第3章矩陣的初等變換與線性方程組

第三章矩陣的初等變換與線性方程組

線性代數(shù)§3–1矩陣的初等變換第三章矩陣的初等變換與線性方程組§3–3線性方程組的解§3–2矩陣的秩§3-1矩陣的初等變換矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算它在解線性方程組、求逆陣及矩陣理論的探討中都可起重要的作用。一、消元法解線性方程組

引例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．解：用“回代”的方法求出解：于是解得（2）其中c為任意常數(shù)。令x3=c,方程組的解可記作其中x3為任意取值。小結(jié)：1、上述解方程組的方法稱為消元法．

2、始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3、上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算。若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B—方程組（1）的增廣矩陣—的變換。二、矩陣的初等變換定義3-1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:（1）互調(diào)：對調(diào)兩行（對調(diào)i，j兩行，記作：ri

?rj

）（2）倍乘：以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素；（第i行乘以數(shù)k，記作：ri

k

）（3）倍加：把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去；（第j行的k倍加到第i行上，記作：ri+krj）1、矩陣的初等變換定義3-2

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為

初等變換。初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用標記把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換2、矩陣的等價關(guān)系如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B等價記作A~B。如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B行等價記作A

~

B。r如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B列等價記作A~B。c等價關(guān)系的性質(zhì)

(1)反身性：

A

~A

(2)對稱性：若A

~B

則B

~A

(3)傳遞性：若A

~B

B

~C

則A

~C

。

例如用矩陣的初等行變換解方程組（1）：3、矩陣初等變換舉例

其中c為任意常數(shù)?；蛄顇3=c方程組的解可記作B5對應(yīng)的方程組的解為4、矩陣初等變換結(jié)果形

行階梯形矩陣

行階梯形矩陣特點：

（1）階梯線下方全是0；（2）每個臺階高度是1行；（3）階梯豎線后面第一個元素為非零元。行最簡形矩陣

行最簡形矩陣特點：

行階梯形矩陣非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都為0。

可以證明對于任何矩陣A

總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣。對行最簡形矩陣再施以初等列變換可變成一種形狀更簡單的矩陣稱為標準形。~c矩陣的標準形矩陣標準形的特點是

左上角是一個單位矩陣其余元素全為0。所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.矩陣總可以經(jīng)過初等變換化為標準形此標準形由m,n,r三個數(shù)唯一確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。例如，~c三、初等變換的性質(zhì)由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。

1、初等矩陣（1）三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣。

E(i

j)表示對調(diào)單位矩陣E的第i

j兩行(列)得到的初等矩陣。——E(i

j)左乘矩陣A，相當(dāng)于：把A的第i

j兩行對調(diào)；——E(i

j)右乘矩陣A，相當(dāng)于：把A的第i

j兩列對調(diào)；E(i(k))表示用非零數(shù)k乘E的第i行(列)得到初等矩陣?！狤(i(k))左乘矩陣A，相當(dāng)于：把A的第i行乘k倍；——E(i(k))右乘矩陣A，相當(dāng)于：把A的第i列乘k倍；

E(ij(k))表示把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行上或把單位矩陣E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩陣。第i列第j列——E(ij(k))左乘矩陣A，相當(dāng)于：把A的第j行的k倍加到第i行上；——E(ij(k))右乘矩陣A，相當(dāng)于：把A的第i列的k倍加到第j列上；（2）初等矩陣可逆性

初等矩陣都是可逆的并且

（3）初等矩陣應(yīng)用

[性質(zhì)3-1]

設(shè)A是一個mn矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于對A左乘相應(yīng)的m階初等矩陣對A施行一次初等列變換相當(dāng)于對A右乘相應(yīng)的n

階初等矩陣。

例如設(shè)則有

~r1r2（3）初等矩陣應(yīng)用

[性質(zhì)3-1]

設(shè)A是一個mn矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于對A左乘相應(yīng)的m階初等矩陣對A施行一次初等列變換相當(dāng)于對A右乘相應(yīng)的n

階初等矩陣。

例如設(shè)則有

~c12c3（3）初等矩陣應(yīng)用

[性質(zhì)3-1]

設(shè)A是一個mn矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于對A左乘相應(yīng)的m階初等矩陣對A施行一次初等列變換相當(dāng)于對A右乘相應(yīng)的n

階初等矩陣。

[性質(zhì)3-2]方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1

P2

Ps

使AP1P2

Ps

推論方陣A可逆的充分必要條件是A~E

r注：此定理可以利用上述[性質(zhì)3-1]和[性質(zhì)3-2]證明。

考研題：n階方陣A與B等價，若A=0，則B=____

。（1）存在可逆矩陣P

使PAB

（2）存在可逆矩陣Q

使AQB

（3）存在可逆矩陣P、Q

使PAQB

[定理3-1]

四、初等變換的應(yīng)用（1）設(shè)A~B,即A經(jīng)一系列初等行變換化為B，則有可逆矩陣P，使得PA=B。如何求可逆矩陣P？r由于方法：對矩陣(A

E)作初等行變換，化為(B

P)。即當(dāng)把A變?yōu)锽時，E就變?yōu)镻。

[例3-1]

設(shè)的行最簡形矩陣為F，求F，并求一個可逆矩陣P，使得PA=F

[解]~P（A

E)(F

P)PAF~即~1、求逆矩陣的初等行變換法強調(diào)：由此得到了一個求逆矩陣的巧妙方法—初等變換法，即：P(A

E)對矩陣(A

E)進行初等行變換，當(dāng)A變?yōu)镋時，E就變?yōu)锳1！若矩陣A可逆設(shè)PAE(則P是A的逆矩陣)，顯然PEP，

求逆矩陣方法小結(jié)：（1）定義法、（2）伴隨矩陣法、

（3）分塊矩陣法、（4）初等行變換法

(E

A1)(E

P)

[例3-2]

設(shè)求A1

[解]~~~11-111130-2010-2300010-31-3-2-305-2223~~~~即所以方法：對矩陣(A

B)作初等行變換，化為(E

X)。即當(dāng)把A變?yōu)镋時，B就變?yōu)閄。2、求解矩陣方程若B是常數(shù)列向量

，則此法可解線性方程組。設(shè)A是可逆矩陣，求解

[例3-3]

求解矩陣方程AX=B，其中[解]~~~即~所以

[例3-4]

設(shè)求線性方程組

的解~[解]記

則兩個線性方程組可合成一個矩陣方程AXB§3-2矩陣的秩我們已經(jīng)知道給定一個mn矩陣A

它的標準形由數(shù)r完全確定。r也就是A的行階梯形中非零行的行數(shù)即矩陣A的秩。

“秩”者“秩序”也，它來源于求解線性方程組，在求解過程中需要將“渾水摸魚”的方程“揪”出來，以維護方程組的正常“秩”序！上一節(jié)的例子：

此例中增廣矩陣B的行階梯形中非零行的行數(shù)為3

所以3便是增廣矩陣B的秩

其解為其中x3為任意取值。一、矩陣秩的概念矩陣的秩1、k階子式

[定義3-3]在mn矩陣A中任取k行與k列(km

kn)

位于這些行列交叉處的k2個元素不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式稱為矩陣A的k階子式。

例如是A的一個二階子式mn矩陣A的k階子式共有個。2、矩陣的秩[定義3-4]設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D

且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式數(shù)r稱為矩陣A的秩記作R(A)。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。

——矩陣A的秩R(A)等于A中非零子式的最高階數(shù)。

(1)若矩陣A中有某個s階子式不為0

則R(A)s；若A中所有t階子式全為0

則R(A)t。

幾個結(jié)論

(4)對于n階矩陣A

當(dāng)|A|0時

R(A)n

當(dāng)|A|0時

R(A)n

(3)R(AT)R(A)。

(2)若A為mn矩陣則0R(A)min{m

n}?！赡婢仃囉址Q為滿秩矩陣不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱為降秩矩陣

[例3-5]

求矩陣A和B的秩其中[解]（1）在A中容易看出一個2階子式A的3階子式只有一個|A|

經(jīng)計算可知|A|0

因此R(A)2

提示

以三個非零行的首非零元為對角元的3階子式：是一個上三角行列式它顯然不等于0

因此R(B)3

（2）B是一個有3個非零行的行階梯形矩陣其所有4階子式全為零對于行階梯形矩陣它的秩就等于非零行的行數(shù)。二、初等變換法求矩陣的秩[定理3-2]

若A~B

則R(A)R(B)——[定理3-2]給出了求矩陣的秩的方法：只要把矩陣用初等行變換化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩

[推論]

若可逆陣P、Q使得PAQ=B，則R

(A)R(B)[例3-6]

設(shè)求矩陣A的秩并求A的一個最高階非零子式。[解]~所以R(A)3。為求A的最高階非零子式考慮由A的1、2、4列構(gòu)成的矩陣：因為A0的子式所以這個子式是A的最高階非零子式。

[例3-7]

求矩陣A及B(A

b)的秩其中[解]則A0就是A的行階梯形矩陣。對B(A

b)作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣設(shè)其行階梯形矩陣為B0(A0

b0)故從B0(A0

b0)中可同時看出R(A)及R(B)

注以B為增廣矩陣的線性方程組Axb是無解的這是因為行階梯形矩陣的第3行表示矛盾方程01。因為所以R(A)2

R(B)3

~(4)若P、Q可逆則R(PAQ)R(A)(1)0R(Amn)min{m

n}三、矩陣秩的性質(zhì)前面介紹了矩陣秩的基本性質(zhì)：(2)R(AT)R(A)(3)若A~B

則R(A)R(B)

(8)若Amn

BnlO

則R(A)R(B)n

(7)R(AB)min{R(A),R(B)}

(6)R(AB)R(A

B)R(A)R(B)(5)max{R(A),R(B)}R(A

B)R(A)R(B)——特別地當(dāng)B為列向量時有（證明見下節(jié)定理7證明）（證明見下章例13）所以[例3-8]

設(shè)A為n階矩陣

證明R(AE)R(AE)n

[證明]因為由性質(zhì)(6)

有而即四、有關(guān)矩陣秩的重要結(jié)論（1）

A為mn矩陣

則R（A）=n矩陣

則稱A為列滿秩矩陣。R（A）=m矩陣

則稱A為行滿秩矩陣。（2）若A為n階方陣

則若R（A）=n矩陣則稱A為滿秩矩陣1、列滿秩矩陣、行滿秩矩陣2、幾個重要結(jié)論[結(jié)論1]

Amn為行滿秩矩陣A的標準形為（Em，O）[結(jié)論2]

Amn為列滿秩矩陣A的標準形為[結(jié)論3][結(jié)論4]對n階方陣A，[結(jié)論5][例3-9]

證明：若AB=C，A為列滿秩矩陣，則

R(B)=R(C)

[證明]設(shè)A為mn矩陣

則R（A）=nA行最簡形矩陣為，并有m階可逆陣P，使得特例：

若AB=O，A為列滿秩矩陣，則

B=O

思考題設(shè)A為任意矩陣

R(ATA)與R(A)是否相等？解答：相等由此可知因為對于非零列向量（1）當(dāng)時（2）反之當(dāng)時綜合(1)、(2)即§3-3線性方程組的解設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的線性方程組一、線性方程組解的個數(shù)線性方程組(1)若有解，則稱它是相容的，若無解，稱其不相容。(1)無解的充要條件——R(A)R(A

b)(2)

唯一解的充要條件——R(A)R(A

b)n(3)有無限多解的充要條件——R(A)R(A

b)n

[定理3-3]

n元線性方程組Axb，則：二、線性方程組的解n元齊次線性方程組:1、齊次線性方程組由[定理3-3]知，齊次線性方程組肯定有解。（1）當(dāng)R(A)=n時，齊次線性方程組有唯一零解。（2）當(dāng)R(A)=r<n時，齊次線性方程組有非零解（無限多解）。解齊次線性方程組的重點是求非零解(通解）。求解齊次線性方程組的方法：（1）對系數(shù)矩陣A作行變換化為行階梯形。確定（2）若r=n,則知：（3）若R（A）=r<n，進一步將A化成行最簡形。根據(jù)A的行最簡形，寫出含n-r個參量的通解（非零解）。齊次線性方程組只有零解。[例3-10]求解齊次線性方程組[解]對系數(shù)矩陣A作行初等變換，化為行最簡形：~~方程組有唯一解[例3-11]求解齊次線性方程組[解]對系數(shù)矩陣A作行初等變換，化為行最簡形：~~~~~由A的行最簡形，得：令x2=c1,x4=c2，則有：求解線性方程組的方法：（1）對增廣矩陣B作行變換化為行階梯形。確定和（2）若R（A）=R（B），則進一步把B化成行最簡形。（3）若R（A）=R（B）=n，，由B的行最簡形，即可寫出方程組有唯一解。若則方程無解。2、非齊次線性方程組（4）設(shè)R（A）=R（B）=r<n，由B的行最簡形，即可寫出含n-r個參量的通解。還以上節(jié)課中線性方程組為例：~~[例3-12]求解非齊次線性方程組[解]對增廣矩陣B作行初等變換，化為行最簡形：~~此方程組無解。[例3-13]求解非齊次線性方程組[解]增廣矩陣B作行初等變換，化為行最簡形：~~~解得：即三、矩陣方程1、線性方程組[定理3-4]

n元齊次線性方程組

有非零解的充要條件是：[定理3-5]

線性方程組有解的充要條件是

[定理3-6]

矩陣方程AX=B有解的充要條件是

2、矩陣方程將X和B按列分塊為：矩陣方程有解無解的判別矩陣方程AX=B的求解方法[定理3-7]

設(shè)AB=C，則[證明]

：因AB=C，知矩陣方程AX