隨機過程的基本概念演示文稿

隨機過程的基本概念演示文稿第一頁，共四十六頁。優(yōu)選隨機過程的基本概念第二頁，共四十六頁。例2某電話交換臺在時間段[0,t]內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是與t有關(guān)的隨機變量X(t),對于固定的t,X(t)是一個取非負整數(shù)的隨機變量。故{X(t),t∈

[0,∞]}是隨機過程。第三頁，共四十六頁。由上例可見隨機過程表示依賴于一個變動參量的一族隨機變量。它雖然不能用一個確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。為此，我們給出隨機過程的一般定義。第四頁，共四十六頁。二、隨機過程的定義隨機過程說明1參數(shù)集T在實際問題中，常常指的是時間參數(shù)，但有時也用其它物理量作為參數(shù)集。隨機過程是概率空間(,F,P)上的一族隨機變量，其中T稱為指標集或參數(shù)集.說明2通常將隨機過程解釋為一個物理、自然和社會的系統(tǒng)，表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài)。第五頁，共四十六頁。的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合為狀態(tài)空間，記為S.一般地，如果不做說明都認為狀態(tài)空間是實數(shù)集R或R的子集。狀態(tài)分類離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值是離散的取值是連續(xù)的第六頁，共四十六頁。說明3第七頁，共四十六頁。說明4當T取為R，或[a,b]時，稱為連續(xù)參數(shù)的隨機過程。當T取為Z，時，稱為離散參數(shù)的隨機過程。參數(shù)集T通常代表時間，T可取實數(shù)集R,非負實數(shù)集，整數(shù)集Z，或非負整數(shù)集等第八頁，共四十六頁。參數(shù)集T是一個可列集T={0,1,2,…}離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)分類參數(shù)集T是一個不可列集第九頁，共四十六頁。例1（隨機游動）一個醉漢在路上行走，以概率p前進一步，以概率1-p后退一步（假定其步長相同）。以X(t)記他t時刻在路上的位置,則{X(t)}就是直線上的隨機游動第十頁，共四十六頁。例2（布朗運動）英國植物學家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進行無規(guī)則的運動，這種運動后來稱為布朗運動。它是分子大量隨機碰撞的結(jié)果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐標上的位置，則它是平面上的布朗運動。第十一頁，共四十六頁。例3（排隊模型）顧客來到服務臺要求服務。當服務站中的服務員都忙碌，即服務員都在為別的顧客服務時，來到的顧客就要排隊等候。顧客的到來、每個顧客所需的服務時間是隨機的，所以如果X(t)表示t時刻的隊長,Y(t)表示t時刻到來的顧客所需的等待時間，則{X(t),t∈T}{Y(t),t∈T}都是隨機過程。第十二頁，共四十六頁。一、隨機過程的分布函數(shù)一維分布函數(shù)其分布函數(shù)為第二節(jié)有限維分布與Kolmogorov定理第十三頁，共四十六頁。二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第十四頁，共四十六頁。

n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第十五頁，共四十六頁。有限維分布族一維，二維，…，n維分布等的全體：易知第十六頁，共四十六頁。一個隨機過程的有限維分布族具有對稱性和相容性.(1)對稱性(2)相容性第十七頁，共四十六頁。Kolmogorov定理前蘇聯(lián)數(shù)學家1931年證明了此定理說明隨機過程的有限分布函數(shù)族可以完整描述隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性.設分布函數(shù)族滿足上面的對稱性和相容性，則必存在一個隨機過程{X(t),t∈T}使恰好是{X(t),t∈T}的有限維分布。第十八頁，共四十六頁。例1袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應隨機變量試求這個隨機過程的一維分布函數(shù)族。分析先求的概率分布第十九頁，共四十六頁。所以解P第二十頁，共四十六頁。練習求一維分布函數(shù)解:第二十一頁，共四十六頁。第二十二頁，共四十六頁。二、隨機過程的數(shù)字特征

1．均值函數(shù)說明第二十三頁，共四十六頁。如果對任意的則稱隨機過程為二階矩過程第二十四頁，共四十六頁。

2．方差函數(shù)說明第二十五頁，共四十六頁。

3．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩注第二十六頁，共四十六頁。

4．自相關(guān)函數(shù)注協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)反映隨機過程在時刻和時的線性相關(guān)程度.第二十七頁，共四十六頁。例2解求:(1)均值函數(shù);(2)協(xié)方差函數(shù);(3)方差函數(shù)。（1）（2）（3）第二十八頁，共四十六頁。練習解：例其中是相互獨立的且均服從N(0，1)分布的隨機變量第二十九頁，共四十六頁。1.嚴平穩(wěn)過程定義1則稱為嚴平穩(wěn)過程第三節(jié)隨機過程的基本類型一、平穩(wěn)過程若對任意的和任意的嚴平穩(wěn)過程的有限維分布關(guān)于時間是平移不變的.第三十頁，共四十六頁。2.寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩(wěn)過程（二階平穩(wěn)過程），簡稱平穩(wěn)過程第三十一頁，共四十六頁。注2注1嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。因為嚴平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴平穩(wěn)過程。因為寬平穩(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時間推移而改變，這當然不能保證其有窮維分布不隨時間而推移。第三十二頁，共四十六頁。3.平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)1性質(zhì)4性質(zhì)2即對任意的2n個實數(shù)第三十三頁，共四十六頁。例1滿足試討論隨機序列的平穩(wěn)性。解因為注在科學和工程中，例1中的過程稱為“白噪聲”，它是實際中最常用的噪聲模型。第三十四頁，共四十六頁。例2解的密度函數(shù)為所以其中T={1,2,…}，試討論隨機序列的平穩(wěn)性。是在[0，1]上服從均勻分布的隨機變量，第三十五頁，共四十六頁。練習解：例其中是相互獨立的且均服從N(0，1)分布的隨機變量第三十六頁，共四十六頁。二、獨立增量過程定義隨機變量是相互獨立的第三十七頁，共四十六頁。例3證的隨機變量序列,則令第三十八頁，共四十六頁。三、平穩(wěn)增量過程定義第三十九頁，共四十六頁。兼有獨立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨立增量過程.四、平穩(wěn)獨立增量過程Poisson過程和Brown運動都是平穩(wěn)獨立增量過程.第四十頁，共四十六頁。在何種條件下，平穩(wěn)過程對時間的平均值可以等于過程的均值？對于平穩(wěn)過程重要的是確定它的均值和它的協(xié)方差函數(shù)由大數(shù)定律知，可以用第四十一頁，共四十六頁。然而對隨機過程作多次觀察一般來說比較困難，容易的是作一次觀察,獲得一條樣本路徑,我們希望由這一次觀察來估計,對于一般的隨機過程這是不可能的，但對于平穩(wěn)過程,只要加上一些條件，就可以從一次觀察中得到

的較好的估計，這就是遍歷性定理。介紹從一次試驗所獲得的一個樣本函數(shù)來決定隨機過程的均值和協(xié)方差函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題