奧賽輔導(dǎo)-全等三角形

奧數(shù)輔導(dǎo)系列全等三角形(1)兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形一定是全等三角形嗎?請問:答:不一定.ACBC′D如圖,在⊿ABC和⊿ABC′中,AB公共,BC=BC′,AD都是它們的高,但⊿ABC是鈍角三角形,而⊿ABC′是銳角三角形,顯然不全等.(2)兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形一定是全等三角形嗎?ABCDC′答:不一定.如圖,在鈍角⊿ABC和銳角⊿ABC′中,AB=AB,AC=AC,AD公共,但它們顯然不全等.(3)兩邊和其中一邊所對的角對應(yīng)相等的兩個三角形一定是全等三角形嗎?ABCC′答:不一定.如圖,在鈍角⊿ABC和銳角⊿ABC′中,AB=AB,AC=AC′,∠ABC=∠ABC′,但它們顯然不全等.１.(1998年湖南)如圖１,已知,分別是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),則圖中有全等三角形______對.ABCOFE２.如圖２，ＡＣ，ＢＤ相交于點(diǎn)Ｅ，ＡＣ平分∠ＤＡＢ，且ＡＢ＝ＡＥ，ＡＤ＝ＡＣ，有以下四個結(jié)論：①ＡＣ⊥ＢＤ②ＢＣ＝ＤＥ③∠ＤＢＣ＝１／２∠ＤＡＢ④⊿ＡＢＥ是等邊三角形，其中正確結(jié)論的序號是＿＿＿＿＿．圖１ＤＡＢＣＥ②③圖２４3.如圖,點(diǎn)E,D是等邊⊿ABC的AC,BC上的點(diǎn),且CD=AE,AD,BE交于P點(diǎn),則∠BPD=_______度.ABCDEP4.如圖,D是等邊⊿ABC內(nèi)一點(diǎn),DB=DA,BE=BA,∠DBE=∠DBC,則∠BED=________度.60°提示:證⊿ABE≌⊿CAD,得∠ABE=∠CAD,則∠BPD=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°提示:連結(jié)CD.證⊿CBD≌⊿CAD,得∠BCD=∠ACD=30°.再證⊿BCD≌⊿BED,得∠BED=∠BCD=30°30°ABCED5.如圖,AB∥CD,AC∥DB,AD與BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么圖中全等的三角形有()A.5對B.6對C.7對D.8對ACDBEFOC6.如圖,在⊿ABC中AB=BC=CA,且AD=BE=CF,但D,E,F不是AB,BC,CA的中點(diǎn),又AE,BF,CD分別交于M,N,P,如果把找出的三個全等三角形叫做一組全等三角形,那么圖中能找出全等三角形有()A.2組B.3組C.4組D.5組DABCDEFPMN７.(2003年荊州競賽)如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),⊿ACM,⊿CBN都是等邊三角形,直線AN,MC交于點(diǎn)E,直線BM,CN交于點(diǎn)F.(1)求證:AN=BM.MACBN(2)求證:⊿CEF是等邊三角形;EFMACNB(3)將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)90,其他條件不變,在圖(2)中補(bǔ)出符合要求的圖形,并判斷第(1),(2)兩小題結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)８.（１９９９年天津競賽）如圖，在⊿ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ邊上的中線，Ｅ是ＡＤ上一點(diǎn)，且ＢＥ＝ＡＣ，延長ＢＥ交ＡＣ于Ｇ．求證：ＡＧ＝ＥＧ．ＡＢＣＤＧＥ證明：延長ＡＤ至Ｆ，使ＤＦ＝ＡＤ，連結(jié)ＢＦＦ則⊿ＦＤＢ≌⊿ＡＤＣ，得ＦＢ＝ＡＣ＝ＢＥ，∴∠Ｆ＝∠ＢＥＦ＝∠ＡＥＧ，又∠Ｆ＝∠ＤＡＣ．∴∠ＡＥＧ＝∠ＤＡＣ．∴ＡＧ＝ＥＧ９.(天津競賽)如圖,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延長線于M,求證:∠M=1／2(∠ACB-∠B)ABCDEPFM12先證⊿AEP≌⊿AFP,得∠AEP=∠AFE,而∠AEP=∠B+∠M,∠ACB=∠CFM+∠M=∠AFE+∠M,代人即可證.１０.(16屆江蘇競賽)如圖,BD,CE分別是⊿ABC的邊AC和AB上的高,點(diǎn)P在BD的延長上,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB.求證:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQABPCEDQ證明:先證∠ABP=∠ACQ,

又BA=CQ,BP=AC

故⊿ABP≌⊿QCA(SAS),

得AP=AQ,且∠P=∠QAC.∴∠PAQ=∠QAC+∠PAD=∠P+∠PAD=90°

即AP⊥AQ１１.(2002年龍巖)如圖,在⊿ABC中,AB=AC,D,E分別在BC,AC邊上,∠1=∠B,AD=DE.求證:⊿ADB≌⊿DECABCDE1證明:∵∠B+∠BAD=∠1+∠CDE,∠1=∠B,∴∠BAD=∠CDE,∵AB=AC,∴∠B=∠C.又AD=DE,∴⊿ADB≌⊿DEC１２.（２００３天津競賽）如圖，已知在⊿ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ為ＡＣ中點(diǎn)，ＡＥ⊥ＢＤ于Ｅ，延長ＡＥ交ＢＣ于Ｆ．求證：∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＦＡＢＣＤＦＥＧ證明：作ＢＣ的垂線交ＢＤ于Ｇ，則∠ＢＡＧ＝４５°先證∠ＡＢＧ＝∠ＣＡＦ，又∠ＢＡＧ＝∠Ｃ＝４５°，ＡＢ＝ＡＣ∴⊿ＡＢＧ≌⊿ＣＡＦ，∴ＡＧ＝ＣＦ再證⊿ＡＤＧ≌⊿ＣＤＦ得∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＦ．１２.（２００３天津競賽）如圖，已知在⊿ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ為ＡＣ中點(diǎn)，ＡＥ⊥ＢＤ于Ｅ，延長ＡＥ交ＢＣ于Ｆ．求證：∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＦＡＢＣＤＥＦ證明：過Ｃ作ＡＣ的垂線交ＡＦ的延長線于Ｇ．Ｇ先證⊿ＡＧＣ≌⊿ＢＤＡ，得ＣＧ＝ＡＤ＝ＣＤ，∠Ｇ＝∠ＡＤＢ，再證⊿ＣＧＦ≌⊿ＣＤＦ，得∠Ｇ＝∠ＣＤＦ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＦ．１３..(1999年呼和浩特)如圖,⊿ABC中,∠ACB=2∠B,∠1=∠2,求證:AB=AC+CD.ABCDE證明:延長AC到E,使AE=AB,連結(jié)DE.12∵AB=AE,∠1=∠2,AD=AD∴⊿ABD≌⊿AED∴∠B=∠E∵∠ACD=∠E+∠CDE,∠ACD=2∠B,∴∠E=∠CDE∴CD=CE∴AB=AC+CD問:還有其他的證法嗎?１４..如圖,已知AC∥BD,EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA,CD過點(diǎn)E.求證:AB=AC+BDABCDEF證明:在AB上截取AF=AC,連結(jié)EF.由⊿ＡＣＥ≌⊿ＡＦＥ，得∠Ｃ＝∠ＡＦＥ，∵ＡＣ∥ＢＤ，∴∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°．而∠５＋∠ＡＦＥ＝１８０°，則∠５＝∠Ｄ，再證⊿ＢＥＦ≌⊿ＢＥＤ，得ＢＦ＝ＢＤ．∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝ＡＣ＋ＢＤ１２３４５１５.如圖，在⊿ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，試猜想AC，AE，CD有什么數(shù)量關(guān)系？A