2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，據(jù)此可得答案.【詳解】由得，得直線斜率為，則傾斜角為.故選：D2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【詳解】由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（

）A．直線坐標(biāo)平面 B．直線坐標(biāo)平面C．直線坐標(biāo)平面 D．直線坐標(biāo)平面【答案】C【分析】求出及三個坐標(biāo)平面的法向量，根據(jù)與法向量的關(guān)系判斷．【詳解】，坐標(biāo)平面的一個法向量是，坐標(biāo)平面的一個法向量是，坐標(biāo)平面的一個法向量是，這三個法向量與都不平行，但，點(diǎn)均不在坐標(biāo)平面上，因此與坐標(biāo)平面平行，故選：C．4．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【分析】先求二項式展開式的通項公式，然后根據(jù)通項公式計算求解即可.【詳解】展開式的通項公式，令，得，所以在的展開式中，的系數(shù)為，故選：C5．在長方體中，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出長方體，為二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案.【詳解】長方體中，，，，平面,平面,,又平面平面，為二面角所成的平面角，，所以二面角的余弦值為.故選：D.6．若直線與圓相離，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓相離則圓心到直線的距離大于圓的半徑即可求解.【詳解】因為直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，解得或，故選:B.7．2名輔導(dǎo)教師與3名獲獎學(xué)生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側(cè)，則不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先排好教師再排學(xué)生即可.【詳解】2名教師排在兩邊有種排法，3名學(xué)生排在中間有種排法，所以共有種排法；故選：B.8．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】計算直線平行等價于或，根據(jù)范圍大小關(guān)系得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，或，驗證均不重合，滿足.故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.9．如圖是一個橢圓形拱橋，當(dāng)水面在處時，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個橢圓.此時拱頂離水面，水面寬，那么當(dāng)水位上升時，水面寬度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：，求直線被橢圓所截得的弦長，代入橢圓方程即可求解.【詳解】以圖中水面所在的直線為軸，水面的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：，當(dāng)水位上升時，水面的寬度也即當(dāng)時，直線被橢圓所截的弦長.把代入橢圓方程可得：，所以當(dāng)水位上升時，水面的寬度為，故選：.10．設(shè)點(diǎn)，，直線，于點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．6 C．4 D．【答案】B【分析】依題意可得直線的方程，再聯(lián)立直線的方程，消后可得到的軌跡方程為，則所求的最大值為圓心到點(diǎn)的距離加上半徑，由此即可求解．【詳解】依題意可得直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，故的最大值為，故選：B．二、填空題11．設(shè)，則過線段的中點(diǎn)，且與垂直的直線方程為__________.【答案】【分析】求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】因為，所以線段的中點(diǎn)，且.所以與垂直的直線的斜率為，所以過線段的中點(diǎn)，與垂直的直線方程為，即.故答案為：12．在的展開式中，常數(shù)項為_____．【答案】【分析】根據(jù)展開式的通項公式求解即可.【詳解】在的展開式的通項公式為，所以令，解得，所以常數(shù)項為故答案為：．13．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，且，則__________.【答案】【分析】由題意可設(shè)，且滿足，因為，由兩點(diǎn)間的距離公式代入可求出，即可求出.【詳解】由題意可得，，，設(shè)，且滿足，此時，則，解得：，此時，所以，故.故答案為：14．記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個值______________．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）15．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個動點(diǎn)，且平面.給出下列四個結(jié)論：①動點(diǎn)的軌跡是一段圓弧；②存在符合條件的點(diǎn)，使得；③三棱錐的體積的最大值為；④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】②③④【分析】對于①，利用線線平行可證得平面平面，進(jìn)而知動點(diǎn)的軌跡；對于②，利用垂直的性質(zhì)的可判斷；對于③，利用三棱錐的體積公式可求得；對于④，利用線面角的定義結(jié)合三角形可求解；【詳解】對于①，分別取和的中點(diǎn)，連接，，，由正方體性質(zhì)知，，平面，平面，所以平面,又平面，，所以平面平面，當(dāng)在上運(yùn)動時，有平面，故動點(diǎn)的軌跡是線段，故①錯誤；對于②，當(dāng)為線段中點(diǎn)時，，，又，，故②正確；對于③，三棱錐的體積，又所以三棱錐的體積的最大值為，故③正確；對于④，連接，則與平面所成角，則，又，所以的取值范圍是，故④正確；故正確結(jié)論的序號是①③④，故答案為：②③④三、解答題16．從4男3女共7名志愿者中，選出3人參加社區(qū)義務(wù)勞動.(1)共有多少種不同的選擇方法？(2)若要求選中的3人性別不能都相同，求共有多少種不同的選擇方法？【答案】(1)35(2)30【分析】（1）7名志愿者中選出3人共有種；（2）選中的3人性別不能都相同，即為1男2女或2男1女，即.【詳解】（1）7名志愿者中選出3人共有種；（2）選中的3人性別不能都相同，即為1男2女或2男1女，則有種.17．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得,再根據(jù)底面是正方形可證明線面垂直，即可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得平面與平面的法向量，即可求得二面角的余弦值【詳解】（1）由平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，又因為底面為正方形，所以，又因為，且PA,BA含于平面PAB,所以平面；為線段的中點(diǎn)，平面，所以，（2）根據(jù)題意可知，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則；則，設(shè)平面的一個法向量為，得，令可得，，即；易知，是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以，平面與平面夾角的余弦值為18．在平面直角坐標(biāo)系中，，曲線是由滿足直線與的斜率之積等于定值的點(diǎn)組成的集合.(1)若曲線是一個圓（或圓的一部分），求的值；(2)若曲線是一個雙曲線（或雙曲線的一部分），且該雙曲線的離心率，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知，的斜率存在，設(shè)代入斜率公式，再由斜率之積為定值，化簡滿足圓的條件即可求得的值.（2）由題意知，的斜率存在，設(shè)代入斜率公式，再由斜率之積為定值，化簡滿足雙曲線的條件及離心率即可求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)且，，由題意知，的斜率存在，則即，可化為，因為曲線是一個圓（或圓的一部分），所以，可化為，所以解得.（2）設(shè)且，，由題意知，的斜率存在，則即，可化為，因為曲線是一個雙曲線（或雙曲線的一部分），所以，可化為，所以，因為，所以解得，所以的取值范圍為.19．已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，其長軸長是短軸長的2倍.(1)求橢圓的方程；(2)記斜率為1且過點(diǎn)的直線為，判斷橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)不存在【分析】（1）由及，根據(jù)，解得，寫出方程.（2）先假設(shè)存在，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入，求得，驗證，得結(jié)論不存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn).【詳解】（1）橢圓的方程（2）假設(shè)存在關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，設(shè)的方程為直線與橢圓的方程聯(lián)立得設(shè)則，的中點(diǎn)代入解得此時，所以橢圓上不存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn).20．如圖，在四棱柱中，平面，為線段的中點(diǎn)，再從下列兩個條件中選擇一個作為已知.條件①：；條件②：.(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)已知點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】(1)(2)(3)的長為或.【分析】選①或②，都能得到，，后如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則可利用向量方法求線線角，點(diǎn)面距離，面面角解決問題.【詳解】（1）若選擇①，因平面ABCD，平面ABCD，則，又，平面，平面，，則平面，又平面，則；若選擇②，做，交AB于F，又，則四邊形DCFA是平行四邊形，則，又，則.則在中，，得，又，則.故，則如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則，得，則直線與所成角的余弦值為：.（2）因，則.設(shè)平面的法向量為，則，取，則求點(diǎn)到平面的距離.（3）因點(diǎn)在線段上，則設(shè)，其中.又，則.又，設(shè)平面法向量為，則，取，則直線與平面所成角的正弦值為：或.得線段的長為或.21．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且離心率為.(1)求實數(shù)的值；(2)若過點(diǎn)可作兩條互相垂直的直線，且均與橢圓相切.證明：動點(diǎn)組成的集合是一個圓.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)相切得判別式為0，進(jìn)而代入切線中的，化簡即可求解.【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且離心率為，所以，解得