山西省運(yùn)城市龍居中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山西省運(yùn)城市龍居中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于A．li

B．li

C．li

D．l+i參考答案：D2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A．16π﹣ B．16π﹣C．8π﹣ D．8π﹣參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體為一個(gè)半圓柱挖取一個(gè)倒立的四棱錐．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為一個(gè)半圓柱挖取一個(gè)倒立的四棱錐．∴該幾何體的體積V=﹣=8π﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱臺(tái)的三視圖的有關(guān)知識(shí)、圓柱與四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3.若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b

乙班c30

總計(jì)

105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是(

) A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35 B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50 C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系” D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”參考答案：C考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)成績優(yōu)秀的概率求出成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，從而求得c和b的值；再根據(jù)公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)K2的值，比較與臨界值的大小，判斷“成績與班級(jí)有關(guān)系”的可靠性程度．解答： 解：∵成績優(yōu)秀的概率為，∴成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是105×=30，成績非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，∴c=20，b=45，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．又根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2=≈6.109＞3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法，熟練掌握列聯(lián)表個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系及相關(guān)指數(shù)K2的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．5.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.若空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為 A． B． C． D．參考答案：C7.下列命題中的假命題是（）A．?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0 B．?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1C．?x＞0，5x＞3x D．?x0∈R，lnx0＜0參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用反例判斷A的正誤；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最值，推出B的正誤；指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C的正誤；特例判斷D的正誤．【解答】解：x∈（0，）時(shí)，x＞sinx，所以?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0不正確；x∈（﹣∞，0），令g（x）=ex﹣x﹣1，可得g′（x）=ex﹣1＜0，函數(shù)是減函數(shù)，g（x）＞g（0）=0，可得?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1恒成立．由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的可知，?x＞0，5x＞3x正確；?x0∈R，lnx0＜0，的當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，恒成立，所以正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的最值的求法，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，命題的真假的判斷，考查計(jì)算能力．8.某種細(xì)菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的2倍，且知該細(xì)菌的繁殖規(guī)律為，其中為常數(shù)，表示時(shí)間（單位：小時(shí)），表示細(xì)菌個(gè)數(shù)，10個(gè)細(xì)菌經(jīng)過7小時(shí)培養(yǎng)，細(xì)菌能達(dá)到的個(gè)數(shù)為

A.640

B.1280

C.2560

D.5120

參考答案：D略9.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(－2,4)，則它的離心率為(

)A. B.2 C. D.參考答案：A由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為，則漸近線過點(diǎn)，即，，所以.故選A.

10.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值是（

）A.1 B.4 C.6 D.7參考答案：D【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【詳解】由條件畫出可行域如圖：表示直線在y軸上的截距，當(dāng)：平移到過點(diǎn)A時(shí)，最大，又由，解得此時(shí)，.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在上且，與交于點(diǎn)，則

．參考答案：12.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化繁殖情況，得如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算得回歸直線方程為=0.85x﹣0.25．由以上信息，得到下表中c的值為

．天數(shù)t（天）34567繁殖個(gè)數(shù)y（千個(gè)）2.5344.5c參考答案：6【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，寫出樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入線性回歸方程，得到關(guān)于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（3+4+5+6+7）=5，=（2.5+3+4+4.5+c）=∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（5，）把樣本中心點(diǎn)代入回歸直線方程=0.85x﹣0.25∴=0.85×5﹣0.25，∴c=6故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，這是求解線性回歸方程的步驟之一．13.已知向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略14.已知函數(shù)，，若，則

．參考答案：15.

.參考答案：16.（幾何證明選講選做題）如圖，直角三角形中，，，以為直徑的圓交邊于點(diǎn)，，則的大小為

．

參考答案：略17.已知的值等于

.參考答案：0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程(i為虛數(shù)單位)參考答案：原方程化簡為,設(shè)z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1–i,所以x2+y2=1且2x=–1，解得x=–，y=±,所以原方程的解是z=–±i。19.設(shè)函數(shù)，，（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最小值；（2）若方程在區(qū)間有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．參考答案：解析：(1)

………………2分

對(duì)稱軸

………………4分

即的最小值為4……………5分

(2)令

…………7分當(dāng)時(shí)，隨變化如下表+0-0+增極大減極小增在區(qū)間有三個(gè)不同的實(shí)根解得………………9分當(dāng)時(shí)，隨變化如下表+0-0+增極大減極小增在區(qū)間有三個(gè)不同的實(shí)根

解得，

又∵

∴…………11分當(dāng)時(shí)，遞增,不合題意.……………12分(Ⅳ)當(dāng)時(shí),在區(qū)間最多兩個(gè)實(shí)根，不合題意…………13分綜上：或……14分20.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為10000件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí)，具體見下表：第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)xx≤74或x＞8674＜x≤78或82＜x≤8678＜x≤82第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率0.20.40.6第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率0.30.30.3第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率0.50.30.1從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了100件，得到頻率分布直方圖如圖：若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是100元、60元、－100元．（1）以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（2）將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；（3）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價(jià)格是20萬元，使用壽命是1年，安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量．請(qǐng)你幫該公司作出決策，是否要購買該設(shè)備？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，），參考答案：（1）；（2）萬元；（3）見解析．（1）平均值為：．（2）由頻率直方圖，第一段生產(chǎn)半成品質(zhì)量指標(biāo)或，或，，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為元，則，，，所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤是元，所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計(jì)值是萬元．（3），，，，設(shè)引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品利潤為元，則，，，所以引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品平均利潤為元，所以引入該設(shè)備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計(jì)值是萬元，增加收入萬元，綜上，應(yīng)該引入該設(shè)備．21..如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，側(cè)棱，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）∵是等邊三用形，為的中點(diǎn)，∴，∴平面，得.①在側(cè)面中，，，∴，∴，∴.②結(jié)合①②，又∵，∴平面.（2）解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則得設(shè)平面的法向量，則即得取.同理可得，平面的法向量∴則二面角的余弦值為.解法二：由（1）知平面，∴.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，設(shè)，∵∴，即得.即，∴.則二面角的余弦值為.22.已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）利用已知條件化簡出，即可說明是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．（Ⅱ）求出，通過an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2求出通項(xiàng)公式．（Ⅲ）化簡，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分別求出前n項(xiàng)和即可．解答：（本小題滿分12分）（Ⅰ）由題意知，即，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）當(dāng)n=1時(shí)，由①式可得S1=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又n≥2時(shí)，有an=Sn﹣Sn﹣1，代入①式得整理得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣