4.4 數(shù)學(xué)歸納法 -(人教A版2019選擇性必修第二、三冊(cè))(教師版)

數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n=n0(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法PS用數(shù)學(xué)歸納法證明，兩個(gè)步驟缺一不可.2數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，比如：與正整數(shù)n有關(guān)的等式或不等式的證明，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，與數(shù)列有關(guān)的不等關(guān)系證明，整除問題，函數(shù)不等式等.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)要注意以下幾點(diǎn)①第一步歸納奠基中的n0不一定是1②當(dāng)證明從n=k到③在證明第二步中，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)“湊”，一是“湊”假設(shè)，在n=k+1時(shí)的式子中湊出n=k的式子(確定兩個(gè)式子的“差項(xiàng)”；二是“湊”結(jié)論④要注意“觀察---歸納—猜想---證明”的思維模式和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.【題型一】對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解【典題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n+2對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；結(jié)合本題，要驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊=21=2，右邊=1+2=3，2n=2時(shí)，左邊=22=4，右邊=2+2=4n=3時(shí)，左邊=23=8，右邊=3+2=5n=4時(shí)，左邊=24=16，右邊=4+2=6…因?yàn)閚>2成立，所以2n故n0【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法第一步中的n0不一定是1，一般是滿足題意的最小的正整數(shù)【典題2】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”A．假設(shè)n=k(k∈N*)B．假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證明n=k+1命題成立C．假設(shè)n=2k+1(k∈N*))D．假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證明n=k+2命題成立【解析】A、B、C中，k+1不一定表示奇數(shù)，只有D中k【點(diǎn)撥】注意第二步中不一定是n=k+1，要注意題目對(duì)【典題3】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+12+n=k+1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是.【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1假設(shè)n=k時(shí)，左側(cè)=1+1當(dāng)n=k+1成立時(shí)，左側(cè)=1+1∴從n=k到n=k+1時(shí)，左邊增加12共有2k+1－【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法第二步中從n=k到n=k+1成立時(shí)，增加的項(xiàng)數(shù)不一定是只有1項(xiàng)，要式子變化的規(guī)律去判斷，這在證明題中有助于關(guān)于“兩個(gè)湊”的思考.鞏固練習(xí)1(★)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12+13A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)不等式成立 B．從“n=k到n=k+1”左邊需要增加的代數(shù)式是12C．從“n=k到n=k+1”左邊需要增加(2k-1D．從“n=k到n=k+1”左邊需要增加2k-1項(xiàng)【答案】D【解析】由于n∈所以第一步應(yīng)該是驗(yàn)證當(dāng)n=2時(shí)不等式成立，從“n=k到n=k+1”左邊需要增加的代數(shù)式是12k-1+1故選：D．2(★)用數(shù)學(xué)歸納法證明2n≥n2A．n=k≥2時(shí)，2k≥k2 BC．n=k≥4時(shí)，2k≥k2 D．【答案】C【解析】根據(jù)證明的結(jié)論，n≥4，故第二步的假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=k,n≥4,k∈N*故選：C．3(★)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n+1+1n+2+1n+3+???+1A．13k+4B．13k+4-1k+1C．1【答案】D【解析】n=k時(shí)，不等式的左邊等于1k+1+1當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式的左邊等于1k+2當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式的左邊比n=k時(shí)增加13k+2故選：D．4(★)用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n+1)×7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假設(shè)n=k時(shí)命題成立之后，需證明n=k+1A．3×7k+6 B．3×7k+1+6【答案】B【解析】假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即(3k+1)×7k－那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，[3(k+1)+1]×=3k+4=(3k+1)×7=6[(3k+1)×7∵(3k+1)×7k∴要證上式能被9整除，還需證明3×7k+1+6故選：B．【題型二】等式的證明【典題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+?+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N【解析】(1)①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+2+3+4=10，右邊=(1+3)×(1+4)2=10②假設(shè)n=k(k∈N*)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2+3+?+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．綜上，1+2+3+?+(n+3)=(n+3)(n+4)【點(diǎn)撥】熟悉數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟.【典題2】觀察下列等式：13=1；13+2(1)請(qǐng)寫出第5個(gè)、第6個(gè)等式，猜想出第n(n∈N(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【解析】(1)根據(jù)等式可知第5個(gè)等式為13第6個(gè)等式為13觀察6個(gè)式子，可以猜測(cè)第n個(gè)式子為13(通過觀察法得到，其實(shí)其公式即是13(2)證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1當(dāng)n=k，k≥1時(shí)，假設(shè)13∴當(dāng)n=k+1時(shí)，1(這步相當(dāng)于以“13+證明“13+2接著證明k2=k=(k+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想的等式也成立，綜上，等式13+2【點(diǎn)撥】等式的證明主要是對(duì)式子進(jìn)行“通分、因式分解”等基本操作，要明確已知什么證明什么，再利用綜合法分析法找到解題思路.鞏固練習(xí)1(★★)證明：11×2【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=11×2=(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即11×2則當(dāng)n=k+1時(shí)，11×2=1=1=1=1即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)一切n∈N2(★★)證明(3×【證明】(1)n=1時(shí)，左邊=3×12+1=4，右邊=1×(2)假設(shè)n=k≥1(k∈即(3×1n=k+1時(shí)，即證明(3×1左邊3×1∴n=k+1綜上可得：n∈N*3(★★)證明：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=【證明】當(dāng)n=1時(shí)，1×2×3=1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1×2×3+2×3×4+3×4×5+?則當(dāng)n=k+1時(shí)，1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=1=(k+1)(k+2)(k+3)(1=1所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．綜上所述，等式成立．4(★★★)給出下列等式：31×2×131×2×131×2×1…(1)由以上等式推測(cè)出一個(gè)一般性的結(jié)論；(2)證明你的結(jié)論．【證明】(1)由以上等式推測(cè)出一個(gè)一般性的結(jié)論為：31×2(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這一結(jié)論．當(dāng)n=1時(shí)，左邊=34，右邊假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即31×2則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊==1-=1-∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．因此，等式對(duì)于一切n∈5(★★★)證明tanα?tan2α+tan2α?tan3α+…+【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=tanα?右邊=tan2α(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(k≥2,k∈Ntanα?tan2α+tan2α?tan3α+…+tan則當(dāng)n=k+1時(shí)，tanα?tan2α+tan2α?tan3α+…+tan=tankαtanα由tanα=得tan代入(*)式，得右邊=tankα即tanα?tan2α+tan2α?tan3α+…+tan=tan這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立．根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)任意n≥2,n∈N*【題型三】不等式的證明【典題1】已知前三個(gè)式子分別為：1+122<32，照此規(guī)律，寫出第n個(gè)不等式，并證明．【解析】第n個(gè)不等式為1+1以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*且k≥1)時(shí)不等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，即要證明1+1而1+則只需證明2k+1k+1+1(k+2)?2k+1?2k而4<5顯然成立，(這里用“分析法”進(jìn)行推導(dǎo)，其過程純?yōu)橛?jì)算，思考難度不高，“磨滅”掉“技巧性”)∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．綜上所述，不等式1+122【點(diǎn)撥】①用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，使用“分析法”求證，有助于降低“思考難度”；②同時(shí)也看些“技巧性”的方法：不等式證明中的“放縮”，1+1<2k+1這里僅僅用到了1(k+2)2<1③其實(shí)本題還可直接使用“放縮法”解∵n2>n(n∴1+1=1+1-1與數(shù)學(xué)歸納法比較下！【典題2】證明：當(dāng)n≥2,n∈N時(shí)，1【解析】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=11(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1=(1(湊假設(shè)：注意n=k與n>1+1(利用分析法，可知相當(dāng)于要證明1k>1+(2k+1)×1(這里用放縮：1k2+1=1+k∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，綜上，由(1)(2)知，原不等式對(duì)?n≥2(n∈N【點(diǎn)撥】①注意第二步中n=k+1與n=k時(shí)相同與不同的項(xiàng)；②多歸納總結(jié)下求證不等式的放縮技巧.【典題3】證明：sin?(nα)≤n【解析】當(dāng)n=1時(shí)，不等式的左邊=|sinα|，右邊=|sinα|，不等式成立；假設(shè)n=k(k∈N*)當(dāng)n=k+1時(shí)，|sin(k+1)α|=|≤sin?(這里用到絕對(duì)值三角不等式a-≤sin?(kα)+sinα≤ksinα即n=k+1時(shí)，不等式也成立．綜上可得，sinnα≤n【點(diǎn)撥】絕對(duì)值三角不等式a-b≤a+b≤a+b，不等式右邊“=”成立的條件是ab≥0，左邊鞏固練習(xí)1(★★)證明：12+1【證明】①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1那么n=k+1時(shí)，左邊=∴n=k+1綜上，由①②可知122(★★)當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，求證：1【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+12=1+(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N當(dāng)n=k+1時(shí)，1+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．∴對(duì)n≥2，n∈3(★★)證明：1+1【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1+1當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+1當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立．由(1)(2)可得，對(duì)于任意n≥1，4(★★★)設(shè)an=1×2+2×3【證明】當(dāng)n=1時(shí)，由a1=2假設(shè)n=k(k∈N*當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1由ak<(k+1由(k+1)可得ak+1由ak>k(k+1)由kk+12?k可得ak+1則n=k+1時(shí)，不等式也成立．綜上可得，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有n(n+1)25(★★★)已知a>0，b>0，n>1，n∈N*．證明：【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊－右邊=a2(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k>1)因?yàn)閍>0，b>0，k>1，k∈所以(a于是ak+1當(dāng)n=k+1時(shí)，(a+b即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．綜合(1)，(2)知，對(duì)于a>0，b>0，n>1，n∈N*【題型四】數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【典題1】已知數(shù)列{an}的前n(1)計(jì)算a1,a2,a3【解析】(1)根據(jù)題意，Sn當(dāng)n=1時(shí)，a1=S當(dāng)n=2時(shí)，a1+a當(dāng)n=3時(shí)，a1+a當(dāng)n=4時(shí)，a1+a由此猜想an(2)證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)那么n=k+1時(shí)，ak+1∴a∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．由①②知猜想an【點(diǎn)撥】①求數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以用數(shù)學(xué)歸納法求解；②可嘗試用非數(shù)學(xué)歸納法的方法求通項(xiàng)公式an，比較下它們之間的難易【典題2】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，a【解析】∵an+12可得n=1時(shí)，a2=2，n=2時(shí)，a3=3，n=3時(shí)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an=n，(體會(huì)下“觀察---歸納—猜想---證明”①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，等式成立．∴當(dāng)②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即ak那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1正項(xiàng)數(shù)列{an}∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，由①②可得猜想成立．【點(diǎn)撥】①用數(shù)學(xué)歸納法求解通項(xiàng)公式，一般是先求出前幾項(xiàng)，猜想an②本題數(shù)列遞推公式an+12【典題3】由正實(shí)數(shù)組成的數(shù)列{an}滿足an2【解析】an2∵an是正項(xiàng)數(shù)列，∴an－下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，a2(基本不等式的運(yùn)用，用二次函數(shù)也行，前面確定0<an②當(dāng)n=k時(shí)(k≥2,k∈N)那么a≤-1k-12=1k-1k2==1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也正確綜上所述，對(duì)于一切n∈N*，【點(diǎn)撥】在數(shù)列中證明不等式，與前面不等式的證明方法差不多，其中有分析法、放縮法等，還需要多注意各變量的取值范圍(比如a1,ak【典題4】已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0=1證明an【解析】(證明an<an+1<2方法一數(shù)學(xué)歸納法(i)當(dāng)n=0時(shí)，a0=1，a1ii假設(shè)n=k－1(k∈則當(dāng)n=k時(shí)，ak=1=12(而ak-1－a所以a又ak+1所以n=k時(shí)命題成立．由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N時(shí)有a方法二數(shù)學(xué)歸納法(i)當(dāng)n=0時(shí)，a0=1，a1(ii)假設(shè)n=k－1(k∈N(已知ak-1<ak<2要證明a令f(x)=12x(4－x)所以由假設(shè)有：f(a即12所以當(dāng)n=k時(shí)，ak所以對(duì)一切n∈N，有a【點(diǎn)撥】①方法一與方法二都是數(shù)學(xué)歸納法，但是方法二更能體現(xiàn)出題目的本質(zhì)，由遞推公式an+1=12an這屬于蛛網(wǎng)模型.②本題也可先求出通項(xiàng)公式an=2-(1鞏固練習(xí)1(★★)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1【答案】a1=2,a2=6,a3【解析】由條件得2bn=又a1=2,b1=4，由此可得a2a4=20，b4=25，用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=2，②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈即ak=k(k+1)，bkak+1bk+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②知，an2(★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且(1)求a1,a2,【答案】(1)a1=3,a2=6,【解析】(1)∵6∴當(dāng)n=1時(shí)，6S∵an>0，當(dāng)n=2時(shí)，6S∵an>0當(dāng)n=3時(shí)，6S∵an故a1=3,(2)猜想an=3n，證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊a1=3，右邊②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a當(dāng)n=k+1時(shí)，a即ak+1∵an>0∴當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立．根據(jù)①②可知，an3(★★★)已知數(shù)列{an}滿足a1=(1)計(jì)算a2(2)猜想數(shù)列{a【答案】(1)a2=13，a3=2【解析】(1)數(shù)列{an}滿足an=1時(shí)，a2=13，n=2時(shí)，解得a3=2(2)猜想：an證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*那么，依題可得ak+1所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立．根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何n∈4(★★★)已知數(shù)列{xn}滿足x(1)猜想數(shù)列{x(2)證明：|x【答案】(1){x2n}是遞減數(shù)列，證明見解析【解析】(1)由x1=1∴x2=2由x2>x4下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即x易知x2k>0=x即x也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合(1)和(2)知，命題成立(2)當(dāng)n=1時(shí)，|x當(dāng)n≥2時(shí)，易知0<x∴1+x∴(1+x∴x≤(2=15(★★★★)設(shè)數(shù)列{an}滿足a(1)當(dāng)a1=2時(shí)，求a2(2)當(dāng)a1≥3時(shí)，證明對(duì)所有n∈N*，有：①a【答案】(1)a2=3,a【解析】(1)由a1=2由a2=3得a由a3=4，得a4由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：a(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1+2，不等式成立…6分(2)①用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)當(dāng)n=1，a(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a那么a也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1根據(jù)(i)和(ii)，對(duì)于所有n≥1②證明：由①知，an+1即an+1+1≥反復(fù)放縮，可得11+∴1【題型五】整除問題【典題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n+2×3n【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，21+2×3(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)，2k+2那么n=k+1時(shí)，原式==6×2=6[(2=6(2=6(2(整個(gè)過程就是在n=k+1時(shí)“湊”出假設(shè)：2k+2×∵62k+2×3k∴62k+2×∴n=k+1時(shí)，命題成立．綜上，2n+2×3n【點(diǎn)撥】在第二步中，也可令2k+2×3k+5k則2k+2當(dāng)n=k+1時(shí)，原式=625m-5k+4+5k+1鞏固練習(xí)1(★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3+5n(n∈N【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，13+5=6，顯然能被(2)假設(shè)n=k時(shí)，k3+5k,(k∈則當(dāng)n=k+1時(shí)，k+13由于假設(shè)k3+5k能夠被6整除，而k(k+1)能夠被因此3k(k+1)+6能夠被6整除，故當(dāng)n=k+1時(shí)，能被6整除，由(1)，(2)可知n3+5n(n∈2(★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+22+…+【證明】(1)n=1時(shí)，左邊=1+2+22=7(2)假設(shè)n=k時(shí)，1+2+22+即1+2+22+則n=k+1時(shí)，左邊=1+2+∴1+2+22綜上，1+2+22+3(★★)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，5n+2×3【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，5n+2?即n=1時(shí)，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k，(k≥2,k則5k+2?3k-1+1當(dāng)n=k+1時(shí)，5=5(5而當(dāng)k≥2，k∈N*時(shí)3故=5(5k也能被8整除，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立；由(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n，5n+2?【題型六】其他應(yīng)用【典題1】平面內(nèi)n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)．(1)設(shè)這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線，猜想f(n)的表達(dá)式并給出證明；(2)求證：這n條直線把平面分成sn【解析】(1)解：f(2)=4，f(3)=9，f(4)=16，∴猜想f(n)=n2．(體會(huì)下“觀察---歸納—猜想---證明”以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=4=2②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)猜想正確，即f(k)=k則當(dāng)n=k+1時(shí)，這第k+1條直線與原來的k條直線分別相交，新增k個(gè)交點(diǎn)，它們分別把原來的一條線段或射線一分為二，使原來的k條直線新分割出k條線段或射線，又這k個(gè)交點(diǎn)還把第k+1條直線分割為k+1條線段或射線，∴fk+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確．根據(jù)①②知，對(duì)大于1的任意自然數(shù)n，猜想都正確．(2)證明：①當(dāng)n=1時(shí)，一條直線把平面分為兩部分，而n=1時(shí)n(n+1)2+1=2，②假設(shè)n=k時(shí)命題正確，即k條直線把平面分成sk則n=k+1時(shí)，第k+1條直線lk+1與原來的k條直線可交于A1,點(diǎn)，截成k+1條線段或射線，而每一條線段或射線都把它們所占的一塊區(qū)域一分為二，故新增加出k+1塊區(qū)域，因此k+1條直線把平面共分成sk+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．由①②可知，對(duì)任意的n∈N【點(diǎn)撥】①若要猜想f(n)的表達(dá)式，多理解“觀察---歸納—猜想---證明”思維模式和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；②對(duì)于平面幾何的問題，畫圖進(jìn)行分析有助于找到其規(guī)律.【典題2】若已知ln(1x+1)>1x+1【解析】數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=2時(shí)，ln2-12=ln②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，命題成立，即lnk>1當(dāng)n=k+1時(shí),右邊=由ln(1令x=k，有l(wèi)n(1(感覺有些裂項(xiàng)的效果)因此有：左邊=ln(k+1)>lnk+故左邊>右邊，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．綜上①②，當(dāng)n∈N*且n≥2，【點(diǎn)撥】①題中放縮公式ln(n+1)-lnn>1n+1可用后面學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)證明②數(shù)學(xué)歸納法與函數(shù)的考核在高考也壓軸題型，可先了解下！鞏固練習(xí)1(★★)平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓都沒有共同的交點(diǎn)，試證明這n個(gè)圓把平面分成了n2－n+2【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而12(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，共有k2∴n=k+1由(1)、(2)知，對(duì)任意的n∈2(★★)如圖，曲線C：xy=1(x>0)與直線l：y=x相交于A1，作A1B1⊥l交x軸于B1，作B1(1)寫出點(diǎn)A1、A(2)猜想An【答案】(1)A11,1，A22+1,2-1，(2)A【解析】(1)根據(jù)題意，由y=xxy=1x>0，求得由y=0y-1=-(x-1)，求得B由y