效·高·寬·深“四度”設(shè)計

效?高?寬■深“四度”設(shè)計初三幾何復(fù)習(xí)課教學(xué)實踐研究【內(nèi)容摘要】幾何在中考分值中占很大比例，近年來中考幾何難度逐年提高，對學(xué)生要求比較高，學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)比較怕，如何在有限的時間內(nèi)，通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生取得好成績的同時也發(fā)展學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力等。筆者制定”四度“設(shè)計教學(xué)模式，精選例題，設(shè)計好問題串，歸納數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗，對復(fù)習(xí)階段的教學(xué)設(shè)計進行了研究，希望能提升初三幾何復(fù)習(xí)課的有效性.【關(guān)鍵詞】初三幾何復(fù)習(xí)課四度設(shè)計實踐探究一、課題的研究起源（一）“舉足輕重”的幾何知識幾何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中所占的比例很大，是教學(xué)的重點，也是教學(xué)的難點；幾何題目在中考數(shù)學(xué)試卷中出鏡率一直很高，以近四年杭州中考數(shù)學(xué)卷分析，幾何試題和卷面分所占的比例比較大，具體統(tǒng)計見下表：年份題號總分值比值20162,3,8,9,14,15,19,21,235041.7%20173,8,10,12,15,19,21,234638.3%20185,8,10,12,14,16,19,21,5142.5%2320193,6,7,9,13,14,16,19,21,235445%從統(tǒng)計表中可以看出，除了比例較大，幾何題的題號在選擇、填空和計算題中都是比較靠后的，也就是難度系數(shù)比較大的.對于比較簡單的幾何題，只考察其中個別知識點時，學(xué)生還是可以處理的。但是一旦幾何知識綜合性大，題目條件多或者當(dāng)要求學(xué)生添加輔助線時，學(xué)生就不能很好解決此類型的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的時候，不僅會覺得幾何枯燥乏味，而且也會覺得幾何難以攻克，失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（二）“雜亂無序”的復(fù)習(xí)現(xiàn)狀數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，它是學(xué)生在學(xué)完了初中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容后，進行一次系統(tǒng)的、全面的回顧與整理，以達到查漏補缺、深化對知識的理解和認識，落實高層次智能目標、促進學(xué)生智能遷移的目的。然而，由于復(fù)習(xí)教學(xué)往往是“面對老學(xué)生，復(fù)習(xí)舊知識”，所以“學(xué)生聽得不新鮮，教師講得很乏味”。［1］初三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法往往就是訂閱資料后，老師照搬照抄。筆者就所在學(xué)校的數(shù)學(xué)教師在初三教學(xué)的復(fù)習(xí)方法中做了調(diào)查，主要情況有以下幾種：以習(xí)題訓(xùn)練代替復(fù)習(xí)教學(xué)：有的老師認為在做不同的習(xí)題中就復(fù)習(xí)了與本題相關(guān)的知識點，因此在課堂上只是不停地進行習(xí)題訓(xùn)練，并沒有帶領(lǐng)學(xué)生進行幾何知識點的梳理及復(fù)習(xí)。以知識框架代替知識梳理：有的則認為知識點的復(fù)習(xí)不可缺少，應(yīng)該系統(tǒng)地講解，然而有一部分學(xué)生認為已經(jīng)學(xué)過了，并不認真聽講，效果不如人意；有的則讓學(xué)生先做“回歸教材”等知識點回顧，然后老師針對性地講解，可是學(xué)生興趣也不是很高。3.以解題數(shù)量追求教學(xué)質(zhì)量：有的老師不停地讓學(xué)生解題，一節(jié)課完成大量的解題訓(xùn)練，課后完成的題目更多，總覺得學(xué)生的成績肯定能與解題數(shù)量成正比，從而通過題海戰(zhàn)術(shù)達到教學(xué)質(zhì)量的目標。從上述兩點中不難看出，在這么重要的幾何知識復(fù)習(xí)中，我們大多數(shù)老師還是采用按部就班的老路在進行復(fù)習(xí)操，老師教得累，學(xué)生學(xué)的苦。筆者認為我們教師應(yīng)該反思現(xiàn)有的復(fù)習(xí)模式，如何讓學(xué)生在有限的時間里，在知識梳理過程中架構(gòu)知識網(wǎng)，讓新舊知識聯(lián)系起來，形成知識體系。如何讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中對新舊知識碰撞，升華知識?；谶@種情況筆者嘗試“四度”教學(xué)實踐模式，希望學(xué)生在幾何復(fù)習(xí)過程中思維得到發(fā)展，能力得到提高。二、幾何復(fù)習(xí)課的“四度”教學(xué)實踐（一）制定新主題成就復(fù)習(xí)的效度切入口小精準定位復(fù)習(xí)課的目標不能是簡單地列舉知識框架，也不能以做題數(shù)量來衡量，當(dāng)然更不能一言以蔽之，籠統(tǒng)地說“提高學(xué)生解決問題的能力”。筆者認為應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體情況，確定合適的起點，制定適合學(xué)生認知水平的主題，主題要小而精，通過知識的梳理、例題的選擇和問題的設(shè)置，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考和解決問題，提高復(fù)習(xí)課的有效性，提高效率。初中幾何知識眾多，包括圖形的性質(zhì)，圖形的變化以及圖形與坐標.特別是在圖形的性質(zhì)里面，包括點、線、面、角，相交線與平行線，三角形，四邊形，圓等基本圖形，并且每個圖形都有自己的性質(zhì).而我們復(fù)習(xí)的時間大概有100多節(jié)課，幾何又可以占到50節(jié)課左右，這就要求我們每節(jié)課定好主題，做到精準定位，確保復(fù)習(xí)的實效性。案例1：幾何復(fù)習(xí)單元主題的確定設(shè)計說明：本主題的確定并不是統(tǒng)統(tǒng)用形狀來確定主題，而是在對稱、度量等性質(zhì)方面下進行形狀的劃分，在性質(zhì)的統(tǒng)領(lǐng)下設(shè)計不同的單元主題，然后在該單元主題下再以不同形狀加以區(qū)分。目標明確操作可行教學(xué)目標是保證一堂課順利有效進行的前提條件，是保證課堂教學(xué)質(zhì)量與效益的前提，我們定的教學(xué)目標不應(yīng)是空洞的、無法執(zhí)行的，而是應(yīng)該具體的、可測量的、有針對性的，可操作的。案例2：矩形的折疊的教學(xué)目標1、 能根據(jù)教師下發(fā)的紙張進行折疊后，能畫出圖形經(jīng)過折疊后的新圖形2、 能根據(jù)折疊前后的圖象，看出變換后的圖形與原圖形的對稱不變性，找出相等的角和線段3、 能充分運用折疊的對稱不變性，探索圖形之間存在的關(guān)系，運用相關(guān)數(shù)學(xué)知識，如勾股定理、方程思想解決問題.設(shè)計說明：此教學(xué)目標主要要求學(xué)生會畫圖、識圖、用圖，并且在每個目標都有具體的知識點的體現(xiàn)，具有可操作性。適宜學(xué)生分層教學(xué)由于不同學(xué)生對于知識的掌握程度肯定是不一樣的，因此在同一個主題的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的知識水平和差異情況，對不同的學(xué)生設(shè)計不同的問題，讓每個學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，都有收獲，都能獲得成就感。

（二）設(shè)計新起點奠定復(fù)習(xí)的高度課前習(xí)題反饋知識水平雖然復(fù)習(xí)課往往是“面對老學(xué)生，復(fù)習(xí)舊知識”，但是隨著學(xué)生的年齡的增長和心智的成熟，相比之前在剛剛學(xué)習(xí)新的知識的時候，也許之前覺得難的知識現(xiàn)在已經(jīng)變得相對簡單了，當(dāng)然，肯定也存在有些知識雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過，但是由于時間久遠，加上用的少，已經(jīng)記憶模糊或者遺忘了.那么如果能進行課前的習(xí)題作業(yè)反饋，就能掌握學(xué)生對舊有知識的掌握情況，便于有針對性的選擇適合學(xué)生的習(xí)題。案例3：三角形及其性質(zhì)復(fù)習(xí)的課前習(xí)題片斷1.現(xiàn)有4根鋁合金小棒，長度分別為30，40，50，60厘米，任取3根鋁合金小棒首尾相接焊接，問能焊接出多少個不同三角形？已知在一個三角形中，其中有兩個角的度數(shù)和是第三個角度數(shù)的3倍，求第三個角的度數(shù)？如圖1,在RtAABC中，CM平分ZACB交AB于點M,過點M作MN〃BC交AC于點N,且MN平分ZAMC.若AN=1,則BC的長為.如圖2,在^ABC中，D，E分別為BC，AD的中點，且SAABC=4，則S陰影（圖1）（圖2）設(shè)計說明：通過一組小、活、靈的課前習(xí)題測試，測試學(xué)生對三角形的基本性質(zhì)，包括邊的性質(zhì)、角的性質(zhì)、面積的簡單計算，教師批改后收集問題，便

于復(fù)習(xí)課上著重對于哪塊內(nèi)容進行強化有比較好的指引作用，也能了解學(xué)生的實際情況。2.精選例題回顧知識梳理復(fù)習(xí)課往往從知識梳理開始，知識梳理不是知識框架的簡單再現(xiàn)，或者性質(zhì)定理的背誦，而是設(shè)計合適的問題喚醒學(xué)生的回憶，通過問題解決建構(gòu)知識體系.在中考復(fù)習(xí)時，設(shè)計的復(fù)習(xí)內(nèi)容和價值取向要符號中考要求，既要落實“四基”，也要兼顧適度拓展，注重對學(xué)生能力的培養(yǎng).設(shè)計開放型的問題，也可以幫助拓展學(xué)生的能力。案例4：平行四邊形的性質(zhì)及判定的復(fù)習(xí)片斷已知：如圖3，E，F(xiàn)是4口的對角線AC上的兩點，且.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.（請你附加一個條件，然后完成證明）（圖3）（圖4）生1：我添加AE=CF，由條件可知△ADE^ACBF和^ABE^ACDF那么DE=BF，BE=DF，再利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可證明.生2：老師，我覺得仍舊添加這個條件，但是只利用一組全等三角形即可，△ADE^^CBF，由全等三角形可以得到DE=BF并且ZAED=ZCFB，再利用等角的補角相等得到ZFED=ZEFB，推出DE//BF，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可證明.生3：老師，還是這個條件，但是連接DB會更簡單，利用平行四邊形的對角線互相平分，可以得到AO=CO,DO=BO，而已知AE=CF，則可以得到OE=OF，利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證明（如圖4）.生4：老師，添加DE,BF分別是ZADC和/ABC的角平分線……生5：那如果是高線，好像也可以設(shè)計說明：平行四邊形的判定方法眾多，如果通過PPT播放文字敘述，這幾乎也是新授課的教學(xué)流程，連新課都沒聽進去，那么復(fù)習(xí)課中學(xué)生頭腦中不會留下深刻的印象，學(xué)生需要做多少題才能真正地掌握這一知識點。而本例中的原題來源于課本八下《4.4.1平行四邊形判定》作業(yè)題1，《4.4.2平行四邊形判定》例2、作業(yè)題2和作業(yè)題3,設(shè)計了開放式的問題，它是基于學(xué)生腦中已有的平行四邊形的判定方法，讓學(xué)生通過不同的判定方法來回顧平行四邊形的判定及性質(zhì)，讓學(xué)生能夠喚醒頭腦中的舊知，經(jīng)歷思辨的過程，自然而然地建構(gòu)知識體系。3.深入挖掘開發(fā)習(xí)題資源教師面對一個基本題時，應(yīng)該思考，該題背后可以蘊含哪些幾何知識，深入挖掘一個題的素材，抓住原題，對題目進行再創(chuàng)造，形成連貫通暢的整體，開發(fā)出一套習(xí)題資源。案例5：三角形相似的習(xí)題開發(fā)片斷已知，如圖5，在左ABC中，ZACB=90°，CD±AB，D為垂足：求證：CD1_11變1：求證：5五-亍變2：如果AC=2BC，求證：5CD=AB變3：若AB的中點為M，求證：X. 泛"宅變4：如圖6,若增加“DEXAC于E,DFXAB于F,”求證：（1）（廠冶（2）聲；，茫%"；A./變5：如圖7,若增加“CE平分/DCB”，求證：左歸陌變6：已知，如圖8,在^ABC中，/ACB=90度，CDLAB,D為垂足，以CD為直徑的圓交AC、BC于E、F，求證：CE：BC=CF：AC（圖5）（圖6）（圖7）（圖8）設(shè)計說明：本題為九上《4.4兩個三角形相似判定》的作業(yè)題1中的一個題，在學(xué)習(xí)相似三角形的時候，對于通過相似找到邊之間的關(guān)系是一種常見的中考題型，也是學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形的一個難點.因此，為了拓展學(xué)生的思維，筆者設(shè)計了以上變式，通過對題目稍作更改，附加高線、角平分線、圓等不同條件，尋求線段之間的具體數(shù)量關(guān)系。（三）重構(gòu)新認知拓廣復(fù)習(xí)的寬度用新知去體會舊知重新架構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)由于學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，受知識儲備不完善，考慮問題不全面，能力有限等，很難對所學(xué)的新知識有一個全方位的了解和認識，知識面還是單一的。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了后續(xù)知識后，這樣可以對前面所學(xué)的新知識進行融匯、整理、編排、產(chǎn)生新的認識，架構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，形成知識體系。案例6：正方形的復(fù)習(xí)片斷已知:如圖9,點E,F,P,Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且AF=BP=CQ=DE.求證：四邊形EFPQ是正方形.教師在完成這題的講解后問1:你能用它解釋勾股定理嗎？問2：如圖10,在直角坐標系中，已知一個正方形的頂點O（0,0）,A（3,4），你可以求其余的點坐標嗎嗎？（圖9）（圖10）設(shè)計說明：用己學(xué)習(xí)過的正方形的知識去解釋之前的勾股定理，去完成之前學(xué)習(xí)過的直角坐標系中表示點的坐標，其實都是用了課本中這個題的原圖，這個圖其實就是趙爽弦圖。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還有其他的遷移知識，比如在學(xué)習(xí)了比例線段后，可以比較容易地證明“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”；又比如學(xué)習(xí)了矩形的對角線相等且互相平分，可以用于證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等等。注意知識“負遷移”設(shè)計辨析予以區(qū)別數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個逐級遞進的過程，當(dāng)學(xué)生擁有更多的知識時，難免會對前面所學(xué)的知識產(chǎn)生負遷移.比如當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了菱形的對角線互相垂直平分，學(xué)生往往會認為“對角線互相垂直的四邊形是菱形”等誤解，這就要求我們平時幾何教學(xué)中，要設(shè)計一些辨析訓(xùn)練題得以區(qū)別。（四）提煉新經(jīng)驗挖掘復(fù)習(xí)的深度巧設(shè)問提供思維空間每節(jié)課的每個問題之間都形成層層疊疊的關(guān)系網(wǎng)，從學(xué)生的知識水平和認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，精心預(yù)設(shè)，循序漸進的啟發(fā)式提問，給學(xué)生提供思維的空間，引發(fā)學(xué)生深度思考。案例7：矩形的折疊的復(fù)習(xí)片斷如圖11,在矩形紙片ABCD中，AD=6,AB=8,E為DC上的動點，把△ADE沿直線AE折疊使點D落在D’處，（老師下發(fā)A4紙）折疊后，你有哪些結(jié)論？若ACD’三點共線，你又可以計算出哪些線段的長度？若D’落在矩形的邊上，則DE=若△ED’C為Rt△時，則DE二（圖11）設(shè)計說明：從最基本的折疊開始，讓學(xué)生經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的探索歷程，讓學(xué)生鞏固并深刻領(lǐng)會折疊的本質(zhì)在于軸對稱，軸對稱的本質(zhì)在于保證了圖形的全等不變性，涉及方程、相似等眾多核心的知識與方法，這對培養(yǎng)學(xué)生“動態(tài)變化、數(shù)形結(jié)合、推理能力”等素養(yǎng)起到較好的聚焦作用.通過問題①的設(shè)計，讓學(xué)生先回顧折疊的本質(zhì)是在于軸對稱，軸對稱前后的圖形線段、角、面積都是相等的.問題②和問題③，是在折疊過程中的某個特殊位置，通過勾股定理、方程思想可以幫助解決困難.到了問題④，需要學(xué)生利用分類討論思想，去判斷哪些角可能為直角，最后可以分成兩種情況。說思路產(chǎn)生思維碰撞如果每節(jié)課的目的僅僅是求解一道中考題或者一道綜合大題的答案，教學(xué)的時間會節(jié)省不少，但學(xué)生是否真正地理解、掌握了這個題背后蘊含的這個類型的題的解法。教師不僅要關(guān)注自己的教，也要關(guān)注教會學(xué)生“說”，從說思路開始，讓學(xué)生從學(xué)會到會學(xué)。案例8：矩形的折疊的復(fù)習(xí)片斷（教學(xué)設(shè)計同上案例）師：你得到了哪些結(jié)論生1:由于折疊，我可以得到折疊過程中的角度、線段相等，如DE=D’E,AD=AD’，ZDAE=ZD?AE,ZDEA=ZD?EA,ZD=ZD?=90°.生2：老師，其實這些結(jié)論的背后都來源于??印匚，折疊前后的三角形全等.師：所以，在折疊的題中，我們應(yīng)該看到折疊前后的圖形是關(guān)于折疊的痕跡所在的直線前后成軸對稱的關(guān)系。設(shè)計說明：其實，第①問的設(shè)計，就是要讓學(xué)生先體會折疊的本質(zhì)，折疊前后的圖形是不變的，可以從角入手，也可以從線段入手，此處，學(xué)生1說的是具體的線段相等，而學(xué)生2則進一步說出折疊的本質(zhì)，兩學(xué)生之間產(chǎn)生了思維的碰撞。問題②、問題③和問題④此處不展開詳細的課堂教學(xué)片斷，接下來再來看看學(xué)生敘述問題⑤的敘述片斷。師：CD’是否存在最小值？生3：老師，點D’在動，這個最小值好像一下子看不出來生4：老師，我覺得雖然D’在動，但是點動起來好像有一定的規(guī)律，我知道了，由于折疊，點D’是由點D折過來的，也就是繞著AE折過來的，那么AD’二AD生5：老師，點D’的痕跡是以A為圓心，AD為半徑的圓弓瓜師：那我們現(xiàn)在看出點D’的痕跡了，但是題目讓我們求的是CD’的最小值，是否可以與此聯(lián)系起來？也就是說CD’與AD’是否有聯(lián)系？設(shè)計說明：求最值的問題一般是學(xué)生看著最頭疼的問題，此處同樣通過學(xué)生之間的思維碰撞，教師加以引導(dǎo)，最后學(xué)生自己解決問題，讓學(xué)生能夠把思路說出來，讓做題的過程“說”出來，也是我們平時復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的一點，多讓學(xué)生說一說，碰撞出思維的火花。重小結(jié)提煉思維經(jīng)驗學(xué)生的經(jīng)驗是零散的、模糊的，教師需要幫助學(xué)生將這些經(jīng)驗進行梳理，使得經(jīng)驗明晰并且有條理。所以在教學(xué)中，除了要對基礎(chǔ)知識進行回顧小結(jié)外，也要對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗進行歸納總結(jié)，使得學(xué)生養(yǎng)成小結(jié)、反思的經(jīng)驗。案例9：三角形的性質(zhì)的復(fù)習(xí)片斷（1） 如圖①，把???？沿DE折疊，使點A落在點A’處，若"X，求1 2的度數(shù).（2） 如圖②,BI平分.衣,CI平分舟蕓，把也：沿DE折疊，使點A與點I重合，若.12 ，求.雙:的度數(shù).題目分析，圖②其實是由圖①和圖③組成的，而圖③這個題最早出現(xiàn)在作業(yè)本等資料中，已知,少的大小，求誨C.復(fù)習(xí)過程中，第二小題錯誤率較高，要求學(xué)生訂正前反思以下內(nèi)容：（1） 本題運用哪些所學(xué)知識（2） 兩小題是否有內(nèi)在聯(lián)系（3） 之前有沒有做過類似的題型，或者包含做過的題目模型在老師講解完后應(yīng)該讓學(xué)生反思：（1）運用了哪些思維方式、數(shù)學(xué)思想方法（2）這題的難點在哪，是如何突破的設(shè)計說明：平時復(fù)習(xí)中，若能把反思與總結(jié)當(dāng)作一個經(jīng)常性、自覺性的學(xué)習(xí)行為，.就會在不斷地積累和總結(jié)基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中，提高數(shù)學(xué)知識的運用能力.當(dāng)學(xué)生能夠說自己的感悟時，