控制工程(第3章)

第三章：控制系統(tǒng)的時域分析時域分析的實(shí)質(zhì)直接解系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式時間域的微分方程拉氏變換復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程復(fù)域解時域解拉氏反變換瞬態(tài)解自由解瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解強(qiáng)迫解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時域問題變換方法復(fù)域問題3.1控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)

控制系統(tǒng)的時域分析就是在時間域內(nèi)，直接求解描述系統(tǒng)性能的運(yùn)動微分方程或動態(tài)方程，它們的解就是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，亦稱為時間響應(yīng)。

控制工程主要研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

一零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)僅有激勵而初始狀態(tài)為零的響應(yīng)僅有初始狀態(tài)而激勵為零時的響應(yīng)

若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸人激勵，則對于線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，其輸出總響應(yīng)必然是每個輸入單獨(dú)作用時相應(yīng)輸出的疊加☆系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等號右邊的第一項(xiàng)是系統(tǒng)的自然響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于系統(tǒng)函數(shù)G的極點(diǎn)在s平面的位置，體現(xiàn)了系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，與激勵函數(shù)的形式無關(guān)，其中的每一項(xiàng)稱為自然響應(yīng)模式；第二項(xiàng)是系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于輸入激勵u的極點(diǎn)在S平面的位置，即輸入信號的性質(zhì)。但是待定系數(shù)與G和u的零極點(diǎn)分布都有關(guān)系。零狀態(tài)響應(yīng)為：設(shè)系統(tǒng)輸入為：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：若函數(shù)中不含有多重極點(diǎn)，可展成部分分式:取拉氏反變換，得到零狀態(tài)響應(yīng):零狀態(tài)響應(yīng)的模式由系統(tǒng)G（s）和輸入u（s）的極點(diǎn)共同確定。☆瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若u(s)的極點(diǎn)實(shí)部大于或等于零，或者極點(diǎn)在原點(diǎn)，仍假定G(s)具有負(fù)實(shí)部的極點(diǎn)，在此情況下，自然響應(yīng)就是瞬態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。根據(jù)微分方程理論，系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)的函數(shù)結(jié)構(gòu)與微分方程的右函數(shù)（自變量）結(jié)構(gòu)相同，即與輸入信號結(jié)構(gòu)相同。二瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)還可以分為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。隨著時間t的增大而衰減為零的部分為瞬態(tài)響應(yīng)，其余部分為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)與G(s)和u(s)都有關(guān)系。當(dāng)G(s)和u(s)的極點(diǎn)都在S域左半平面時，瞬態(tài)響應(yīng)等于自然響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)之和，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于零?！钕到y(tǒng)的時間響應(yīng)3.2控制系統(tǒng)時間響應(yīng)的求解

一基于傳遞函數(shù)的輸出響應(yīng)求解實(shí)質(zhì)：用拉普拉斯反變換求解系統(tǒng)運(yùn)動微分方程求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，可按下列步驟進(jìn)行：(1)設(shè)初始條件為零，對高階微分方程進(jìn)行拉氏變換；(2)求解關(guān)于s的代數(shù)方程，得輸出響應(yīng)的拉氏變換Y(s)；(3)對y(s)進(jìn)行部分分式展開；(4)取反變換后，得到y(tǒng)(t)。例1已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸人為單位階躍函數(shù)，初始條件均為零。求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。解：根據(jù)傳遞函數(shù)定義有：階躍輸入的拉氏變換為：部分分式展開：一基于傳遞函數(shù)的輸出響應(yīng)求解待定系數(shù)的求法：用乘上式兩邊，取s→pi的極限。注意：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的兩個極點(diǎn)在指數(shù)上。第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是階躍函數(shù)；后兩項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)，因系統(tǒng)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，隨著時間的增加將逐漸衰減為零。極點(diǎn)距s平面虛軸越遠(yuǎn)衰減越快。結(jié)論：系統(tǒng)極點(diǎn)決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的特性。

取反變換后，得到y(tǒng)(t)例2：系統(tǒng)的零點(diǎn)影響例2

可見，盡管這兩個系統(tǒng)的極點(diǎn)相同，但由于零點(diǎn)不同，它們的響應(yīng)截然不同，系統(tǒng)1有超調(diào)。例2已知兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)分別為系統(tǒng)的零點(diǎn)影響系統(tǒng)響應(yīng)曲線的形狀。結(jié)論二基于動態(tài)方程的時間響應(yīng)求解系統(tǒng)動態(tài)方程已知初始狀態(tài)和輸入，求狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)⒈齊次方程求解——零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的齊次方程時，其解為時，其解為結(jié)論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式為⒉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣——矩陣指數(shù)的性質(zhì)

矩陣指數(shù)函數(shù)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記之為Φ(t)。傳遞性分解性可逆性非齊次方程求解⒊非齊次方程求解——全響應(yīng)（狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程）

第一部分由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移而來，即對初態(tài)的響應(yīng)；第二部分是控制作用u(t)的作用結(jié)果。適當(dāng)選擇控制作用u(t)，可使系統(tǒng)的響應(yīng)過程，即狀態(tài)X(t)按預(yù)定的性能指標(biāo)的要求變化。：輸出響應(yīng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算方法

⒋狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算方法①級數(shù)展開法計算機(jī)求解，編程簡單。精度取決于k值的大小。②拉氏變換法Cayley-Hamilton定理的余數(shù)法

3.3

控制系統(tǒng)動態(tài)性能分析

控制系統(tǒng)必須具有良好的動態(tài)特性，從而使系統(tǒng)能迅速跟蹤參考輸入信號，并且不產(chǎn)生劇烈的振蕩。因此，對系統(tǒng)動態(tài)性能進(jìn)行分析，改善瞬態(tài)響應(yīng)是自動控制系統(tǒng)分析與設(shè)計的核心工作之一。

一二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)分析為了衡量系統(tǒng)的動態(tài)性能，同時能對不同系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較，通常采用單位階躍函數(shù)作為測試信號。相應(yīng)地，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。任何復(fù)雜系統(tǒng)都是由簡單的一階、二階系統(tǒng)組成任何復(fù)雜信號都是由簡單信號疊加而成的—傅立葉級數(shù)線性穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)輸入的微分(積分)響應(yīng)的微分(積分)輸入脈沖函數(shù)階躍函數(shù)加速度函數(shù)速度函數(shù)積分積分微分1.二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖

二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

注意典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的聯(lián)系與區(qū)別

二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

2.二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布：

根據(jù)系統(tǒng)阻尼比ζ的值，二階系統(tǒng)有：3.二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線⑴系統(tǒng)在s左半平面上有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)①欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是正弦衰減振蕩，衰減的快慢與系統(tǒng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部有關(guān)，距虛軸越遠(yuǎn)，衰減越快；振蕩頻率取決于極點(diǎn)的虛部。阻尼比影響振蕩的程度。

注意極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部在指數(shù)上，虛部是振蕩頻率。3.二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線⑵②無阻尼系統(tǒng)有一對共軛虛極點(diǎn)，響應(yīng)是等幅振蕩曲線③臨界阻尼系統(tǒng)④過阻尼系統(tǒng)兩個相同的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，兩個相同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)有兩個負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)單調(diào)上升曲線單調(diào)上升但不會超過穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)是非振蕩的。兩個極點(diǎn)中離s平面原點(diǎn)較遠(yuǎn)的極點(diǎn)對應(yīng)的瞬態(tài)分量幅值較小，衰減較快。隨著阻尼比的增大，其中一個極點(diǎn)將越來越遠(yuǎn)離s平面原點(diǎn)，其幅值越來越小，衰減越來越快；而另一個極點(diǎn)越來越靠近原點(diǎn)，其幅值越來越大，衰減越來越慢。當(dāng)阻尼比ζ》1時，式右邊最后一項(xiàng)可以忽略，二階系統(tǒng)可以用靠近原點(diǎn)的那個極點(diǎn)所表示的一階系統(tǒng)來近似分析。4.系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)分析①響應(yīng)特性與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)

②響應(yīng)的快慢與極點(diǎn)距離虛軸的遠(yuǎn)近有關(guān)

③阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ωn

確定了系統(tǒng)動態(tài)特性

閉環(huán)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，時間趨向無窮大時，瞬態(tài)響應(yīng)趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。極點(diǎn)距離虛軸近，對應(yīng)的響應(yīng)模式衰減慢；距離越遠(yuǎn)衰減越快。阻尼比ζ確定了系統(tǒng)響應(yīng)振蕩特性—響應(yīng)平穩(wěn)性。ζ越小，響應(yīng)振蕩越劇烈；ζ越大，響應(yīng)越緩慢呆滯。無阻尼自然頻率ωn確定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)過程時間的長短—響應(yīng)快速性。ωn越小，即時間常數(shù)T越大，響應(yīng)就慢，反之，ωn越大，即時間常數(shù)T越小，響應(yīng)就越快。響應(yīng)快速性與響應(yīng)平穩(wěn)性是相互矛盾的。共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：衰減正弦振蕩曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：響應(yīng)是單調(diào)上升曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。共軛虛極點(diǎn)：等幅振蕩曲線，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

※一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)舉例

特點(diǎn)：有一個蓄能元件，含時間常數(shù)，具有慣性，輸出滯后輸入。

響應(yīng)分析：：時間常數(shù)※脈沖響應(yīng)函數(shù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)是輸入函數(shù)和系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。單位脈沖響應(yīng)函數(shù)也是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型離散和連續(xù)和二控制系統(tǒng)時域動態(tài)性能指標(biāo)最大超調(diào)量:相對穩(wěn)定性,響應(yīng)平穩(wěn)性,阻尼程度時間指標(biāo)：響應(yīng)的快速性。注意：響應(yīng)的平穩(wěn)性與快速性是相互矛盾的。1.時域動態(tài)性能指標(biāo)概念與定義

峰值時間tp：響應(yīng)曲線第一次到達(dá)最大峰值所需時間。調(diào)節(jié)時間ts：系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線進(jìn)入并保持在穩(wěn)態(tài)值±Δ%允許誤差范圍內(nèi)的最小時間?！捆?取穩(wěn)態(tài)值的±2%或±5%，根據(jù)系統(tǒng)所完成的任務(wù)而定。調(diào)節(jié)時間又稱調(diào)整時間、過渡過程時間。線性控制系統(tǒng)典型的單位階躍響應(yīng)曲線延遲時間td：系統(tǒng)階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間。上升時間tr：系統(tǒng)階躍響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。超調(diào)量σ：又稱最大超調(diào)量，反映系統(tǒng)響應(yīng)振蕩的劇烈程度。2.欠阻尼二階系統(tǒng)時域性能指標(biāo)計算只有二階系統(tǒng)可以推導(dǎo)出上述性能指標(biāo)的解析式，其他系統(tǒng)只能從響應(yīng)曲線、仿真結(jié)果中獲取相應(yīng)指標(biāo)數(shù)值。延遲時間、上升時間、峰值時間和調(diào)節(jié)時間都是系統(tǒng)無阻尼自然頻率和阻尼比的函數(shù)，當(dāng)阻尼比給定時，系統(tǒng)自然頻率越高，這些時間指標(biāo)越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。超調(diào)量僅僅是阻尼比的函數(shù)。學(xué)生思考的問題：①綜合性能指標(biāo)；②高階系統(tǒng)的降階處理；③速度反饋的作用；④傳遞函數(shù)零點(diǎn)的影響；⑤系統(tǒng)對輸入信號的微分（積分）的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的微分（積分）。振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)，響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。在上述指標(biāo)中，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量反映了對系統(tǒng)動態(tài)性能最重要的要求：響應(yīng)快速性和相對穩(wěn)定性。⒉欠阻尼二階系統(tǒng)時域性能指標(biāo)計算☆自然響應(yīng)模式的概念⑴若輸出函數(shù)中不含有多重極點(diǎn)，可展成部分分式:

取拉氏反變換，得到零狀態(tài)響應(yīng):

零狀態(tài)響應(yīng)的模式由系統(tǒng)G(s)和輸入R(s)的極點(diǎn)共同確定。式中，等號右邊的第一項(xiàng)和式是系統(tǒng)的自然響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于系統(tǒng)函數(shù)G(s)的極點(diǎn)在S平面的位置，體現(xiàn)了系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，與激勵函數(shù)的形式無關(guān)，其中的每一項(xiàng)稱為自然響應(yīng)模式，亦稱為主振型、主模態(tài)；第二項(xiàng)和式是系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于輸入激勵R(s)的極點(diǎn)在S平面的位置。但是待定系數(shù)Ck（留數(shù)）與G(s）和R(s）的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布都有關(guān)系。?！钭匀豁憫?yīng)模式的概念⑵當(dāng)G(s)的極點(diǎn)與R(s)的零點(diǎn)或G(s)的零點(diǎn)和R(s)的極點(diǎn)相消時，就會使G(s)的極點(diǎn)所對應(yīng)的自然響應(yīng)模式或R(s)的極點(diǎn)所對應(yīng)的強(qiáng)迫響應(yīng)模式消失。若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸人激勵，一般它相當(dāng)一些脈沖信號，可以證明零輸入響應(yīng)(自然響應(yīng))的模式由D(s)＝0的根確定，它的幅度和相位則與初始狀態(tài)有關(guān)。這里D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根或系統(tǒng)的固有頻率?？梢哉f零輸入響應(yīng)的模式由系統(tǒng)的固有頻率確定。如果G(s)沒有零、極點(diǎn)相消，則特征方程D(s)=0的根也就是G(s)的極點(diǎn)，則零輸入響應(yīng)的模式由G(s)的極點(diǎn)確定。但是，當(dāng)G(s)有零極點(diǎn)相消時，系統(tǒng)的某些固有頻率在G(s)的極點(diǎn)中將不再出現(xiàn)，這時零輸入響應(yīng)的模式不再由G(s)的極點(diǎn)確定，但G(s)的零極點(diǎn)是否相消，并不影響零狀態(tài)響應(yīng)的模式。這一現(xiàn)象說明，系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)一般只用于研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?！顚W(xué)習(xí)中應(yīng)思考的問題

綜合性能指標(biāo)高階系統(tǒng)的降階處理速度反饋的作用傳遞函數(shù)零點(diǎn)的影響系統(tǒng)對輸入信號的微分（積分）的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的微分（積分）。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其結(jié)構(gòu)參數(shù)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)系統(tǒng)的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性即系統(tǒng)性能瞬態(tài)性能指標(biāo)響應(yīng)的快速性響應(yīng)的平穩(wěn)性無阻尼自然振動頻率ωn系統(tǒng)阻尼比ζ3.3線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性的物理意義系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一穩(wěn)定性概念與物理意義系統(tǒng)處于偏離平衡位置的初始狀態(tài)，且不存在輸入作用，若在初始狀態(tài)的影響下，系統(tǒng)的時間響應(yīng)隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于零，即回到平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，若在初始狀態(tài)影響下,系統(tǒng)的時間響應(yīng)隨時間的推移發(fā)散(即偏離平衡位置來越遠(yuǎn))，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。⒈系統(tǒng)穩(wěn)定不穩(wěn)定舉例穩(wěn)定不穩(wěn)定c點(diǎn)穩(wěn)定，a、e點(diǎn)不穩(wěn)定⒉穩(wěn)定性定義當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態(tài)被破壞，但它仍能恢復(fù)到原有平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，通常稱為穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個動態(tài)屬性?！€(wěn)定性的物理意義穩(wěn)定性概念系統(tǒng)的由初始狀態(tài)所引起的時間響應(yīng)隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于零，即回到平衡位置的性質(zhì)。系統(tǒng)在受到擾動作用后，隨著時間的推移，系統(tǒng)能恢復(fù)到原有平衡工作點(diǎn)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)：系統(tǒng)齊次微分方程的解是收斂的。穩(wěn)定性的物理意義

響應(yīng)是有界的；系統(tǒng)能夠消耗初始狀態(tài)提供給系統(tǒng)的能量?！罘€(wěn)定程度——相對穩(wěn)定性⒊穩(wěn)定性的物理意義系統(tǒng)的初始狀態(tài)就是系統(tǒng)的蓄能狀態(tài)，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性就是研究系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的情況。如果零輸入響應(yīng)逐漸衰減并趨向于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)能夠消耗系統(tǒng)初始蓄存的能量?；蛘哒f，系統(tǒng)的響應(yīng)是能量有界的。⒋穩(wěn)定程度——相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)逐漸衰減并趨于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是發(fā)散的，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。而如果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)趨于某一恒定值或成為等幅振蕩，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定的邊緣，即處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。顯然，對于實(shí)際的系統(tǒng)，臨界穩(wěn)定狀態(tài)一般是不能工作的。而且即使沒有超出臨界穩(wěn)定狀態(tài)，只要與臨界穩(wěn)定狀態(tài)接近到某一程度，系統(tǒng)在實(shí)際工作中就可能變成不穩(wěn)定。因此，對一個實(shí)際系統(tǒng)，只知道系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定是不夠的，還要了解系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即系統(tǒng)必須具有穩(wěn)定性儲備。系統(tǒng)離開臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，反映了系統(tǒng)穩(wěn)定的程度，稱為相對穩(wěn)定性。

二線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負(fù)實(shí)部；反之，若特征根中只要有一個具有正實(shí)部，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。也可以表述為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的全部極點(diǎn)均位于[s]平面的左半開平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定,反之，只要有一個極點(diǎn)位于[s]平面的右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

注意：系統(tǒng)運(yùn)動微分方程右端各項(xiàng)系數(shù)，對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響，這相當(dāng)于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的各零點(diǎn)對穩(wěn)定性沒有影響，因?yàn)檫@些系數(shù)僅反映系統(tǒng)與外界作用的關(guān)系，與系統(tǒng)穩(wěn)定與否無關(guān)。線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根，即取決于系統(tǒng)本身的固有特性。三穩(wěn)定性時域判據(jù)——勞斯判據(jù)

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是其特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此，要判別某系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只要解得系統(tǒng)特征根即可。但實(shí)際控制系統(tǒng)的特征方程往往是高階的，求解困難。如果不去直接求解特征方程，就能判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么在工程上就有現(xiàn)實(shí)意義。為此形成了一系列穩(wěn)定性判據(jù)，其中最重要的是(1884年)勞斯(Routh)判據(jù)。勞斯判據(jù)是基于方程式的根和系數(shù)的關(guān)系建立起來的，它是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件。1.應(yīng)用勞斯判據(jù)的步驟下面以六階系統(tǒng)為例說明勞斯判據(jù)的用法。步驟判據(jù)⒈列寫系統(tǒng)特征方程（特征多項(xiàng)式）⒉列出勞斯表⒊考查勞斯表第一列元素的符號，進(jìn)行判別。符號相同則系統(tǒng)穩(wěn)定，不同則系統(tǒng)不穩(wěn)定；符號改變的次數(shù)是正實(shí)部根的數(shù)目。2.勞斯判據(jù)應(yīng)用舉例⒉列出勞斯表，勞斯表將有n+1行；此例有7行。⒈已知六階系統(tǒng)的特征方程為

◎勞斯表的排列與計算◎勞斯判據(jù)的用法

⒊判據(jù)：當(dāng)勞斯表中第一列的全部元素具有相同的符號時，系統(tǒng)的特征根全部位于s平面的左半部，而其符號改變次數(shù)恰恰就是具有正實(shí)部或位于s平面右半部的根的個數(shù)。

四勞斯判據(jù)的應(yīng)用計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的某個參數(shù)的取值范圍。估計系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

五兩種特殊情況的處理第一列出現(xiàn)零元素——用任意小的正數(shù)替代；出現(xiàn)全行元素都為零——用該行構(gòu)造輔助方程。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析控制系統(tǒng)的控制精度用穩(wěn)態(tài)誤差來表征，穩(wěn)態(tài)誤差越小控制精度越高。穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)的誤差分為原理性誤差和結(jié)構(gòu)性誤差：與系統(tǒng)型號、輸入信號性質(zhì)有關(guān)的誤差稱為原理性誤差，而因制造、間隙、死區(qū)等造成的誤差是結(jié)構(gòu)性誤差。這里僅僅討論原理性誤差。

誤差與偏差的定義、關(guān)系決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法一誤差與偏差的概念與關(guān)系偏差：在輸入端定義的誤差，它是輸入信號與反饋信號之差，亦稱偏差。既可計算，也可量測。誤差：在輸出端定義的誤差，它是期望輸出與實(shí)際輸出之差。只能計算，不能量測。當(dāng)偏差為零時，系統(tǒng)的輸出定義為系統(tǒng)的期望輸出誤差與偏差的關(guān)系二瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差

三主令輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的計算

穩(wěn)態(tài)誤差的終值與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和輸入信號的性質(zhì)有關(guān)！⒈用終值定理計算結(jié)論設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分別求出系統(tǒng)在單位階躍、速度、加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。⒈單位階躍輸入時：⒉單位速度輸入時：⒊單位加速度輸入時：穩(wěn)態(tài)誤差為∞。結(jié)論：0型系統(tǒng)不能跟蹤速度和加速度信號。⒉用靜態(tài)誤差系數(shù)計算階躍信號輸入引入位置誤差系數(shù)0型系統(tǒng)kp=K0，Ⅰ型以上系統(tǒng)kp=∞①

引入速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)kv=∞，Ⅰ型系統(tǒng)kv=K0，Ⅱ型系統(tǒng)kp=0斜坡信號輸入加速度信號輸入①

開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個數(shù)決定了系統(tǒng)在階躍、斜坡及拋物線信號輸入時系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差。開環(huán)增益則決定穩(wěn)態(tài)誤差的大小。引入加速度誤差系數(shù)0型、Ⅰ型系統(tǒng)ka=∞，Ⅱ型系統(tǒng)kp=k0結(jié)論知道系統(tǒng)型號和誤差系數(shù)就可以直接寫出不同輸入信號作用下的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！

※關(guān)于誤差系數(shù)幾點(diǎn)說明

：0型系統(tǒng)在階躍輸入時產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，因而稱為有差系統(tǒng)。I型和Ⅱ型系統(tǒng)對階躍輸入不產(chǎn)生誤差，因而稱為無差系統(tǒng)，且稱I型系統(tǒng)為一階無差系統(tǒng)(或其無差度為1)，Ⅱ型系統(tǒng)為二階無差系統(tǒng)(或其無差度為2)。對于開環(huán)控制系統(tǒng)只能按誤差定義用終值定理計算特別注意誤差