第3章 線性系統(tǒng)時域分析法

第三章

線性系統(tǒng)時域分析法2023/2/61第三章線性系統(tǒng)時域分析法時域分析法是在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，對系統(tǒng)外施一給定輸入信號，通過研究系統(tǒng)的時間響應(yīng)來評價系統(tǒng)的性能。本章主要圍繞時域中線性控制系統(tǒng)的動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能與穩(wěn)定性展開，分別研究了線性控制系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)，一階、二階及高階系統(tǒng)的時域分析，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其代數(shù)判據(jù)，穩(wěn)態(tài)誤差的計算及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法。2023/2/62第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.1典型輸入信號及性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號常見的典型輸入信號有階躍信號、斜坡信號（等速度信號）、拋物線信號（等加速度信號）、脈沖信號和正弦信號等。1階躍信號

對于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值或者擾動量的突然變化，例如速度控制系統(tǒng)中負(fù)載的突變；對于隨動系統(tǒng)（如火炮方位角控制系統(tǒng)），相當(dāng)于加一突變的給定位置信號。2023/2/63第三章線性系統(tǒng)時域分析法2斜坡信號

斜坡信號是一個對時間做均勻變化的信號，可模擬以恒定速度變化的物理量，例如機械手的等速移動、數(shù)控機床加工斜面時的進給指令、通信衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的跟蹤直線飛行目標(biāo)等。2023/2/64第三章線性系統(tǒng)時域分析法3拋物線信號航天飛行器控制系統(tǒng)的輸入信號，一般可近似認(rèn)為等加速度。2023/2/65第三章線性系統(tǒng)時域分析法4脈沖信號在自動控制系統(tǒng)中，單位脈沖信號相當(dāng)于一個瞬時的擾動信號，只有輸入信號的強度足夠大，并且其持續(xù)時間很短，則均可近似為脈沖信號，如沖擊力、陣風(fēng)或者大氣湍流。2023/2/66第三章線性系統(tǒng)時域分析法5正弦信號正弦信號主要用于求取系統(tǒng)對不同頻率的正弦函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這種響應(yīng)被稱為頻率響應(yīng)。在實際控制系統(tǒng)中，電源及振動的噪聲、海浪對船舶的擾動力等，均可近似看作正弦信號作用。

2023/2/67第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.1.2

穩(wěn)態(tài)指標(biāo)與動態(tài)指標(biāo)動態(tài)過程又稱為過渡過程，是指系統(tǒng)從加入輸入信號的瞬時起，到系統(tǒng)輸出量到達穩(wěn)態(tài)值之前的響應(yīng)過程，它表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性和對輸入信號響應(yīng)的快速性。穩(wěn)態(tài)過程是指時間趨于無求大時的輸出狀態(tài)，它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的準(zhǔn)確性。1穩(wěn)態(tài)指標(biāo)當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差足夠小以至可以忽略不計時，我們近似認(rèn)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，這種系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。而穩(wěn)態(tài)誤差不為零的系統(tǒng)則稱為有差系統(tǒng)。控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的精度怎樣，是它的一項重要的技術(shù)指標(biāo)，該穩(wěn)態(tài)指標(biāo)通常用穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實際值之間的差來衡量，稱為穩(wěn)態(tài)誤差。不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)，因此也就談不上穩(wěn)態(tài)誤差。

2023/2/68第三章線性系統(tǒng)時域分析法2動態(tài)指標(biāo)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)是以系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的響應(yīng)形式的特征來衡量的2023/2/69第三章線性系統(tǒng)時域分析法調(diào)整時間：輸出響應(yīng)到達并停留在誤差帶內(nèi)所需的最小時間，它反映了系統(tǒng)過渡過程的快慢程度。輸出的誤差帶范圍一般規(guī)定為其穩(wěn)態(tài)值的或，即振蕩次數(shù)：在調(diào)整時間間隔內(nèi)系統(tǒng)輸出響應(yīng)穿越穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)之半。2023/2/610第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.2一階系統(tǒng)的時域分析

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

為系統(tǒng)時間常數(shù)，是表征系統(tǒng)慣性的一個主要參數(shù)慣性環(huán)節(jié)

2023/2/611第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位階躍信號

輸出量的初值終值

一階系統(tǒng)如果能保持初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值1，所需的時間恰好為，這一特性也可以用于實驗方法測定2023/2/612第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.2.2一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位脈沖信號3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位斜坡信號

2023/2/613第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.2.4一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位加速度信號

系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡輸入時存在跟蹤誤差。系統(tǒng)的慣性越小，跟蹤的準(zhǔn)確度越高。一階系統(tǒng)在單位加速度信號作用下，其誤差隨時間的推移而增長，直至無窮大，不能實現(xiàn)對加速度信號的跟蹤。比較一階系統(tǒng)對上述4種典型輸入信號的響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在導(dǎo)數(shù)或積分的關(guān)系。此對應(yīng)關(guān)系說明，系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。或者反過來說，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由零輸入時的初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的重要特性。2023/2/614第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.3二階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式為

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式為為系統(tǒng)的阻尼比為系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率為系統(tǒng)振蕩周期

2023/2/615第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)的特征根（即閉環(huán)極點）為

1無阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對共軛純虛根，即

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

2023/2/616第三章線性系統(tǒng)時域分析法動態(tài)響應(yīng)是等幅震蕩的，震蕩頻率為無阻尼自然振蕩角頻率，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。

2023/2/617第三章線性系統(tǒng)時域分析法2欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對實部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)根，即有阻尼自然振蕩角頻率

閉環(huán)極點與負(fù)實軸的夾角為阻尼角，它只與阻尼比有關(guān)，即

系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2023/2/618第三章線性系統(tǒng)時域分析法欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是振幅隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期振蕩函數(shù)，最終趨于穩(wěn)態(tài)值1，其振蕩頻率為2023/2/619第三章線性系統(tǒng)時域分析法3臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對相重的負(fù)實根，即系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

動態(tài)響應(yīng)是無超調(diào)單調(diào)上升曲線，最終趨于穩(wěn)態(tài)值1，不可能出現(xiàn)震蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定。2023/2/620第三章線性系統(tǒng)時域分析法4過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對不相等的負(fù)實根，即系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

其中過渡過程曲線是無超調(diào)單調(diào)上升2023/2/621第三章線性系統(tǒng)時域分析法5負(fù)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)如果值減小而取負(fù)值，則系統(tǒng)閉環(huán)極點將從s平面的左半面移到右半面。當(dāng)時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對實部為正的共軛復(fù)數(shù)根，如圖3.3-5(a)所示。這時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為由于阻尼比為負(fù)，因此指數(shù)因子具有正的冪指數(shù)，從而決定了該單位階躍響應(yīng)具有發(fā)散正弦振蕩的形式因此，是描述系統(tǒng)動態(tài)性能的一個重要參數(shù)，一般希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)2023/2/622第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.3.2二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)本節(jié)主要針對欠阻尼的二階系統(tǒng)給出動態(tài)性能指標(biāo)的解析表達式。1上升時間

根據(jù)定義

取2023/2/623第三章線性系統(tǒng)時域分析法2峰值時間

根據(jù)定義

取由上式可以看出，峰值時間與閉環(huán)極點的虛部數(shù)值成反比。當(dāng)阻尼比一定時，閉環(huán)極點離負(fù)實軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的峰值時間越短。2023/2/624第三章線性系統(tǒng)時域分析法3超調(diào)量

根據(jù)定義

得二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量只與有關(guān)，阻尼比越小，超調(diào)量越大

。最大超調(diào)量發(fā)生在2023/2/625第三章線性系統(tǒng)時域分析法2023/2/626第三章線性系統(tǒng)時域分析法4調(diào)整時間

根據(jù)定義

得在忽略的前提下，則得調(diào)整時間

2023/2/627第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.3.3二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的改善因此，一般來說，在系統(tǒng)的響應(yīng)速度和阻尼程度之間存在著一定的矛盾，通常采取合理的折衷措施方能實現(xiàn)?！纠?-1】

如圖3.3-8所示的單位負(fù)反饋隨動系統(tǒng)，，。試求（1）特征參數(shù)和；（2）計算動態(tài)性能指標(biāo)和；（3）若要求，當(dāng)不變時，應(yīng)取何值？

解：（1）已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)增益2023/2/628第三章線性系統(tǒng)時域分析法（2）系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)：（3）若要求

當(dāng)不變時，可得

2023/2/629第三章線性系統(tǒng)時域分析法當(dāng)不變時，T增大值則阻尼比下降，超調(diào)量增大，同時也減少，從而使調(diào)整時間上升，系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)變差。通常時間常數(shù)在實際中是一個不可調(diào)的確定參數(shù)。當(dāng)不變時，減小開環(huán)增益值則阻尼比上升，使得系統(tǒng)的阻尼程度增大，超調(diào)量下降，系統(tǒng)振蕩愈平穩(wěn)，但同時也降低了自然頻率，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變緩。2023/2/630第三章線性系統(tǒng)時域分析法在改善二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的方法中，測速反饋控制和比例—微分控制是常用的方法。1測速負(fù)反饋控制【例3-2】在例3-1的系統(tǒng)中增加局部內(nèi)反饋—速度負(fù)反饋，如圖3.3-9所示。試求（1）系統(tǒng)的特征參數(shù)和；（2）當(dāng)，，若要求系統(tǒng)具有，確定參數(shù)，并計算調(diào)整時間和上升時間；（3）當(dāng)，若要求系統(tǒng)具有和的性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)參數(shù)和。2023/2/631第三章線性系統(tǒng)時域分析法解：（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)對應(yīng)二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相對于例3-1的式（3.3-14），加入速度負(fù)反饋，值不變，但是阻尼比增大，從而可減小超調(diào)量。（2）已知超調(diào)量2023/2/632第三章線性系統(tǒng)時域分析法（2）已知超調(diào)量由例3.3-1和例3.3-2可知，加入速度負(fù)反饋后，系統(tǒng)的阻尼比從0.25增加至0.5，超調(diào)量從44%下降至16%，調(diào)整時間從1.5下降至0.75，增加了系統(tǒng)阻尼程度提高響應(yīng)速度，改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。2023/2/633第三章線性系統(tǒng)時域分析法2比例—微分控制前向通道串聯(lián)一個比例—微分（PD）環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)閉環(huán)函數(shù)為二階系統(tǒng)的閉環(huán)零點

系統(tǒng)的阻尼比

由此可見，系統(tǒng)增加了比例—微分環(huán)節(jié)，相當(dāng)于附加了閉環(huán)負(fù)實零點，系統(tǒng)特征參數(shù)阻尼比增大，無阻尼自然頻率不變。2023/2/634第三章線性系統(tǒng)時域分析法欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點為

附加閉環(huán)負(fù)實零點的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為因此，附加閉環(huán)負(fù)實零點的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)等效為一個典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與系數(shù)為的單位脈沖響應(yīng)之和，如圖3.3-11所示。

2023/2/635第三章線性系統(tǒng)時域分析法在阻尼比保持不變的情況下，增加閉環(huán)負(fù)實零點后的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線響應(yīng)速度快，但是系統(tǒng)的超調(diào)量略有增大。2023/2/636第三章線性系統(tǒng)時域分析法附加閉環(huán)負(fù)實零點二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)各項性能指標(biāo)

2023/2/637第三章線性系統(tǒng)時域分析法圖3.3-12為前向通道加PD校正環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖，相對比校正前系統(tǒng)的性能指標(biāo)，校正后系統(tǒng)的超調(diào)量下降，上升時間和調(diào)整時間減少。由此可見，引入比例—微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，是超調(diào)量減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，同時增加的閉環(huán)負(fù)實零點對二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)起到了加速作用。這是因為它產(chǎn)生了一種早期控制（或稱超前控制），能在實際超調(diào)量出來之前產(chǎn)生一個修正作用。

2023/2/638第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-3】例3-1的典型二階系統(tǒng)，?，F(xiàn)采用PD校正，如圖3.3-10所示。為使阻尼比增加至，試確定值，并討論比例—微分對系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間的影響。解：根據(jù)例3-1，系統(tǒng)的特征參數(shù)為

閉環(huán)負(fù)實零點為

系統(tǒng)的超調(diào)量下降至

調(diào)整時間2023/2/639第三章線性系統(tǒng)時域分析法在二階系統(tǒng)的前向通道加入比例微分環(huán)節(jié)后，改善系統(tǒng)性能的效果較明顯，但實際使用中，也存在難以克服的缺點：（1）在實際中不能構(gòu)造出理想的比例微分環(huán)節(jié)；（2）微分環(huán)節(jié)對于頻率較高噪聲的放大作用遠(yuǎn)大于緩慢變化輸入信號的放大作用，應(yīng)該避免。如果對于系統(tǒng)的快速性不過分重視，可以采用測速負(fù)反饋如圖3.3-9所示，增大系統(tǒng)阻尼比，抑制超調(diào)量，在響應(yīng)速度上卻沒有串聯(lián)比例微分環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)那樣快，但噪聲的影響也相對小得多。2023/2/640第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.4高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式單位階躍輸入下，輸出響應(yīng)2023/2/641第三章線性系統(tǒng)時域分析法可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分量的合成，一般含有指數(shù)函數(shù)分量和衰減正余弦函數(shù)分量。單位階躍響應(yīng)的性質(zhì)可以根據(jù)其閉環(huán)極、零點在平面內(nèi)的分布情況進行分析。（1）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)各分量衰減的快慢取決于指數(shù)衰減常數(shù)，。系統(tǒng)閉環(huán)實數(shù)極點或復(fù)數(shù)極點的實部離虛軸越遠(yuǎn)，即，越大，則相應(yīng)的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢。（2）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和閉環(huán)極點在s平面中的位置有關(guān)，并且與閉環(huán)零點的位置有關(guān)。 如果一閉環(huán)極點的位置離虛軸很遠(yuǎn)，那么對應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)很小，幅值小，衰減快，對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響很小。

2023/2/642第三章線性系統(tǒng)時域分析法

如果一閉環(huán)極點靠近一閉環(huán)零點且離虛軸很遠(yuǎn)，則對應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)很小，該動態(tài)分量的影響也就越小。一對非?？拷拈]環(huán)零、極點在系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)中的作用近似相互抵消，這對零、極點稱為偶極子。如果一閉環(huán)極點遠(yuǎn)離閉環(huán)零點且離虛軸很近，則對應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)比較大，而且衰減慢，對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響很大。（3）上述結(jié)論既適合于實數(shù)極點，也適合于共軛復(fù)數(shù)極點。因而，如果忽略某些系數(shù)甚小的分量，對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響將不是很顯著。這樣，一個高階系統(tǒng)就有可能用一個低階的系統(tǒng)來近似。低階的近似系統(tǒng)也無非是由少數(shù)慣性子系統(tǒng)和振蕩子系統(tǒng)所組成。（4）在系統(tǒng)中，如果距虛軸最近的閉環(huán)極點其實部的絕對值為其它閉環(huán)極點實部絕對值1/5的甚至更小，并且在其附近又無閉環(huán)零點存在，則系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)將由它來左右。這種支配系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的極點叫做系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點，而所有其它極點則統(tǒng)稱為閉環(huán)非主導(dǎo)極點。2023/2/643第三章線性系統(tǒng)時域分析法例3-3

已知一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為令求輸出響應(yīng)用部分分式法將上式展開，由拉氏反變換得顯然，由極點s3=-15產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)項一僅幅值小，而且衰減得快，因而對系統(tǒng)的輸出響應(yīng)很小，故可把它略去。于是，系統(tǒng)的輸出可近似地用下式表示：2023/2/644第三章線性系統(tǒng)時域分析法設(shè)高階系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點則在單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出響應(yīng)2023/2/645第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。因而，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務(wù)之一。3.5.1穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1穩(wěn)定的基本概念因此，設(shè)線性系統(tǒng)在零初始條件下，選用只在瞬間出現(xiàn)的單位理想脈沖信號讓系統(tǒng)離開其平衡位置，若經(jīng)足夠長的時間，系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)，即則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/2/646第三章線性系統(tǒng)時域分析法2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

式中：為C（S）在閉環(huán)極點留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。2023/2/647第三章線性系統(tǒng)時域分析法綜上分析，得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程的根（特征根/閉環(huán)極點）全部為負(fù)實數(shù)或具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)，也就是閉環(huán)極點必須全部分布在s平面的左半部?；诰€性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，不難得出下列推論：（1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅與其閉環(huán)極點在s平面上的分布模式有關(guān)，而這種分布模式僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，所以線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。（2）穩(wěn)定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)必將隨時間推移而趨于零，反之，不穩(wěn)定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)必將隨時間推移而發(fā)散。2023/2/648第三章線性系統(tǒng)時域分析法（3）穩(wěn)定系統(tǒng)對幅值有界的輸入信號的響應(yīng)必為幅值有界，這是因為響應(yīng)過程的動態(tài)分量隨時間推移最終衰減到零。（4）在控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，有部分極點位于s平面的虛軸，而其余極點分布在平面的左半部時，出現(xiàn)所謂臨界穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定雖從李雅普諾夫意義上看是穩(wěn)定的，但從工程實踐角度看，一般認(rèn)為這種臨界穩(wěn)定屬于實際上的不穩(wěn)定。2023/2/649第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)則可以避免直接求特征方程的根，只要對特征方程的各項系數(shù)進行分析和計算就能判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程一般可以寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程的各項系數(shù)均大于0，即2023/2/650第三章線性系統(tǒng)時域分析法滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定，滿足必要條件的高階系統(tǒng)未必穩(wěn)定，因此高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要勞斯判據(jù)(充分條件)來判斷。 利用特征方程式（3.5-4）的各項系數(shù)組成如下排列的勞斯表:在勞斯表中，頭兩行元素是特征方程的各項系數(shù)組成，以后各行的元素是以上一行第一項系數(shù)為基礎(chǔ)，由相鄰前兩行的元素按照一定的規(guī)則計算而得。表中相關(guān)系數(shù)為2023/2/651第三章線性系統(tǒng)時域分析法勞斯判據(jù)指出：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列的所有系數(shù)均為正。若勞斯表中第一列的系數(shù)均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表中第一列的系數(shù)出現(xiàn)小于零的值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且勞斯表第一列的系數(shù)符號改變次數(shù)代表特征根即閉環(huán)極點的實部為正實數(shù)根的數(shù)目。（1）第一列所有系數(shù)均不為零的情況?！纠?-4】已知控制系統(tǒng)的特征方程如下，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及閉環(huán)極點的分布情況。2023/2/652第三章線性系統(tǒng)時域分析法解：①特征方程的系數(shù)全部大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件，列勞斯表如下系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點位于平面的右半平面2023/2/653第三章線性系統(tǒng)時域分析法解：①特征方程的系數(shù)全部大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件，列勞斯表如下系統(tǒng)穩(wěn)定2023/2/654第三章線性系統(tǒng)時域分析法2）某行第一列的系數(shù)等于零，而其余各項系數(shù)不全等于零的情況。

【例3-5】已知控制系統(tǒng)的特征方程為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點位于平面的右半平面2023/2/655第三章線性系統(tǒng)時域分析法（3）勞斯表出現(xiàn)某一行所有系數(shù)均為零的情況。這種情況下表示在平面內(nèi)存在著對稱于原點的特征根（或為大小相等、符號相反的實根；或為共軛虛根；或為實部符號相異而虛部數(shù)值相同的成雙對的共軛復(fù)根；或者上述情況同時存在），系統(tǒng)不穩(wěn)定?！纠?-6】已知控制系統(tǒng)的特征方程為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：①特征方程的系數(shù)全部大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件，列勞斯表如下2023/2/656第三章線性系統(tǒng)時域分析法輔助方程

用此導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行相應(yīng)的系數(shù)解輔助方程，出現(xiàn)兩對純虛根另外兩個特征根為2023/2/657第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-7】已知控制系統(tǒng)的特征方程為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程的系數(shù)出現(xiàn)零和小于零的情況，系統(tǒng)不穩(wěn)定，列勞斯表如下解輔助方程另外的特征根為2023/2/658第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用【例3-8】

設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖3.5-1所示，求滿足系統(tǒng)穩(wěn)定要求時K的取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為滿足穩(wěn)定要求K的取值范圍2023/2/659第三章線性系統(tǒng)時域分析法將s平面的虛軸左移一個距離，即將代入原特征方程中，得到以為z變量的新特征方程，再利用勞斯判據(jù)判斷新特征方程的穩(wěn)定性，若穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于垂線之左，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度?！纠?-9】系統(tǒng)特征方程為，試判斷系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定裕度。2023/2/660第三章線性系統(tǒng)時域分析法解：列出勞斯表為勞斯表第一列系數(shù)均大于0，系統(tǒng)穩(wěn)定將代入原特征方程，得,新特征方程為由勞斯表可以看出系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，這說明原系統(tǒng)剛好有的穩(wěn)定裕度。2023/2/661第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-10】

已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益Kc及其與時間常數(shù)T1、T2、T3的關(guān)系（參數(shù)均大于0）。解：系統(tǒng)的特征方程

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

2023/2/662第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差分為兩種，一種是當(dāng)系統(tǒng)僅僅受到給定輸入信號的作用而沒有任何擾動時的穩(wěn)態(tài)誤差，稱為給定穩(wěn)態(tài)誤差。另一種是給定輸入信號為0而有擾動信號作用于系統(tǒng)時的穩(wěn)態(tài)誤差，稱為擾動穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差是上述兩項穩(wěn)態(tài)誤差的代數(shù)和。討論穩(wěn)態(tài)誤差時所指的都是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

2023/2/663第三章線性系統(tǒng)時域分析法（1）輸入端定義從輸入端來看，定義給定輸入信號與主反饋信號（通常是被控量的測量值）之差為誤差，該誤差也常常稱為偏差，記為輸入端定義的誤差（偏差）為2023/2/664第三章線性系統(tǒng)時域分析法（1）輸出端定義從輸出端來看，定義輸出量的期望值與實際值之差為控制系統(tǒng)的誤差

輸出端定義的誤差（偏差）為反饋控制系統(tǒng)的規(guī)律是以偏差作為控制手段，減少或消除偏差，使被控制量接近于期望值，即2023/2/665第三章線性系統(tǒng)時域分析法由此可見，，輸出端定義的誤差是輸入端定義的誤差的倍。對于單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，，上面兩種定義的誤差大小相等，得到閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)為

2023/2/666第三章線性系統(tǒng)時域分析法系統(tǒng)的誤差響應(yīng)包括動態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量，那么當(dāng)時間趨于無窮時，我們只關(guān)切穩(wěn)定系統(tǒng)控制平穩(wěn)下來以后的誤差，即系統(tǒng)誤差響應(yīng)的動態(tài)分量消失后的穩(wěn)態(tài)誤差，記為。對于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，根據(jù)拉普拉斯變換的終值定理有要求的極點均位于平面的左半部（但可以包括坐標(biāo)原點處的唯一極點）。穩(wěn)態(tài)誤差取決于輸入信號的形式和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)類型及參數(shù)。

2023/2/667第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.6.2系統(tǒng)類型開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成典型環(huán)節(jié)的形式傳遞開環(huán)增益系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，即系統(tǒng)的型別若，稱該系統(tǒng)為型系統(tǒng)；若，稱該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；若，稱該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；依次類推。2023/2/668第三章線性系統(tǒng)時域分析法令

當(dāng)時，

3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差單位負(fù)反饋系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素有系統(tǒng)類型、開環(huán)增益和輸入信號的形式和大小。

2023/2/669第三章線性系統(tǒng)時域分析法1.階躍輸入作用階躍輸入作用下，，給定穩(wěn)態(tài)誤差為

定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)

2023/2/670第三章線性系統(tǒng)時域分析法2.斜坡輸入作用斜坡輸入作用下，，給定穩(wěn)態(tài)誤差為

定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)

2023/2/671第三章線性系統(tǒng)時域分析法3．加速度輸入作用加速度輸入作用下，，給定穩(wěn)態(tài)誤差為定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)

2023/2/672第三章線性系統(tǒng)時域分析法2023/2/673第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-11】

如圖3.6-2所示儀表伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，試計算（1）單位階躍輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；（2）當(dāng)時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定，可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差

（2）系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，相關(guān)靜態(tài)誤差系數(shù)為2023/2/674第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-12】

單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求正弦輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（）。解：

系統(tǒng)的誤差函數(shù)為

系統(tǒng)的誤差響應(yīng)

誤差的動態(tài)分量

2023/2/675第三章線性系統(tǒng)時域分析法誤差的動態(tài)分量

由式（3.6-8）計算穩(wěn)態(tài)誤差為此結(jié)果是錯誤的，這就是由于在s平面虛軸上有極點，不能采用拉普拉斯變換的終值定理的原因。2023/2/676第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.6.4擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入端定義的擾動誤差為

輸出端定義的擾動誤差為反饋控制系統(tǒng)的規(guī)律之一是不受外界干擾作用的影響，因此，在擾動信號作用下系統(tǒng)的期望輸出

2023/2/677第三章線性系統(tǒng)時域分析法由此可見，，輸出端定義的誤差是輸入端定義的誤差的倍。對于單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，，上面兩種定義的誤差大小相等，得到擾動信號作用下（給定輸入信號為零），單位負(fù)反饋系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為擾動穩(wěn)態(tài)誤差除了與擾動信號的形式有關(guān)，還與控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)。2023/2/678第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.6.5減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的措施如下：1).增大系統(tǒng)開環(huán)增益K或擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益。2).在系統(tǒng)的前向通道或擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增加串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)v。 一般情況，系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)不能超過兩個，增益也不能隨意放大，否則將導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)性能變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。2023/2/679第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-13】

設(shè)單位負(fù)反饋比例控制系統(tǒng)如圖3.6-4所示。為階躍輸入信號；為比例控制器輸出轉(zhuǎn)矩，用以改變被控對象的位置；為階躍擾動轉(zhuǎn)矩。試求①系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。②系統(tǒng)前向通道加入PI控制，如圖3.6-5所示，分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的變化情況。解：①給定輸入信號作用下，系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為2023/2/680第三章線性系統(tǒng)時域分析法擾動輸入信號作用下，系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為

要減小擾動穩(wěn)態(tài)誤差，需增大值，即擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道K1增益。系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為2023/2/681第三章線性系統(tǒng)時域分析法②系統(tǒng)前向通道加入PI控制，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為階躍輸入信號作用下，系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為

擾動信號作用下，系統(tǒng)的擾動誤差為

2023/2/682第三章線性系統(tǒng)時域分析法系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為要減小擾動穩(wěn)態(tài)誤差，即擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道積分環(huán)節(jié)個數(shù)。系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為2023/2/683第三章線性系統(tǒng)時域分析法3).為了進一步減少給定和擾動穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用補償?shù)姆椒?。所謂補償是指作用于控制對象的控制信號中，除了偏差信號外，還引入與擾動或給定輸入信號有關(guān)的補償信號，這種控制稱為復(fù)合控制或前饋控制（或順饋控制），如圖3.6-6及圖3.6-7所示。只要系統(tǒng)參數(shù)選擇合適，不但可以保持系統(tǒng)穩(wěn)定，同時也可以提高系統(tǒng)的控制精度，減小穩(wěn)態(tài)誤差。（1）在圖3.6-6中引入給定輸入信號的微分（一般為一階、二階微分）作為系統(tǒng)的附加輸入，這種情況下，復(fù)合控制系統(tǒng)的等效閉環(huán)傳遞函數(shù)為2023/2/684第三章線性系統(tǒng)時域分析法響應(yīng)的等效閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)由式（3.6-24）和式（3.6-25）可知，取則得，誤差，且，即。也就是說，當(dāng)式（3.6-26）所示條件滿足時，圖3.6-6所示復(fù)合控制系統(tǒng)對輸入信號實現(xiàn)了完全復(fù)現(xiàn)。2023/2/685第三章線性系統(tǒng)時域分析法（2）如果擾動信號是可測的，應(yīng)用順饋補償，通過補償通道來抵消擾動信號對系統(tǒng)輸出的影響，如圖3.6-7所示。在給定輸入為零、擾動信號作用下，擾動補償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)等效閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的擾動誤差為

若取2023/2/686第三章線性系統(tǒng)時域分析法則可完全補償擾動信號對系統(tǒng)輸出的影響。需注意，在一般情況下，實現(xiàn)對擾動信號的完全補償是比較困難的，通?？勺龅浇迫a償。前饋控制不改變系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母，不改變特征方程。因此，采用前饋控制的復(fù)合控制不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！纠?-14】設(shè)有控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3.6-6所示。為提高系統(tǒng)跟蹤控制信號的準(zhǔn)確度，要求系統(tǒng)由原來的Ⅰ型提高至Ⅲ型，為此在系統(tǒng)中增置了順饋通道。相關(guān)的傳遞函數(shù)為若已知系統(tǒng)參數(shù)為，試確定順饋參數(shù)和。2023/2/687第三章線性系統(tǒng)時域分析法解：根據(jù)式（3.6-24），復(fù)合控制系統(tǒng)的等效閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要使系統(tǒng)由原來的Ⅰ型提高至Ⅲ型，必須滿足2023/2/688第三章線性系統(tǒng)時域分析法【例3-15】某控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3.6-8所示，圖中的單位階躍響應(yīng)為。試求：（1）若，求系統(tǒng)超調(diào)量、調(diào)整時間和穩(wěn)態(tài)誤差。（2）若為可測的階躍擾動信號，為消除擾動對輸出的影響，試設(shè)計順饋補償裝置，并畫出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖。2023/2/689第三章線性系統(tǒng)時域分析法3.7MATLAB在時域分析法中的應(yīng)用系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于平面的左半面，即具有負(fù)實部的特征根。MATLAB提供了多項式求根函數(shù)roots()和矩陣求特征值函數(shù)eig()求取閉環(huán)系統(tǒng)所有的特征根。其中eig(tf(num,den))函數(shù)中tf(num,den)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。上一章求取系統(tǒng)零極點模型函數(shù)zpk()、tf2zp()以及系統(tǒng)零極點分布圖繪制函數(shù)pzmap()也可以做為系統(tǒng)穩(wěn)定性判別的輔助手段?！纠?-16】已知連續(xù)系統(tǒng)，試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/2/690第三章線性系統(tǒng)時域分析法解：Matlab程序為num=[3164128];den=[11411052814942117112];roots(den)eig(tf(num,den))[z,p,k]=tf2zp(num,den)

pjj=find(real(p)>0)n2=length(jj)if(n2>0)disp('thesystemisunstable')disp('theunstablepoleare:')disp(p(jj))elsedisp('thesystemisstable')endpzmap(p,z)2023/2/691第三章線性系統(tǒng)時域分析法2.典型輸入信號響應(yīng)的MATLAB實現(xiàn)當(dāng)輸入信號為單位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應(yīng)，在MATLAB中可用impluse()函數(shù)實現(xiàn)；當(dāng)輸入信號為單位階躍函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出為單位階躍響應(yīng)，在MATLAB中可用step()函數(shù)實現(xiàn)；在大多數(shù)情況下，需要求取在任意已知函數(shù)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，在MATLAB中可用lsim()函數(shù)實現(xiàn)。它們的調(diào)用格式分別為impulse(num,den)或者[y,t,x]=impulse(num,den,t)step(nu