彈塑性力學(xué)應(yīng)力分析

第二章應(yīng)力分析§2-1斜截面上的應(yīng)力§2-2應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)變換§2-3應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向§2-4應(yīng)力張量的分解§2-5平衡微分方程§2-6應(yīng)力邊界條件xyzABCONxyz§2-1斜截面上的應(yīng)力

已知物體在任一點(diǎn)O的六個(gè)應(yīng)力分量,求經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的任一斜截面上的應(yīng)力令平面ABC的外法線(xiàn)為N，其方向余弦為設(shè)斜截面上全應(yīng)力為：沿坐標(biāo)的分量為：簡(jiǎn)寫(xiě)為：設(shè)四面體斜面的面積為：則三個(gè)直面的面積為：簡(jiǎn)寫(xiě)為：考慮四面體微元的平衡xyzON所以即Cauchy定理●已知一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，可求過(guò)該點(diǎn)任意斜截面上的全應(yīng)力在三個(gè)（正交）坐標(biāo)軸上的分量或●若該斜截面是外邊界的一點(diǎn)，其上作用的面力為則Cauchy公式表明了邊界外力（面力）與該點(diǎn)應(yīng)力的關(guān)系——應(yīng)力邊界條件xyzN將向外法線(xiàn)和斜面分解為和。則即將Cauchy定理代入：展開(kāi)整理得：由可求得：特例：平面應(yīng)力狀態(tài)斜截面應(yīng)力公式xyN材料力學(xué)中斜截面應(yīng)力公式為

原因？例2-1

物體中一點(diǎn)的應(yīng)力張量為,求作用在過(guò)此點(diǎn)的平面

上的法向和切向應(yīng)力。解：平面外法向的方向余弦若視

為外法線(xiàn)的坐標(biāo)面為坐標(biāo)系下的斜截面

則該點(diǎn)在坐標(biāo)系下（旋轉(zhuǎn)）的應(yīng)力張量有什么關(guān)系？§2-2應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)變換

已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量為，設(shè)兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為定義為則同理將該斜截面的全應(yīng)力分量

分別向方向投影即得。仍視

為外法線(xiàn)的坐標(biāo)面為坐標(biāo)系下的斜截面同理所以此系二階張量的本質(zhì)特征

數(shù)學(xué)上將滿(mǎn)足上式的一組量稱(chēng)為二階張量，即決定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量是一個(gè)二階張量，稱(chēng)為應(yīng)力張量§2-3應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向定義：1.當(dāng)P

點(diǎn)的某一斜截面上的切應(yīng)力為零時(shí)，則該斜截面上的正應(yīng)力稱(chēng)為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力。2.該斜截面稱(chēng)為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面（主平面）。3.主平面法線(xiàn)方向稱(chēng)為P點(diǎn)一個(gè)應(yīng)力主向，或稱(chēng)主方向。由定義，在主平面上則全應(yīng)力將其向三個(gè)坐標(biāo)投影由Cauchy公式一.應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向主平面方程由即展開(kāi)整理，其中分別稱(chēng)之為P點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的第一、第二和第三不變量為什么稱(chēng)為不變量？稱(chēng)之為P點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的特征方程或主應(yīng)力方程并考慮得也稱(chēng)為體積應(yīng)力，習(xí)慣上用表示。聯(lián)立求解，得三組方向余弦。即求解特征方程得主應(yīng)力，并按從大到小排序分別將回代◆一定為實(shí)根（可證明），分別稱(chēng)為第一、第二和第三主應(yīng)力?！粢欢ㄏ嗷ゴ怪保勺C明），分別稱(chēng)為第一、第二和第三主方向?！羧羧樽鴺?biāo)軸則與坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)（取兩式）特例1：平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力及主方向代入特征方程解方程（若按大小排序其解為）將回代聯(lián)立解之設(shè)為第一主方向與x軸的夾角則由三角函數(shù)關(guān)系可得例2-2

已知彈性體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為求主應(yīng)力和主方向。解：不變量的計(jì)算代入特征方程解之將代入聯(lián)立解之將代入聯(lián)立解之將代入聯(lián)立解之xyzO

123NN123二.最大和最小應(yīng)力

設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，現(xiàn)以三主方向取Oxyz坐標(biāo)，如圖所示主應(yīng)力單元體123xyz123設(shè)任一斜截面N，其方向余弦為l1、l2、l3則由斜截面正應(yīng)力公式求極值解之同理，將分別代入可得說(shuō)明主應(yīng)力為斜截面正應(yīng)力的極值及用類(lèi)似的方法亦可求出斜截面切應(yīng)力的極值及其所在平面應(yīng)力的極值及其所在平面法線(xiàn)的方向余弦0±100l300±10l2000±1l1li極值結(jié)論：作用平面分別為第一和第三主平面作用平面為第一與第三主平面的角平分面三.八面體應(yīng)力123xyz123

設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，以三主方向取Oxyz坐標(biāo)，如圖所示現(xiàn)取一特殊的斜面：注意到：可求得1.八面體斜面上的正應(yīng)力可見(jiàn)：八面體正應(yīng)力等于平均應(yīng)力m符合上述條件的面有八個(gè)，這八個(gè)面構(gòu)成一八面體，如圖所示。123（等傾面）2.八面體斜面上的切應(yīng)力所以四.應(yīng)力強(qiáng)度

為讓復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的受力程度與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的受力程度在強(qiáng)度方面作對(duì)比，故定義顯然當(dāng)為單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)

即表明復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的i與單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)的i

在某種意義上具有相同的強(qiáng)度效應(yīng)。故稱(chēng)為正應(yīng)力強(qiáng)度或等效正應(yīng)力同樣，為和純剪應(yīng)力狀態(tài)作對(duì)比，定義顯然當(dāng)為純剪應(yīng)力狀態(tài)時(shí)

即表明復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的i與純剪應(yīng)力狀態(tài)的i

在某種意義上具有相同的強(qiáng)度效應(yīng)。故稱(chēng)為切應(yīng)力強(qiáng)度或等效切應(yīng)力§2-4應(yīng)力張量的分解一.應(yīng)力橢球xyzO

123NN123

設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，仍以三主方向取Oxyz坐標(biāo)，如圖所示。

取任一斜面：由得代入得此即以為坐標(biāo)軸，主半軸為的橢球方程故稱(chēng)為應(yīng)力橢球

幾何意義：在空間中，

過(guò)O點(diǎn)任一斜截面上的全應(yīng)力的矢端均落在此橢球面上二.應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量對(duì)于應(yīng)力橢球，若，則應(yīng)力橢球?yàn)榍蛎婀识x為應(yīng)力球張量力學(xué)意義：三向均拉（壓）應(yīng)力狀態(tài)靜水壓力由有將應(yīng)力張量進(jìn)行分解即稱(chēng)為應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量為對(duì)稱(chēng)二階張量，與應(yīng)力張量有類(lèi)似性質(zhì)：1.應(yīng)力偏張量的主值和主方向主方向與應(yīng)力張量的主方向一致2.應(yīng)力偏張量的不變量§2-5平衡微分方程在點(diǎn)P附近取一微元體，如圖所示，P

點(diǎn)的應(yīng)力為：體力分量為：由微元體的平衡條件可建立平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理。xyzOPABC各應(yīng)力增量均忽略了高階項(xiàng)將上式同除以dxdydz，化簡(jiǎn)得：同理，由得到y(tǒng)、z方向的平衡微分方程。xyzOPABC由三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩平衡方程列方程并忽略高階項(xiàng)可得切應(yīng)力互等定理平衡微分方程：所以有應(yīng)力張量為二階對(duì)稱(chēng)張量表明了變形固體內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)力（應(yīng)力）與外力（體力）的平衡關(guān)系。其分量由九個(gè)縮減為六個(gè)§2-6應(yīng)力邊界條件設(shè)已知外邊界S

上的一點(diǎn)的外法線(xiàn)方向?yàn)閯t由Cauchy公式

表明了變形固體邊界S上一點(diǎn)內(nèi)力（應(yīng)力）與外力（面力）的平衡關(guān)系，故亦稱(chēng)邊界平衡方程作用在該點(diǎn)上面力為

需要指出，平衡微分方程和邊界平衡方程是應(yīng)力張量的稟性方程。即，滿(mǎn)足平衡方程是任何真實(shí)應(yīng)力張量的必要條件。S代表邊界的曲面方程例2-3

對(duì)于給定的坐標(biāo)系Oxy，試列出圖中各平面問(wèn)題的