dòng)與否相互獨(dú)立.因電力供應(yīng)緊張,電力部門僅提供30千瓦的電力給這5臺(tái)機(jī)床.問5臺(tái)機(jī)床正常工作的概率有多大?解設(shè)A為“機(jī)床實(shí)際在開動(dòng)”,X為“同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)”,則P(A)=1/3,X~B(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率為P(X≤3)=1-P(X=4)-P(X=5)≈0.95或P(X≤3)第三十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是任意一個(gè)隨機(jī)變量,稱函數(shù)

F(x)=P(X≤x),

－∞＜x＜＋∞為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).(1)0≤F(x)≤1,－∞＜x＜＋∞,(2)F(x)是x的單調(diào)不減函數(shù);(3)(4)F(x)在每一點(diǎn)處均是右連續(xù)的,即:F(x+0)=F(x)1.分布函數(shù)性質(zhì)

第三十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日

(1)F(x)=(3)對任意a<b有

P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);P(a≤X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b-0)-F(a-0);P(X<a)=F(a-0);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0).對于離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)有第三十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日例9

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.7的0-1分布,即:

X01P0.30.7,求X的分布函數(shù).解

(1)當(dāng)x<0時(shí),F(x)=P(X≤x)==0(2)當(dāng)0≤x<1時(shí),F(x)=P(X≤x)==P(X=0)=0.3(3)當(dāng)1≤x時(shí),F(x)=P(X≤x)==P(X=0)+P(X=1)=1分布函數(shù)圖形如下xF(x)110.30所以第三十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日對應(yīng)概率值為P0.40.40.2(1)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是分段函數(shù),分段區(qū)間是由X的取值點(diǎn)劃分成的左閉右開區(qū)間;(2)圖形上表現(xiàn)為階梯形跳躍遞增;(3)函數(shù)值跳躍高度是X取值區(qū)間中新增加點(diǎn)的對應(yīng)概率值.例10

設(shè)X的分布函數(shù)為求X的概率分布.解

X的取值為X012由此可見第三十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日例如設(shè)某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的規(guī)定尺寸為25.40cm,已知某批產(chǎn)品的最小尺寸為25.20cm,最大尺寸為25.60cm.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取100件,得到100個(gè)測量值.計(jì)算得如下數(shù)據(jù)表:

分組25.235-25.26525.265-25.29525.295-25.32525.325-25.35525.355-25.38525.385-25.41525.415-25.44525.445-25.47525.475-25.50525.505-25.53525.535-25.56512512182516134220.010.020.050.120.180.250.160.130.040.020.02

頻數(shù)頻率2.2連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)第三十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日25.23525.565產(chǎn)品X尺寸(mm)建立頻率柱形圖如下:當(dāng)n無限增大,組距無限減小時(shí),頻率分布直方圖就會(huì)無限接近一條光滑曲線,此即為隨機(jī)變量X的概率密度曲線,以該曲線為圖形的函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù).記為X~f(x).第三十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日f(x)≥0,－∞<x<＋∞;

顯然,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度曲線具有以下性質(zhì)25.23525.565產(chǎn)品X尺寸(mm)第四十頁，共八十九頁，2022年，8月28日對于連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)有(1)(3)F(x)是(-∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(4)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;(2)f(x)=(5)對任意a<b有

P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a);P(X<a)=P(X≤a)=F(a);P(X≥a)=P(X>a)=1-P(X<a)=1-F(a).第四十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日例11

設(shè)隨機(jī)變量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)P(-3<X≤2)．解

(1)

即所以A=1/πAπ=1,(2)P(-1/2<X≤1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(-3<X≤2)==1思考:

P(-1/2<X≤2)=?第四十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日例12

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X滿足解密度函數(shù)曲線如圖0136xf(x)S1S2=2/3

表示k點(diǎn)右側(cè)的面積值.由f(x)的幾何意義知又由S2=2/3可知第四十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日例13

設(shè)隨機(jī)變量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)F(x)．第四十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日例14設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求:(1)A;(2)P(0.3<X<0.7);(3)X的概率密度f(x).解(1)F(x)在x=1點(diǎn)連續(xù),由左連續(xù)性得:即:所以,A=1(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(3)f(x)==0x≤02x0<x<101≤x即:第四十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日例15

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求:(1)A,B;(2)P(-1<X<1);(3)X的概率密度f(x).第四十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(1)均勻分布稱X服從[a,b]上的均勻分布.記為X~U(a,b).0abxf(x)第四十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日例16

設(shè)隨機(jī)變量X服從[-1,2]區(qū)間上的均勻分布,求X的分布函數(shù).解如圖:-12分析F(-2)==0-213F(1)==2/3F(3)==1F(1)xf(x)F(3)(1)x<-1時(shí),F(x)==0=1(2)-1≤x<2時(shí),F(x)=(3)2≤x時(shí),F(x)=所求分布函數(shù)為第四十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日xF(x)-11210可見(1)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)為單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù);(2)F(x)為分段函數(shù)第四十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例17

設(shè)隨機(jī)變量X～U(1,5),求第五十頁，共八十九頁，2022年，8月28日例18

設(shè)隨機(jī)變量X服從[2,5]上的均勻分布.對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。解由題意得:記A={X>3},則P(A)=P(X>3)=2/3設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~B(3,2/3)所求為P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27第五十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日(2)指數(shù)分布則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ)(λ>0).定義若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為概率密度曲線如圖:xf(x)注指數(shù)分布常用作各種“壽命”分布的近似.第五十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日注指數(shù)分布具有“永遠(yuǎn)年青”性。即例19

設(shè)隨機(jī)變量X～E（0.0001）,求x>2000的概率。第五十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布,σ>0，μ是任意實(shí)數(shù)，記為(3)正態(tài)分布定義

若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為注(1)概率密度曲線是以x=μ為對稱軸,以y=0為漸近線的R上的連續(xù)函數(shù);f(x)x0μ(2)在x=μ點(diǎn)f(x)取得最大值:X~N(μ,σ2)(3)曲線f(x)與x軸之間的面積是1.第五十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日特別若μ=0,σ2=1,即則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記為X~N(0,1)x0注標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線以y軸為對稱軸.第五十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日x0注(1)

x-x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)2.正態(tài)分布的分布函數(shù)及其計(jì)算(2)

P(|X|<a)=Φ(a)-Φ(-a)=Φ(a)–[1-Φ(a)]=2Φ(a)-1.第五十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的分布函數(shù)若X~N(μ,σ2),則所以,若X~N(μ,σ2),則對任意的a<b有第五十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日例20

設(shè)X~N(10,4),求P(10<X<13),P(|X-10|<2).解

P(10<X<13)==Φ(1.5)-Φ(0)=0.4332P(|X-10|<2)=P(8<X<12)=2Φ(1)-1=0.6826=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-[1-Φ(1)]第五十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日例21

設(shè)X~N(μ,σ2),P(X≤-1.6)=0.036,P(X≤5.9)=0.758,求μ及σ.解

P(X≤-1.6)=所以:又P(X≤5.9)=所以:聯(lián)立解方程組得:μ=3,σ=3.8特別

Φ(0)=0.5;Φ(1.28)=0.90;Φ(1.64)=0.95;Φ(1.96)=0.975;Φ(2.33)=0.99.第五十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例22

某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解設(shè)X為考生的外語成績,則X~N(72,σ2),由題意得:P(X>96)=0.023=1-Φ[(96-72)/σ]=1-Φ(24/σ)所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.97724/σ=2,故:σ=12所求P(60<X<84)==0.6826第六十頁，共八十九頁，2022年，8月28日1.已知X~N(3,22),且P{X>C}=P{X≤C}則C=（)2.設(shè)X~N(μ，42),Y~N(μ，52),記p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}則()①對任意實(shí)數(shù)μ，都有p1=p2

②對任意實(shí)數(shù)μ，都有p1<p2

③只對μ的個(gè)別值，才有p1=p2

④對任意實(shí)數(shù)μ，都有p1>p23①課堂練習(xí)f(x)x0μP(X≤μ)P(X≥μ)第六十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日設(shè)X~N(μ，σ2),則隨σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）①單調(diào)增大②單調(diào)減少③保持不變④增減不定③設(shè)X~N（2，σ2),且P{2<X<4}=0.3,

則P{X<0}=().0.2第六十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量的概率分布

定義設(shè)隨機(jī)變量X的一切可能取值為x1,x2,...,xn,...,且

pn=P(X=xn),n=1,2,...,稱此公式為X的概率分布或分布律.或者Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...

性質(zhì)

(1)pn≥0,n=1,2,...；(2)p1+p2+...+pn+…=1；

計(jì)算

對a<b有P(a<X≤b)=第六十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日X01P1-pp兩點(diǎn)分布常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)兩點(diǎn)分布(0-1分布)(2)二項(xiàng)分布第六十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日(3)泊松分布定義則稱X服從參數(shù)為λ(>0)的Possion分布,記為X~P(λ).可以證明

泊松分布作為二項(xiàng)分布的近似(np=λ).即第六十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日巴斯卡分布在n重貝努里試驗(yàn)中,如果第r次“成功”出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中,則幾何分布在n重貝努里試驗(yàn)中,如果第1次“成功”出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中,則超幾何分布第六十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日f(x)≥0,－∞<x<＋∞;

性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)第六十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是任意一個(gè)隨機(jī)變量,稱函數(shù)

F(x)=P(X≤x),

－∞＜x＜＋∞為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).(1)0≤F(x)≤1,－∞＜x＜＋∞,(2)F(x)是x的單調(diào)不減函數(shù);(3)(4)F(x)在每一點(diǎn)處均是右連續(xù)的,即:F(x+0)=F(x)1.分布函數(shù)性質(zhì)

第六十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日

(1)F(x)=(3)對任意a<b有

P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);P(a≤X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b-0)-F(a-0);P(X<a)=F(a-0);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0).對于離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)有第六十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日對于連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)有(1)(3)F(x)是(-∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(4)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;(2)f(x)=(5)對任意a<b有

P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a);P(X<a)=P(X≤a)=F(a);P(X≥a)=P(X>a)=1-P(X<a)=1-F(a).第七十頁，共八十九頁，2022年，8月28日常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(1)均勻分布稱X服從[a,b]上的均勻分布.記為X~U(a,b).0abxf(x)第七十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日(2)指數(shù)分布則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ)(λ>0).定義若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為注指數(shù)分布具有“永遠(yuǎn)年青”性。即第七十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日(3)正態(tài)分布定義注(1)概率密度曲線是以x=μ為對稱軸,以y=0為漸近線的R上的連續(xù)函數(shù);f(x)x0μ(2)在x=μ點(diǎn)f(x)取得最大值:X~N(μ,σ2)(3)曲線f(x)與x軸之間的面積是1.第七十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日若μ=0,σ2=1,即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.X~N(0,1)x0注標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線以y軸為對稱軸.第七十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日x0注(1)

x-x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)2.正態(tài)分布的分布函數(shù)及其計(jì)算(2)

P(|X|<a)=Φ(a)-Φ(-a)=Φ(a)–[1-Φ(a)]=2Φ(a)-1.第七十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的分布函數(shù)若X~N(μ,σ2),則所以,若X~N(μ,σ2),則對任意的a<b有第七十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布:例23

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布.X-1012P0.20.30.10.4解

(1)Y的對應(yīng)取值為-1,1,3,5,P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1)=0.2P(Y=1)=P(X=0)=0.3,P(Y=3)=P(X=1)=0.1,P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以Y的概率分布為Y-1135P0.20.30.10.4(2)Z的取值為0,1,4,P(Z=0)=P(X=0)=0.3,P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,P(Z=4)=P(X=2)=0.4Z014P0.