序列的平穩(wěn)性及其檢驗

序列的平穩(wěn)性及其檢驗第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日1

其中a是常數，

t是線性趨勢函數，ut

～.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗

為說明DF檢驗的使用，先考慮3種形式的回歸模型

第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日2

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。

(2)如果=1，yt

序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：顯然yt

的差分序列是平穩(wěn)的。

(3)如果

的絕對值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日3

因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗

是否嚴格小于1來實現。也就是說：

原假設H0：

=1，備選假設H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時減去yt-1得，其中：

=

-1。第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日4

其中：

=

-1，所以原假設和備選假設可以改寫為

可以通過最小二乘法得到的估計值，并對其進行顯著性檢驗的方法，構造檢驗顯著性水平的t統計量。但是，Dickey-Fuller研究了這個t統計量在原假設下已經不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進了常數項和趨勢項)和樣本長度T

。第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日5

Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據需要，選擇適當的顯著性水平，通過t統計量來決定是否接受或拒絕原假設。這一檢驗被稱為Dickey-Fuller檢驗(DF檢驗)。

上面描述的單位根檢驗只有當序列為AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方法（augmentedDickey-Fullertest）來檢驗含有高階序列相關的序列的單位根。

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日6

2.ADF檢驗

考慮yt存在p階序列相關，用p階自回歸過程來修正，在上式兩端減去yt-1，通過添項和減項的方法，可得其中

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日7

ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量yt

的滯后差分項來控制高階序列相關

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日8

擴展定義將檢驗

(5.3.14)

原假設為：至少存在一個單位根；備選假設為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數項和時間趨勢項。判斷的估計值是接受原假設或者接受備選假設，進而判斷一個高階自相關序列AR(p)過程是否存在單位根。類似于DF檢驗，Mackinnon通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗不同顯著性水平的t統計量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平下判斷高階自相關序列是否存在單位根。第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日9

但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數，通常采用AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數。在實際應用中，還需要兼顧其他的因素，如系統的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

（2）可以選擇常數和線性時間趨勢，選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的t統計量在原假設下的漸近分布依賴于關于這些項的定義。第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日10

①若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數，意味著所檢驗的序列的均值不為0；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢，一個簡單易行的辦法是畫出檢驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離0的位置隨機變動或具有一個線性趨勢，進而決定是否在檢驗時添加常數項。

②若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數和趨勢，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數和趨勢，意味著所檢驗的序列具有二次趨勢。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢呈非線性變化，那么便可以添加時間趨勢項。第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日11

3.DFGLS檢驗在經驗研究中，盡管DF檢驗的DF統計量是應用最廣泛的單位根檢驗，但是它的檢驗功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數據的生成過程為高度自相關時，檢驗的功效非常不理想。另外，DF檢驗和ADF檢驗對于含有時間趨勢的退勢平穩(wěn)序列的檢驗是失效的。因此，為了改進DF和ADF檢驗的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退勢DF檢驗，簡稱為DFGLS檢驗，其基本原理如下：

第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日12首先定義序列yt的擬差分序列如下：

t=1,2,,T并且構造如下回歸方程：

t=1,2,,T(5.3.14)其中xt

=(1)表示yt中只含有截距項，或xt

=(1,t)表示yt中含有截距項和趨勢項。令表示方程(5.3.14)參數的最小二乘估計量，在實際計算中通常如下定義參數a：

第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日13利用方程(5.3.14)的估計參數定義退勢后的序列ytd為

t=1,2,,T然后，對退勢后的序列ytd，應用ADF檢驗，即為DFGLS檢驗。檢驗過程如下：

t=1,2,,T原假設和備選假設同ADF檢驗一致，為

Elliott，Rothenberg和Stock(1996)給出了不同置信水平下的臨界值，DFGLS檢驗同一般的ADF檢驗一樣是左側單邊檢驗。第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日14

EViews軟件中單位根檢驗操作說明：

雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗窗口第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日15進行單位根檢驗必須定義4項：

1．選擇檢驗類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗方法。EViews5提供了6種單位根檢驗的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日16

2．選擇差分形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進行單位根檢驗。可以使用這個選項決定序列中單位根的個數。如果檢驗水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設，序列中含有一個單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設，則需要選擇2階差分。一般而言，一個序列經過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日17

3．定義檢驗方程中需要包含的選項

在Includeintestequation中定義在檢驗回歸中是否含有常數項、常數和趨勢項、或二者都不包含。這一選擇很重要，因為檢驗統計量在原假設下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數項或者趨勢項，剛才已經作了介紹。第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日18

4．定義序列相關階數

在Laglenth這個選項中可以選擇一些確定消除序列相關所需的滯后階數的準則。一般而言，EViews默認SIC準則。定義上述選項后，單擊OK進行檢驗。EViews顯示檢驗統計量和估計檢驗回歸。單位根檢驗后，應檢查EViews顯示的估計檢驗回歸，尤其是如果對滯后算子結構或序列自相關階數不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數來重新檢驗。第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日19

例5.7

檢驗居民消費價格指數序列的平穩(wěn)性

圖5.9中國1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日20

例5.7用AR(1)模型模擬1983年1月～2007年8月居民消費價格指數一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進行單位根檢驗前，需要設定序列的是否含有常數項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數項或者時間趨勢項。從圖5.7的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢項。CPI序列的ADF檢驗結果(選擇既無常數項也無趨勢項)如下：第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日21

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根ADF檢驗結果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假設，存在單位根。第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日22

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根DF-GLS檢驗結果。采用含有常數和趨勢項的形式。不能拒絕原假設，CPI序列存在單位根。第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日23

檢驗結果顯示，CPI序列接受原假設，因此，CPI序列是一個非平穩(wěn)的序列。接著再對一階差分CPI序列進行單位根檢驗，ADF檢驗結果如下：

檢驗結果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結論。因此，CPI序列是1階單整序列，即