北方工業(yè)大學(xué)考研信號(hào)與系統(tǒng)第四章

第四章拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析本章介紹連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析方法?！?.1引言頻域分析法與復(fù)頻域分析法的比較。頻域分析法優(yōu)點(diǎn)與不足以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)——

分析結(jié)果有著清楚的物理意義。但傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號(hào)，而有些信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件，因而無法應(yīng)用頻域分析法。頻域分析法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍須按時(shí)域方法求解。復(fù)頻域分析法優(yōu)點(diǎn)與不足為了突破頻域分析方法的局限性，研究了復(fù)頻域分析方法，以拉普拉斯變換為數(shù)學(xué)工具，將時(shí)域映射到復(fù)頻域。

?優(yōu)點(diǎn)：擴(kuò)大了可以變換的信號(hào)的范圍；求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。

?缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。主要學(xué)習(xí)內(nèi)容首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對(duì)拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析

——本章重點(diǎn)。介紹系統(tǒng)函數(shù)H(s)及其零極點(diǎn)的概念，并根據(jù)零極點(diǎn)的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，并簡(jiǎn)略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換進(jìn)行對(duì)比，便于理解與記憶?！?.2拉普拉斯變換的定義、

收斂域從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換信號(hào)f(t)乘以衰減因子et(為一實(shí)數(shù))后，容易滿足絕對(duì)可積的條件。其傅里葉變換為令s=+j

，是一個(gè)復(fù)數(shù)，具有頻率的量綱，稱為復(fù)頻率。2．拉氏逆變換f(t)e

t是F(+j)

的傅里葉反變換：s=+j,為常數(shù),ds

=jd,積分限3．拉氏變換對(duì)正變換逆變換簡(jiǎn)記為f(t)F(s)，f(t)：原函數(shù)，F(xiàn)(s)：象函數(shù)正變換：從時(shí)域函數(shù)變換到復(fù)頻域函數(shù)；反變換：從復(fù)頻域函數(shù)變換到時(shí)域函數(shù)。由于可正、可負(fù)、也可為零，復(fù)指數(shù)函數(shù)est

可能是增幅、減幅或等幅的振蕩信號(hào)，比傅里葉反變換中作為基本信號(hào)的等幅振蕩信號(hào)ejt更具普遍性。4．單邊拉氏變換正變換逆變換考慮實(shí)際系統(tǒng)中的信號(hào)都是有起始時(shí)刻的，定義信號(hào)的起始時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)：采用0系統(tǒng)：考慮f(t)中可能含有沖激函數(shù)。二．拉氏變換的收斂拉氏變換存在的條件：f(t)e

t傅里葉變換存在的條件f(t)e

t應(yīng)絕對(duì)可積：對(duì)于單邊信號(hào)f(t)，絕對(duì)可積條件可等效為使F(s)存在的s的區(qū)域稱為F(s)的收斂域。jOs

平面0收斂域收斂坐標(biāo)收斂軸常用信號(hào)的收斂域(1)u(t)

u(t),>0

=0(>)收斂域?yàn)槿縮平面。jO常用信號(hào)的收斂域(2)u(t)

=0(>0)收斂域?yàn)?/p>

s平面的右半平面。(3)sin(0t

)u(t)

=0(>0)收斂域?yàn)?/p>

s平面的右半平面。jO常用信號(hào)的收斂域(4)tn

u(t),n=1,2,3…

=0(>0)收斂域?yàn)閟平面的右半平面。n=1同理可分析n=2,3…常用信號(hào)的收斂域(5)et

u(t)，為實(shí)數(shù)

=0(>)收斂域?yàn)?/p>

=的右側(cè)

s平面。(6)不存在收斂域，不存在拉氏變換。無論如何取值，都無法使收斂。jO拉氏變換收斂域的一些基本規(guī)律有界的非周期信號(hào)的拉氏變換一定存在，其收斂域是整個(gè)s

平面；等幅信號(hào)或等幅振蕩信號(hào)的收斂域?yàn)閟平面的右半平面（

>0）；隨時(shí)間增長(zhǎng)的t的正冪次方信號(hào)的收斂域?yàn)閟平面的右半平面（

>0）；指數(shù)信號(hào)的收斂域?yàn)?/p>

>的右半平面;滿足的信號(hào)稱為指數(shù)階信號(hào)；對(duì)于一些比指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得快的函數(shù)，無法利用指數(shù)函數(shù)形式的收斂因子使其收斂，不存在拉氏變換；一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)（全s域平面收斂）3.單位沖激信號(hào)、沖激偶信號(hào)（

>0）=1t0>0=s4．tnu(t)（

>0）5．cos

(0t

)u(t)

和sin(0t

)u(t)（

>0）（

>0）小結(jié)傅里葉變換把時(shí)域函數(shù)f(t)變換為頻域函數(shù)F()，時(shí)域中的變量t和頻域中的變量都是實(shí)數(shù)。

拉氏變換把時(shí)域函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s)，時(shí)域變量t為實(shí)數(shù)，F(xiàn)(s)變量s為復(fù)數(shù)。s域也稱為復(fù)頻域，拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。從物理意義上看，只能描述振蕩的重復(fù)頻率，

s=+j則不僅描述振蕩的頻率，含同時(shí)描述振蕩幅度增長(zhǎng)或衰減的速率?！?.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性

原函數(shù)微分原函數(shù)積分

延時(shí)（時(shí)域平移）s域平移

尺度變換初值

終值卷積

對(duì)s域微分對(duì)s域積分意義傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系;

拉氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和復(fù)頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。利用性質(zhì)求信號(hào)的拉氏變換F(s)。一．線性例：若則K1,K2為常數(shù)二．原函數(shù)微分推廣：證明：例1已知，利用微分性質(zhì)重新求解(t)和

(t)的拉氏變換。三．原函數(shù)的積分證明：①②①②例2已知，利用積分性質(zhì)重新求解tu(t)

的拉氏變換。四．延時(shí)（時(shí)域平移）注意：對(duì)于單邊拉氏變換，f(t)u(t)延時(shí)t0獲得f(tt0)u(tt0)，即信號(hào)的起始時(shí)刻也延時(shí)到t0

。例3求各波形的拉氏變換。

Ottu(t)Ot11Ot1(t1)u(t)Ot1tu(t1)1(t1)u(t1)例4求信號(hào)

f1(t)=sin[0(t

t0)]u(t

t0)

和f2(t)=sin[0(t

t0)]u(t)的拉氏變換。

例5求圖示三角脈沖信號(hào)的拉氏變換。

f(t)tO1242f(t)tO12421f(t)tO124(2)(3)(1)用時(shí)移性質(zhì)求單邊周期信號(hào)的拉氏變換f(t)tOT2T3T…f1(t)例：求周期方波的拉氏變換。f(t)tO23…1f1(t)=u(t)u(t

1),T=2五．s域平移例

6根據(jù)同理六．尺度變換分析：七．初值定理若f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在拉氏變換，且則例

7

即單位階躍信號(hào)的初始值為1。七．初值定理則例

8分析：注意：若F(s)不是真分式，應(yīng)求出其中的真分式后對(duì)真分式應(yīng)用初值定理。分子多項(xiàng)式的次數(shù)要低于分母多項(xiàng)式的次數(shù)若f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在拉氏變換，且初值定理證明根據(jù)原函數(shù)微分定理：八．終值定理若f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在拉氏變換，且則證明：根據(jù)原函數(shù)微分定理：八．終值定理若f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在拉氏變換，且則注意：F(s)分母多項(xiàng)式的根不能位于j軸上（原點(diǎn)上的單實(shí)根除外），也不能位于s平面的右半平面。e.g.1F(s)分母多項(xiàng)式的根為j0，位于j軸上。不存在例9已知f(t)的象函數(shù)為，求原函數(shù)的初值和終值。驗(yàn)證：九．卷積f1(t)與f2(t)為因果信號(hào)，則十．象函數(shù)微分推廣：證明：十．象函數(shù)微分推廣：例

10求tet

的拉氏變換。十一．象函數(shù)積分例

10求

的拉氏變換?！?.4拉普拉斯逆變換由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法：

(1)部分分式法

(2)利用留數(shù)定理——圍線積分法

(3)數(shù)值計(jì)算方法——利用計(jì)算機(jī)兩種特殊情況一．F(s)的一般形式ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解為零點(diǎn)：極點(diǎn)：二．部分分式展開法(m<n，真分式)基本思路：求F(s)的極點(diǎn)；根據(jù)極點(diǎn)將F(s)展成部分分式(3)求出K1,K2…Kn單實(shí)根共軛復(fù)根重根第一種情況：極點(diǎn)均為單階實(shí)數(shù)

p1,p2…pn為不等實(shí)根=K1例1求的原函數(shù)。(1)求極點(diǎn)，分解因式(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)=1第二種情況：極點(diǎn)包含共軛復(fù)根共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在第二種情況：極點(diǎn)包含共軛復(fù)根的原函數(shù)例2求的原函數(shù)。(1)求極點(diǎn)(2)展成部分分式(3)逆變換=0.5p1=1,p2=1j2例2求的原函數(shù)。方法二：利用展成部分分式:=0.5第三種情況：有重根存在e.g.K1(單根系數(shù))和K2(重根最高次系數(shù))的求法同前：第三種情況：有重根存在e.g.求K3：一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)：三．F(s)的兩種特殊情況1.F(s)非真分式——

化為真分式＋多項(xiàng)式e.g.作長(zhǎng)除法:2.含有的非有理式時(shí)移性質(zhì)：分析方法：先不考慮項(xiàng)，求其余有理分式的原函數(shù)，再進(jìn)行延時(shí)。e.g.求的原函數(shù)。令§4.5拉普拉斯變換的應(yīng)用用拉氏變換法求解微分方程用拉氏變換分析電路一.用拉氏變換求解微分方程例1一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)滿足微分方程已知r(0)=2,r(0)=3，e(t)=u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)用拉氏變換求解微分方程的基本步驟方程兩邊求拉氏變換，注意r(t)和e(t)起始狀態(tài)不為零的情況；求解s域代數(shù)方程得到輸出r(t)的象函數(shù)R(s);求R(s)反變換得到原函數(shù)r(t)；可以從R(s)中直接分解出零輸入響應(yīng)（只與起始狀態(tài)有關(guān)的項(xiàng)）和零狀態(tài)響應(yīng)（只與激勵(lì)有關(guān)的項(xiàng)）。二.用拉氏變換法分析電路例2RLC串聯(lián)電路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–二.用拉氏變換法分析電路例2RLC串聯(lián)電路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–二.用拉氏變換法分析電路例2RLC串聯(lián)電路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–方法二利用電路的s域模型建立電路的s域模型根據(jù)s域模型和電路理論列方程求解s域代數(shù)方程，得到變量的象函數(shù)求反變換，得到變量的時(shí)域解（原函數(shù)）1.基本元件的s域模型(1)電阻元件的s域模型1.基本元件的s域模型(2)電感元件的s域模型1.基本元件的s域模型(3)電容元件的s域模型1.基本元件的s域模型電阻：電感：電容：sL與也稱為運(yùn)算阻抗2.基爾霍夫定律的

s域形式基爾霍夫定律的s域形式與時(shí)域完全相同；元件電壓電流關(guān)系的s域形式也與時(shí)域相似。結(jié)論：直流電路中的各種分析方法都適用于分析電路的s域模型。用s域模型分析電路例2RLC串聯(lián)電路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–建立電路的s域模型

+VC(s)–2.5I(s)+–0.5s0.25+2.求解

s域模型3.求拉氏反變換得到原函數(shù)用s域模型分析電路的基本步驟建立電路的s域模型

注意：若vC(0)或iL(0)不為零，電容或電感模型中將包含獨(dú)立源；若vC(0)或iL(0)未知，需先求解。用電路分析方法分析

s域模型，求出未知變量的象函數(shù)；求拉氏反變換得到未知變量的原函數(shù)。例3圖示電路開關(guān)閉合前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t

0時(shí)v2(t)=0，t=0時(shí)開關(guān)閉合，求v2(t)和i2(t),t0。2i2(t)+5V–+v2(t)–1F0.5F建立電路的s域模型2I2(s)+–+V2(s)–+–2.求解s域模型3.求原函數(shù)+v1(t)–I1(s)I(s)例3圖示電路開關(guān)閉合前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t

0時(shí)v2(t)=0，t=0時(shí)開關(guān)閉合，求v2(t)和i2(t),t0。2i2(t)+5V–+v2(t)–1F0.5Fv2(t)/Vot5i2(t)/Aot§4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)函數(shù)電網(wǎng)絡(luò)中的系統(tǒng)函數(shù)LTI互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)級(jí)聯(lián)

反饋連接一．系統(tǒng)函數(shù)定義連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域系統(tǒng)函數(shù)定義為零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)等于沖激響應(yīng)h(t)的拉氏變換。H(s)求H(s)：一．系統(tǒng)函數(shù)定義(2)求h(t)：求(t)激勵(lì)時(shí)的微分方程；(3)求r(t)：求e(t)激勵(lì)時(shí)的微分方程；例1(1)在零起始狀態(tài)下，對(duì)原方程兩端取拉氏變換(2)因?yàn)槎?電網(wǎng)絡(luò)中的系統(tǒng)函數(shù)1.策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口——策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納——策動(dòng)點(diǎn)阻抗初始儲(chǔ)能為零無源單口網(wǎng)絡(luò)I1(s)+V1(s)無源單口網(wǎng)絡(luò)I1(s)+V1(s)無源單口網(wǎng)絡(luò)I1(s)+V1(s)二.電網(wǎng)絡(luò)中的系統(tǒng)函數(shù)2.轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口初始儲(chǔ)能為零無源雙口網(wǎng)絡(luò)I1(s)+V1(s)I2(s)+V2(s)I1(s)無源雙口網(wǎng)絡(luò)I1(s)I2(s)+V2(s)轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電流比+V1(s)無源雙口網(wǎng)絡(luò)I1(s)I2(s)+V2(s)轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移電壓比例2如圖所示電路，求,3e(t)+v1(t)–1F1H1+v2(t)–3E(s)+V1(s)–s1+V2(s)–

H1(s)與H2(s)具有相同的分母多項(xiàng)式，分母多項(xiàng)式（極點(diǎn)分布）反映了系統(tǒng)特性。零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)之比，動(dòng)態(tài)元件無初始儲(chǔ)能。三．LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1．LTI系統(tǒng)的并聯(lián)E(s)R(s)H1(s)H2(s)H

(s)2．LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)E(s)R(s)H1(s)H2(s)H

(s)3．LTI系統(tǒng)的反饋連接例3已知系統(tǒng)的框圖如下，請(qǐng)寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程。四．連續(xù)系統(tǒng)的模擬1．直接型H1(s)H2(s)用特定的部件，如積分器、倍乘器、加法器等構(gòu)造一個(gè)模擬系統(tǒng)，使模擬系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)相同，稱為系統(tǒng)模擬。X(s)E(s)R(s)1．直接型H1(s)H2(s)X(s)E(s)R(s)1．直接型H1(s)H2(s)X(s)E(s)R(s)e(t)r(t)b1b0a1a0a21．直接型H1(s)H2(s)X(s)E(s)R(s)E(s)R(s)b1b0a1a0a2§4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性

一．引言沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)

從時(shí)域和變換域兩個(gè)角度表征了同一系統(tǒng)的本性。

H(s)對(duì)系統(tǒng)特性的表征可以直接體現(xiàn)為在s平面極點(diǎn)的分布情況。根據(jù)零、極點(diǎn)分布可以直觀地判斷系統(tǒng)的時(shí)域特性和頻域特性。主要應(yīng)用：1.可以預(yù)言系統(tǒng)的時(shí)域特性；2.便于劃分系統(tǒng)響應(yīng)的各個(gè)分量——

自由／強(qiáng)迫，瞬態(tài)／穩(wěn)態(tài)3.可以用來說明系統(tǒng)的頻域特性（正弦穩(wěn)態(tài)特性）.二．H(s)的零、極點(diǎn)圖在s平面上，畫出H(s)的零極點(diǎn)圖：

零點(diǎn)：用○表示；極點(diǎn)：用×表示。1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)例1畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。極點(diǎn)：零點(diǎn)：零極點(diǎn)圖：1三．H(s)零、極點(diǎn)分布與h(t)波形特征的對(duì)應(yīng)極點(diǎn)pi

決定了對(duì)應(yīng)分量hi(t)的變化形式；零點(diǎn)zj

只影響系數(shù)Ki.pi與hi(t)

的對(duì)應(yīng)關(guān)系三．H(s)、E(s)的極點(diǎn)分布與自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特征的對(duì)應(yīng)激勵(lì)：系統(tǒng)函數(shù)：響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)分量

＋自由響應(yīng)分量幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)自由響應(yīng)的極點(diǎn)只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與激勵(lì)函數(shù)的形式無關(guān)，然而系數(shù)都有關(guān)。響應(yīng)函數(shù)r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)自由響應(yīng)分量；激勵(lì)函數(shù)的極點(diǎn)強(qiáng)迫響應(yīng)分量。暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)是指全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將逐漸減小，最終消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－暫態(tài)響應(yīng)

極點(diǎn)位于左半平面的響應(yīng)分量都屬于暫態(tài)響應(yīng)。例2給定系統(tǒng)微分方程，激勵(lì)e(t)=u(t),起始狀態(tài)r(0)=1,r(0)=2。試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)，暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)各分量。解：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)／暫態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)／強(qiáng)迫響應(yīng)極點(diǎn)位于s左半平面極點(diǎn)位于虛軸暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(s)的極點(diǎn)E(s)的極點(diǎn)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)§4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布

決定頻響特性

根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線一．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.定義：連續(xù)系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。e.g.分析一階RC電路的頻率響應(yīng)——幅頻特性—相頻特性e.g.分析一階RC電路的頻率響應(yīng)一．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.定義：連續(xù)系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。2.要求：系統(tǒng)在正弦激勵(lì)下能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。設(shè)系統(tǒng)函數(shù)，激勵(lì)一．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.定義：連續(xù)系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。2.要求：系統(tǒng)在正弦激勵(lì)下能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。設(shè)系統(tǒng)函數(shù)，激勵(lì)強(qiáng)迫響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)正弦形式自由響應(yīng)應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)H(s)的極點(diǎn)應(yīng)都位于s平面的左半平面；3．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一般系統(tǒng)：3．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一般系統(tǒng)：——正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一般系統(tǒng)：正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)，激勵(lì)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系：幅度乘以系數(shù)H0

相位增加0H0,0由H(s)在j0處的值決定：表征了正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系隨頻率變化的特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。

|H(j)|稱為幅頻響應(yīng)特性，()為相頻響應(yīng)特性。e.g.分析一階RC電路的頻率響應(yīng)二．根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線零點(diǎn)矢量：極點(diǎn)矢量：二．根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線零點(diǎn)矢量：極點(diǎn)矢量：二．根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線

j是滑動(dòng)矢量，Nj

,j

,Mi

,

i

,都隨變化而變化。

例1分析一階RC電路的頻響特性。頻響特性例2確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。頻響特性0.785例3分析二階系統(tǒng)的頻響特性。(§4.9)ojj0j0ojj0j0ojj0j0o|H(j)|0o()90900(1)a1=0p1,2=j0例3分析二階系統(tǒng)的頻響特性。(§4.9)(2)(3)(4)共軛極點(diǎn)實(shí)部為負(fù)二階負(fù)實(shí)根不等負(fù)實(shí)根a1=0.2a1=1a1=5a1=50§4.10全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布

全通網(wǎng)絡(luò)最小相移網(wǎng)絡(luò)一．全通網(wǎng)絡(luò)1.全通網(wǎng)絡(luò)：幅頻特性為常數(shù)。對(duì)于全部頻率的正弦信號(hào)，通過系統(tǒng)后其幅值都被改變相同的倍數(shù)。o|H(j)|K一．全通網(wǎng)絡(luò)2.零極點(diǎn)分布零點(diǎn)與極點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱

極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面o()180ojp1z1M111N1ojp1z1p2z2一．全通網(wǎng)絡(luò)M121N11M22N2ojp1z1p2z2M12N1M22N2o()360一．全通網(wǎng)絡(luò)3.小結(jié)幅頻特性——常數(shù)，相頻特性——不受約束系統(tǒng)函數(shù)中每對(duì)實(shí)軸上的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)180~0的相位變化，對(duì)稱的共軛零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)

0~360的相位變化。

全通網(wǎng)絡(luò)常用于相位校正。要求極點(diǎn)位于左半平面，是為了保證這些極點(diǎn)形成的自由響應(yīng)分量都能衰減到零，系統(tǒng)能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

二．最小相移網(wǎng)絡(luò)ojz1p1N11比較零點(diǎn)位于左半平面和右半平面的兩個(gè)系統(tǒng)：（z1與z1'關(guān)于虛軸對(duì)稱)ojp1z1'1'N1

零點(diǎn)位于左半平面比零點(diǎn)位于右半平面，系統(tǒng)的頻率特性具有更小的相移。二．最小相移網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)僅位于左半平面或j軸的系統(tǒng)稱為“最小相移系統(tǒng)”，系統(tǒng)函數(shù)稱為“最小相移函數(shù)”。若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在右半平面有一個(gè)或多個(gè)零點(diǎn)，就稱為“非最小相移網(wǎng)絡(luò)”，系統(tǒng)函數(shù)稱為“非最小相移函數(shù)”。三．非最小相移網(wǎng)絡(luò)可代之以最小相移網(wǎng)絡(luò)與全通網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)非最小相移網(wǎng)絡(luò)H(s)最小相移網(wǎng)絡(luò)H1(s)全通網(wǎng)絡(luò)H2(s)ojp1z1p2z2ojp1z3p2z4ojp3z1p4z2z3,z4與z1,z2關(guān)于虛軸對(duì)稱；p3,p4與z3,z4坐標(biāo)相同§4.11線性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性

4.11一．因果性1.定義：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵(lì)之前的系統(tǒng)。對(duì)于任意激勵(lì)e(t)：e(t)=0，t<0，零狀態(tài)響應(yīng)都滿足r(t)=0，t<0。不滿足因果條件的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)。2.時(shí)域充要條件：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=0，t<0。3.復(fù)頻域條件

(1)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域是某個(gè)右半平面。0，H(s)的收斂域?yàn)镽e[s]>0

但收斂域?yàn)槟硞€(gè)右半平面的連續(xù)系統(tǒng)未必都是因果系統(tǒng)。收斂域?yàn)槟硞€(gè)右半平面是因果系統(tǒng)的必要條件。e.g.1某系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為。時(shí)域：

t<0時(shí)h(t)=0，系統(tǒng)是因果的。復(fù)頻域：et

u(t)的收斂域：Re[s]>12e2tu(t)的收斂域：Re[s]>2h(t)的收斂域：Re[s]>1h(t)的收斂域?yàn)樽钣疫厴O點(diǎn)的右半平面。e.g.2考察系統(tǒng)的因果性。但是：1<t<0時(shí)，h(t)0：系統(tǒng)非因果。H(s)的收斂域?yàn)橐粋€(gè)右半平面。收斂域?yàn)槟硞€(gè)右半平面的連續(xù)系統(tǒng)未必都是因果系統(tǒng)。收斂域?yàn)槟硞€(gè)右半平面是因果系統(tǒng)的必要條件。3.復(fù)頻域條件

(2)若系統(tǒng)函數(shù)為有理分式系統(tǒng)具有因果性收斂域?yàn)樽钣疫厴O點(diǎn)的右半平面二．穩(wěn)定性1.定義：系統(tǒng)對(duì)于任意有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，稱為有界輸入有界輸出(BIBO)的穩(wěn)定系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。2.時(shí)域充要條件：3.復(fù)頻域充要條件

(1)H(s)的收斂域包含虛軸，h(t)的傅里葉變換存在。

(2)因果系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)其所有極點(diǎn)都位于左半平面。對(duì)于任意激勵(lì)e(t)：|e(t)|Me，零狀態(tài)響應(yīng)滿足|r(t)|

Mr。即h(t)絕對(duì)可積。例1如下系統(tǒng)皆為因果系統(tǒng)，說明其收斂域，并判斷穩(wěn)定性。說明：(1)若系統(tǒng)在虛軸上有一階極點(diǎn)，為常數(shù)或等幅振蕩，稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。

(2)若系統(tǒng)有極點(diǎn)位于右半平面，或在虛軸上有二階以上極點(diǎn)，，稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。Re[s]>1穩(wěn)定Re[s]>0臨界穩(wěn)定Re[s]>2不穩(wěn)定例2當(dāng)常數(shù)k滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù):極點(diǎn)：例2當(dāng)常數(shù)k滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為k>2系統(tǒng)穩(wěn)定性小結(jié)因果系統(tǒng)可以根據(jù)H(s)的極點(diǎn)分布情況劃分為穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和不穩(wěn)定三種類型。因果系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)其所有極點(diǎn)都位于左半平面;

若系統(tǒng)在虛軸上有一階極點(diǎn)，稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)；若系統(tǒng)有極點(diǎn)位于右半平面，或在虛軸上有二階以上極點(diǎn)，稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)信號(hào)的情況無關(guān)。h(t)與H(s)從兩方面表征了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

h(t)絕對(duì)可積是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，適用于因果與非因果系統(tǒng)?！?.12雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換的收斂域一．雙邊拉氏變換定義優(yōu)點(diǎn)：信號(hào)不必限制在t>0范圍內(nèi)，可以把所研究問題的時(shí)間從到+作統(tǒng)一考慮，使概念更清楚。雙邊拉氏變換與傅里葉變換更密切，便于全面理解傅氏變換、拉氏變換和z變換的關(guān)系。例1f(t)=eb|t|，討論FB(s)的收斂域。otf(t)1b>0b=0b<0全時(shí)域信號(hào)：Re[s]<bRe[s]>bb>0，收斂域?yàn)閎<Re[s]<b；b0時(shí)，f(t)雙邊拉氏變換不存在。例1f(t)=eb|t|，討論FB(s)的收斂域。of(t)1b>0b=0b<0全時(shí)域信號(hào)：Re[s]<Re[s]>右邊信號(hào)：左邊信號(hào)：二．雙邊拉氏變換的收斂域左邊信號(hào)的收斂域?yàn)?/p>

Re[s]<1，1以左的半個(gè)平面;右邊信號(hào)的收斂域?yàn)?/p>

Re[s]>2，2以右的半個(gè)平面;雙邊信號(hào)的收斂域?yàn)?/p>

2<Re[s]<1，s平面中的一個(gè)帶狀區(qū)域。(1>2)例2分析etu(t)與etu(t)的BLT及收斂域。Re[s]<

Re[s]>

(1)e

tu(t)

為右邊信號(hào)：(2)e

tu(t)為左邊信號(hào)：不同的函數(shù)在不同的收斂條件下可能得到同樣的拉氏變換；給出函數(shù)的雙邊拉氏變換時(shí)，必須同時(shí)注明其收斂域。例3已知一BLT為，分析其可能的收斂域并求出反變換。提示：收斂域一般以極點(diǎn)為邊界，且收斂域中無極點(diǎn)。(1)Re[s]>1x(t)=(et

e2t)

u(t)右邊信號(hào)右邊信號(hào)例3已知一BLT為，分析其可能的收斂域并求出反變換。提示：收斂域一般以極點(diǎn)為邊界，且收斂域中無極點(diǎn)。(2)Re[s]<2x(t)=(et

e2t)

u(t)左邊信號(hào)左邊信號(hào)例3已知一BLT為，分析其可能的收斂域并求出反變換。提示：收斂域一般以極點(diǎn)為邊界，且收斂域中無極點(diǎn)。(3)2<Re[s]<1x(t)=et

u(t)

e2tu(t)左邊信號(hào)右邊信號(hào)例3已知一BLT為，分析其可能的收斂域并求出反變換。(3)2<Re[s]<1et

u(t)

e2tu(t)雙邊拉氏變換時(shí)，同一象函數(shù)在不同收斂域時(shí)，有不同的原函數(shù)。(2)Re[s]<2(et

e2t)

u(t)(1)Re[s]>1(et

e2t)

u(t)§4.13拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

為了滿足絕對(duì)可積的條件，引入衰減因子et，f(t)et

的傅里葉變換就是f(t)的拉氏變換。

問題：由函數(shù)的單邊/雙邊拉氏變換，如何求傅里葉變換？一.雙邊LT與FT的關(guān)系比較：結(jié)論：若f(t)的雙邊拉氏變換的收斂域包含j軸，則例3已知一BLT為，分析其可能的收斂域并求出反變換。(3)2<Re[s]<1et

u(t)

e2tu(t)(2)Re[s]<2(et

e2t)

u(t)(1)Re[s]>1(et

e2t)

u(t)例3已知一BLT為，分析其可能的收斂域并求出反變換。只有當(dāng)Re[s]>1時(shí)收斂域包含虛軸，(et

e2t)

u(t)

存在傅里葉變換。(1)Re[s]>1(et

e2t)

u(t)二.單邊LT與FT的關(guān)系比較：若f(t)的單邊拉氏變換的收斂域包含j軸，則因果信號(hào)單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系——因果信號(hào)的收斂域?yàn)槟硞€(gè)右半平面：Re[s]>01．0<0，Re[s]>0收斂域包含虛軸，f(t)的傅里葉變換存在。

F(s)的所有極點(diǎn)都位于左半平面，f(t)為衰減信號(hào)。e.g.Re[s]>2．0>0，Re[s]>0收斂域不包含虛軸，f(t)的傅里葉變換不存在，不能由F(s)求F().

F(s)的有