2021-2022學(xué)年安徽省黃山市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省黃山市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線平分圓的面積，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】確定圓心坐標(biāo)，由題意可知直線經(jīng)過圓心，由此即可得答案.【詳解】圓的圓心為，因?yàn)橹本€平分圓的面積，故過圓心，則，故選：B2．拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再寫出準(zhǔn)線方程．詳解：將化為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為．點(diǎn)睛：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程等知識(shí)，意在考查學(xué)生的基本計(jì)算能力．3．設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求得.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)斜率時(shí)，由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：直線的傾斜角的取值范圍為.故選：D4．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，即可得出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，即可得到答案【詳解】數(shù)列中，，，…，所以可得數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以，故選：B.5．如圖，棱長為1的正四面體中，為棱的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，易得，利用余弦定理得，即，再利用數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】取的中點(diǎn)，在圖中作出，為中點(diǎn)，則，正四面體的所有棱長為1，;在中由余弦定理可知,，由平面向量的數(shù)量積的定義可知，故選：A.6．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了六天后到達(dá)目的地，求每天走的路程.”在這個(gè)問題中，此人前三天一共走的路程為（

）A．192里 B．288里 C．336里 D．360里【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】記每天走的路程里數(shù)為，由題意可得是公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得，解得所以里故選:C7．下列利用方向向量、法向量判斷線線、線面位置關(guān)系的結(jié)論，其中正確的是（

）A．兩條直線，的方向向量分別是，，則B．直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則C．直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則D．直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線、面位置關(guān)系的向量判斷方法，一一判斷即可【詳解】A項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以或重合，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以或在面?nèi)，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以或在面?nèi)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C8．已知各棱長均相等的直棱柱，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過平行關(guān)系平移異面直線相交，解三角形即可.【詳解】如圖所示，連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接、，則且，為異面直線與所成的角或補(bǔ)角.已知各棱長均相等,設(shè)棱長為：2，則有：，，,在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為：.故選：A.9．已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若的周長為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由題意可得點(diǎn)也在橢圓上，且，由的周長為，可得，又由，可得，進(jìn)而有，即，解得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可解得，從而可得，即可求得離心率的值.【詳解】解：因?yàn)闄E圓關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，且，所以，又因?yàn)榈闹荛L為，所以①，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由，可得②，由①②可得，即，所以，所以橢圓的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得：，解得，所以，所以離心率.故選：C.10．已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，則,聯(lián)立可得，根據(jù)可得，代入可求，從而可求漸近線方程.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則,聯(lián)立，可得，則.因?yàn)?所以，即，整理得，即，解得（負(fù)值舍去），即.所以雙曲線的的漸近線方程是.故選:D.11．已知圓，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列出方程，得到的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，即可得到的最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A，則圓心，半徑為，故，根據(jù)題意有，即即整理得，即的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以故選:A12．我國知名品牌小米公司今年啟用了具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的全新Logo.新Logo將原本方正的邊框換成了圓角邊框（如圖），這種由方到圓的弧度變化，為小米融入了東方哲學(xué)的思想，賦予了品牌生命的律動(dòng)感.設(shè)計(jì)師的靈感來源于數(shù)學(xué)中的曲線，則下列有關(guān)曲線的說法中不正確的是（

）A．對(duì)任意的，曲線總關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，曲線上總過四個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）C．當(dāng)時(shí)，曲線圍成的圖形面積可以為2D．當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)最近距離為【答案】C【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：曲線上任取一點(diǎn),將其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程中，進(jìn)而判斷A選項(xiàng)是否正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí),取，，即可判斷B選項(xiàng)是否正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí),根據(jù)曲線圍成的圖形,即可判斷C選項(xiàng)是否正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí),求出曲線C方程，結(jié)合對(duì)稱性作出圖象,求出曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值即可判斷D選項(xiàng)是否正確.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：在曲線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,將代入曲線，則，即也在曲線上，故曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí),取;取，曲線C總過四個(gè)整點(diǎn)和.故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí),,從而,（當(dāng)或時(shí)取等）曲線圍成的圖形在正方形的內(nèi)部,面積小于正方形的面積2.故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí),曲線C:，，，,結(jié)合對(duì)稱性,作出圖象如下：設(shè)是曲線C:上任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱.令曲線C:中得或或或，所以或或或到原點(diǎn)距離最近,最近距離為，故D選項(xiàng)正確.故選：C二、填空題13．已知空間向量，滿足，，且，的夾角為，若，則實(shí)數(shù)等于______.【答案】【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積乘法分配律計(jì)算.【詳解】依題意有，即，由條件知，，

；故答案為：

.14．已知橢圓，直線，則橢圓上的點(diǎn)到直線的最近距離為______.【答案】【分析】設(shè)，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角函數(shù)求出函數(shù)的最值即得解.【詳解】解：設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，距離取得最小值.故答案為：.15．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】或【分析】聯(lián)立直線與拋物線可得，利用韋達(dá)定理可得到，利用拋物線的定義和可求出，，即可求解【詳解】設(shè)交點(diǎn)，由于直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以將代入并整理可得，則，，又由拋物線的定義可得，由可得代入可得，解之得或（舍去），故時(shí)，，代入可得，故答案為：或16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】將化簡后得到，由于為正項(xiàng)數(shù)列所以可以得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)以及前項(xiàng)和．代入后通過化簡作差求得實(shí)數(shù)的最小值．【詳解】解：根據(jù)題意得，所以為正項(xiàng)數(shù)列，，即.，數(shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．①，②，將①②代入得即對(duì)于任意的恒成立．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故或5時(shí)，取得最大值．.所以．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題17．如圖，在四面體中，，，且，，，分別是，，，邊的中點(diǎn).(1)求證：(2)若是和的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任意一點(diǎn)，都有.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）過點(diǎn)作平面，連接.證明出為△的垂心，得到，利用線面垂直的判定定理證明出平面，即可證明.（2）連接.先證明出四邊形為平行四邊形再利用向量共線定理即可證明.【詳解】（1）過點(diǎn)作平面，垂足為，則.連接.因?yàn)椋?，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?同理可證：.所以為△的垂心.所以.因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又平面，所以.（2）連接.因?yàn)?，，，分別是，，，邊的中點(diǎn)，所以且，且,所以且,所以四邊形為平行四邊形.因?yàn)槭呛偷慕稽c(diǎn)，所以由向量共線定理可得：.即證.18．已知數(shù)列中，，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）等號(hào)兩邊同時(shí)減去，用定義即可證明；（2）用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1），數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列.，（2），即①，②，由①②得：，，化簡得：.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且為圓的圓心.過點(diǎn)的直線交拋物線與圓分別為，，，（從左到右），且，.(1)求拋物線的方程并證明是定值；(2)若，的面積滿足：，求弦的長.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）先求出焦點(diǎn)，即可求出拋物線的方程；利用“設(shè)而不求法”證明出；（2）求出，即可求出弦的長.【詳解】（1）由為圓的圓心可知：.又拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得：.所以拋物線的方程為.過點(diǎn)的直線交拋物線于，，且，..所以直線的斜率必存在，設(shè)其為，設(shè)直線方程為.聯(lián)立.當(dāng)時(shí)，解得：，所以.當(dāng)時(shí)，消去得：，所以.綜上所述：為定值.（2）因?yàn)榍覂蓚€(gè)三角形等高，所以.因?yàn)橛山獾茫?所以.20．如圖1，為等邊的中位線，將沿折起，構(gòu)成如圖2所示的四棱錐，其中.(1)求證：平面；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用比例關(guān)系可得，即可求證；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面，面的法向量，即可得到答案【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗叺闹形痪€，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以在中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面，易得在等腰梯形中，，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)等邊的邊長為2，則，，，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，則，，此時(shí)，由，得，令，則，，此時(shí)，所以，由圖可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為21．已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)題意列方程組解決即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程得，得，由，得，再根據(jù)弦長公式解決即可.【詳解】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，，因?yàn)橹本€與橢圓交于，兩點(diǎn)，由題可知，直線斜率為0時(shí)，，所以直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，解得，此時(shí)恒成立，所以直線的方程為直線，直線過定點(diǎn)，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.22．設(shè)數(shù)