向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義2理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問題問題導(dǎo)學(xué)新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)知識(shí)點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義思考1向量3m—3。與a從長(zhǎng)度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系？答 3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，它的方向與向量a的方向相同.—3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，它的方向與向量a的方向相反.思考2一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)丸與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作加，該向量的長(zhǎng)度與方向與向量a有什么關(guān)系？答一般地，實(shí)數(shù)丸與向量a的積是一個(gè)向量，記作加，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：⑴IAa1=1丸IlaI；(2)當(dāng)A>0時(shí)，Aa的方向與a的方向相同：當(dāng)A<0時(shí)，Aa的方向與a的方向相反：當(dāng)a=0時(shí)，Aa=0；當(dāng)A=0時(shí)，Aa=0.(3)Aa幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮.當(dāng)1Al>1時(shí)，表示a的有向線段在原方向(A>0)或反方向(A<0)上伸長(zhǎng)為原來的IAI倍.知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律？答結(jié)合律，分配律.(1)A(pa)=(X^)a；(2)(A+p)a=Aa+pa；(3)A(a+b)=Aa+Ab.知識(shí)點(diǎn)三向量共線定理思考若b=2a,b與a共線嗎？答 根據(jù)共線向量及向量數(shù)乘的意義可知，b與a共線.如果有一個(gè)實(shí)數(shù)九使b=Aa(aW0),那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(aW0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)九使得b=Aa.

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破題型探究重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破類型一向量數(shù)乘的基本運(yùn)算例1(1)化簡(jiǎn)|[(4a—3b)+1b—4(6a—7b)_|；2( 1 3 7解原式二§(4a-3b+3b-,a+4b23L23L4-Ua+(-3+3+7)b2(5 11八—5 11工35a-12bJ=3a-18b.3x-2y=a①，(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y，向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x—2y=a,—4x+33x-2y=a①，< 由①X3+②X2得送=3a+2b，代入①得3X(3a+2b)-2y=a、-4x+3y=b②，所以x=3a+2b,y=4a+3b.反思與感悟1.向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).2.向量也可以通過列方程和方程組求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算:TOC\o"1-5"\h\z解 (a+b) - 3(a - b) - 8a= (a - 3a)+ (b +3b) - 8a=-2a+4b-8a=-10a+4b.(2)若2(y—3a)—3(c+b—3y)+b=0,其中a,b,c為已知向量，則未知向量y=2 2-1合案9a—9b+9c解析25-3a)-1(c+b-3y)+b=0,2 2.1 2 2.13y-3a+3b-3c=0,所以y=9a-9b+9c.

類型二向量的表示CA=3a,CB=2b,求CDCA=3a,CB=2b,求CD,CE.解???(CA=解???(CA=3a,CB=2b,fff一???AiB=CB-CA=2b-3a,又D,E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，22所以CD=CA+AD=3a+3b-a=2a+3b,-* -* 2~ 2 2-i_CE=CA+AE=3a+3AB((2-3((2-34-(2)在平行四邊形(2)在平行四邊形ABCD中，M,N分別是DC,BC的中點(diǎn)，d表示AB和AD.解如圖，設(shè)AB=a,AD=b.已知AM=c,AN=d，試用c,:M,N分別是DC,BC的中點(diǎn)，lAD+DM=AM,??,在△ADM和^ABN中，j[AB+bN=AN,TOC\o"1-5"\h\z工1 小Ib+2a=c, ①即1 L…la+2b=d.②

①X①X2-②，得b②X2-①，得a=|(2d-c).22一3-43c--一AD

23c-d

4-3--

魂*反思與感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：⑴先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中；(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量⑶當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在^OAB中，延長(zhǎng)BA到。，使AC=BA,在OB上取點(diǎn)。，使DB=3OB,DC與OA交點(diǎn)為E，設(shè)Oa=a,Ob=b，用a,b表示向量OC,DSC.解,?,AC=BA,?.A是BC的中點(diǎn)，??(OA=1((OB+Oc),fff 一??OC=2OA-OB=2a-b."o_2:o：o ^o2o???DC=OC-OD=OC-3OB-?25.=2a_b_3b=2a_3b.類型三共線問題例3(1)已知非零向量e1,e2不共線，如果魂=e1+2e2,BC=—5e1+6e2，CD=7e1—2e2,則共線的三個(gè)點(diǎn)是 .(2)已知A,B,P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若OP=x(OA+yOB，則％+y=答案(1)A,B,D(2)1解析(1)VAB=e1+2e2,BD=BC+CD=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)=2AB.???AB,BD共線，且有公共點(diǎn)B，,A,B,D三點(diǎn)共線.(2)由于A,B,P三點(diǎn)共線，貝AB,AP在同一直線上，由共線向量定理可知，必存在實(shí)數(shù)丸使得ap=xab即crp-Oa=丸(Ob-Oa)，,Op=(1-丸)Oa+x()b.二%=1-X,y=X，貝iJ%+y=1.反思與感悟(1)有關(guān)三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)構(gòu)成的其中兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據(jù).(2)已知O,A,B是不共線的三點(diǎn)，且OP=m()A+n(JB(m,n￡R),A,P,B三點(diǎn)共線m+n=1.跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量，已知矗=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1一e2,若A,B,D三點(diǎn)共線，求k的值.解BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)X，使得AB=XBD，即2e1+ke2=X(e1-4e2)=Xe1-4Xe2.'X=2,由向量相等的條件得J 所以k=-8.k=-4X,V 7(2)已知O為平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若存在a,B￡R，使OC=a(JA+^OfB,a+B=1，那么A,B,C三點(diǎn)是否共線？解共線，因?yàn)榇嬖赼,B￡R，使OC=aOOA+BC,且a+B=1.B=1-a，,OC=aOA+(1-a)OB,,C_. Ot* t*.OC=aOA+OB-aOB,.OC-OB=a(OA-OB),.BC=aBA，,A,B,C三點(diǎn)共線.當(dāng)堂檢測(cè)鞏固反饋達(dá)標(biāo)檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)鞏固反饋.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m=—e1+ke2（k￡R）與向量n=4—2e1共線，則（）A.k=0 B,k=1C.k=2 D.k=2答案D解析當(dāng)k=2時(shí)，m=-e1+2e2,n=-2e1+e2./.n=2m，此時(shí)，m,n共線.2,下列各式計(jì)算正確的有（）①（一7）6a=—42a；②7（a+b）-8b=7a+15b；③a—2b+a+2b=2a；?4（2a+b）=8a+4b.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案C3.已知4ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,且PA+PB+PC=AB，則（ ）A.P在^ABC內(nèi)部B.P在^ABC外部C.P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上D.P在AC邊上答案D解析PA+pB+pC=PB-PA,???PC=-2PA.，二P在AC邊上..若la1=5,b與a方向相反，且Ibl=7,則a=b.答案—解析Vial=|lbl,且a與b方向相反，Aa=-7b..如圖所示，已知ap=3ab，用（OA,Ob表示O.

解(JP=Oa解(JP=Oa+,4P=Oa+4/4B=OA+3(OB-OA尸-1f ■■規(guī)律與方法■■ 'I.實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如丸+烈，丸-0是沒有意義的..加的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的1丸I倍.向量a表示與IaI向量a同向的單位向量..共線向量定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具.即三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題.40分鐘課時(shí)作業(yè) 強(qiáng)化訓(xùn)練拓展提升一、選擇題.在△ABC中，如果AD,BE分別為BC,AC上的中線，且AD=a,BE=b,那么BC為( )的a2 2,B.3a—2 2,B.3a—3b-2 4C.3a-3bD.-3a+3b答案A解析由題意，得bC=bE+EC=b+1AC=b+2(AD+DC)=b+|a+1bC，即BC=b+1a+4—> —>24BC.解得BC=3a+3b..若,4B=5e1，CD=-7e］，且|ADI=IBCI,則四邊形ABCD是( )A.平行四邊形 B.等腰梯形C.菱形 D.梯形但兩腰不相等答案B解析CD=-5AB,???CD//AB，且CDWAB，而且1,4DI=IBCI,???四邊形ABCD是等腰梯形.

TOC\o"1-5"\h\z.在△ABC中，已知D是AB邊上的一點(diǎn)，若AD=2IDB,CD=|C1A+ACB，則丸等于（ ）1 2A.3 B.§cl d3c.2 4答案B12解析.A,B,D二點(diǎn)共線，..3+A=1,A=3..已知m,n是實(shí)數(shù)，ab是向量，則下列命題中正確的為（ ）①m（a-b）=ma一mb；②（m-n）a=ma-na:③若ma=mb，則Ua=b:④若ma=na，則Um=n.A.①④ B.①②C.①③ D.③④答案B解析①和②屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；③中，若m=0,則不能推出a=b,錯(cuò)誤；④中，若a=0,則IJm,n沒有關(guān)系，錯(cuò)誤..設(shè)D為^ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD，則（A.AD=-A.AD=-3aB+3AC7^17^,B.AD=3AB—一—4工,1—AD=3AB+3AC六4六1t^,AD=3AB—3AC答案A解析AD=AC+CD=AC+1BC=AC+3(AC-AB)=3^-3AB=-3+3.故選A.6.若非零向量a與b不共線，ka+b與a+kb共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.k=—1 B,k=1C.k=±1 D.k=2答案C解析：ka+b與a+kb共線，???存在實(shí)數(shù)A使ka+b=A(a+kb),：.（k-丸）a=（Xk-1）b.'k-X=0,Va與b不共線，.，k=±1.Xk-1=0,

、 77.已知4ABC和點(diǎn)M滿足MLA+MLB+氤=0.若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC=mAM,成立，則m的值為（）A.2B.3C.4 D.5答案B解析VMtA+Mb+MLC=0,??.點(diǎn)M是、ABC的重心.-一-一???AB+AC=3AM，二m=3.二、填空題8.（a+9b—2c）+（b+2c）=.答案a+10b9在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3Nc,M為BC的中點(diǎn)，則M=（用a,b表示）.答案4b-4a解析如圖，MLN=Mb+BA+AN=-1b-a+4AC=-2b-a+4(a+b)=1b-a)..已知向量a,b滿足Ia1=3,lbl=5,且a=Xb，則實(shí)數(shù)X的值是 .3答案±5.設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量，已知后=2a+kb,BC=a+