平面解析幾何知識點(diǎn)歸納,推薦文檔

平面解析幾何知識點(diǎn)歸納?知識點(diǎn)歸納直線與方程直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線l與X軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0范圍：直線的傾斜角a的取值范圍為［0,兀), 兀2.斜率：k=tana(a豐),keR2斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P(x,y),P(x,y)(x。x)的直線的斜率公式為k =^一匕111 222 1 2 PP,x-X2 13.直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率b是縱截距與X軸不垂直的直線點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-X0)(X0,y0)是直線上的已知點(diǎn)兩點(diǎn)式y(tǒng)-y1=x-%y-yx-x2 12 1(x。x,y。y)1 2 1 2(x1,y1),(X2,y2)是直線上的兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式Xy1一+乙=1aba是直線的橫截距b是直線的縱截距不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B2。0)當(dāng)B=0時(shí)，直線的橫截距為-a當(dāng)B豐0時(shí)，-—，—匚■,-;分別為直線BAB的斜率、橫截距，縱截距所有直線能力提升斜率應(yīng)用例1.已知函數(shù)f(X)=log(X+1)且a>b>c>0,則』竺,華)，企)的大小關(guān)系2 abc

~一…一一、v+3一一設(shè)兩直線的萬程分別為：/i.、,— b或/i?a1y+bv^(i-0；當(dāng)k。k或AB。設(shè)兩直線的萬程分別為：/i.、,— b或/i?a1y+bv^(i-0；當(dāng)k。k或AB。AB時(shí)匕們l:v一kX+bl:AX+BV+C一0 1 2 12 21fv=kx+b(Ax+Bv+C=0相父，父八、、坐標(biāo)為萬程組1v=kx+b或[A1x+By+C=0L2 2偵2 2 2直線間的夾角：①若0為I到I的角，tan。-或tan。-%]A2B1；

1 2 1+kk AA+BB ^-1 1—2 1—2-位置關(guān)系:v=kx+b:v=kx+bl:Ax+Bv+C=0l2:A2x+B2v+C=0平行=k=k，且b。bABC了=B'M(A1B2-A2B1=0)2 2 2重合=k=k，且b=bABC~k~~B^~C相交=k。kAB芍B垂直=k1-k2=—1A】A2+B]B2=0兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系l:v=kx+brl:Ax+Bv+C=0或tan0=AB或tan0=AB—AB

—1―2 2—1AA+BB

—1_2 1_2②若。為〈和12的夾角，則tan0=1+kk ^-1a=0(0弓)③當(dāng)1+kk=0或AA+BB=0時(shí)，0=90。；直線l至Ijl的角0a=0(0弓)12 12 12 1 2 1 2或a=n-0(0>距離問題平面上兩點(diǎn)間的距離公式P(x,y),P(x,y)貝\PP|=((x-x)+(y—y)1 1 1 2 2 2 112 2 1 2 1點(diǎn)到直線距離公式點(diǎn)P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離為：d="丁B0+C-00 、A2+B2兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線l1和12的一般式方程為l1:Ax+By+q=0，:Ax+By+C=0，則l與l的距離為d二￡—C2=2 1 2 M2+B2直線系方程:若兩條直線l:Ax+By+C=0，l:Ax+By+C=0有交點(diǎn)，則過l與l交點(diǎn)的TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 2 2 2 2 1 2直線系方程為(Ax+By+C)+人(Ax+By+C)=0或1 1 1 2 2 2(Ax+By+C)+人(Ax+By+C)=0(入為常數(shù))2 2 2 1 1 1對稱問題，x=?1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知點(diǎn)A(x,y),B(x,y)，則A,B中點(diǎn)H(x,y)的坐標(biāo)公式為<1122 Iy=中點(diǎn)P(x,y)關(guān)于A(a,b)的對稱點(diǎn)為Q(2a—x,2b—y)，直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題可以化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱問0 0 0 0題。2.軸對稱：點(diǎn)P(a,b) 關(guān)于直線Ax+By+c=0(B豐0)的對稱點(diǎn)為P'(m,n)，則有'n-bx(―A)_—1<m-aB7 ，直線關(guān)于直線對稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題。4a+m「b+n廠八A +B +C_0〔2 2中心對稱：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：該點(diǎn)是兩個(gè)對稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)A(a,b)關(guān)于C(c,d)的對稱點(diǎn)Qc-a,2d-b)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱:I、 在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；II、 求出一個(gè)對稱點(diǎn)，在利用11//12由點(diǎn)斜式得出直線方程；III、 利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線11：2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)P(1,-1)對稱的直線12的方程。點(diǎn)關(guān)于直線對稱：I、 點(diǎn)與對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。II、 求出過該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn)A(—3,5)關(guān)于直線1:3x-4y+4=0對稱的坐標(biāo)。直線關(guān)于直線對稱：(設(shè)a,b關(guān)于1對稱)I、 若a,b相交，則a到1的角等于b到1的角；若a//1，則b//1，且a,b與1的距離相等。II、 求出a上兩個(gè)點(diǎn)A,B關(guān)于1的對稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。I、設(shè)P(x,y)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于1的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)適合a的方程。如：求直線a:2x+y-4=0關(guān)于1:3x+4y-1=0對稱的直線b的方程。能力提升例1.點(diǎn)P(2,1)到直線mx-y-3=0(meR)的最大距離為例2.已知點(diǎn)A(3,1)，在直線y=x和y=0上各找一點(diǎn)M和N，使AAMN的周長最短，并求出周長。線性規(guī)劃問題：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)和直線1:Ax+By+C=0，①若點(diǎn)P在直線1上，則Ax0+By0+C=0；②若點(diǎn)P在直線1的上方，則B(Ax0+By。+C)>0；③若點(diǎn)P在直線1的下方，則B(Ax0+By0+C)<0；二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(<0)，

當(dāng)B>0時(shí)，則Ax+By+C>0表示直線l:Ax+By+C=0上方的區(qū)域:Ax+By+C<0表示直線l:Ax+By+C=0下方的區(qū)域:當(dāng)B<0時(shí)，則Ax+By+C>0表示直線l:Ax+By+C=0下方的區(qū)域:Ax+By+C<0表示直線l:Ax+By+C=0上方的區(qū)域:注意：通常情況下將原點(diǎn)(0,0)代入直線Ax+By+C中，根據(jù)>0或V0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：①當(dāng)B>0時(shí)，將直線Ax+By=0向上平移，則z=Ax+By的值越來越大:直線Ax+By=0向下平移，則z=Ax+By的值越來越小:②當(dāng)BV0時(shí)，將直線Ax+By=0向上平移，貝Uz=Ax+By的值越來越小:直線Ax+By=0向下平移，則z=Ax+By的值越來越大:如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則。為:(1)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，①若點(diǎn)p在直線1上，則弋+叫+C=0:②若點(diǎn)p在直線1的上方，則B(Ax0+By0+C)>0:若點(diǎn)P在直線1的下方，則外丁叫+C)V0:(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域:對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(V0)，①當(dāng)B>0時(shí)，則Ax+By+C>0表示直線l:Ax+By+C=0上方的區(qū)域:Ax+By+CV0表示直線l:Ax+By+C=0下方的區(qū)域:②當(dāng)BV0時(shí)，則Ax+By+C>0表示直線l:Ax+By+C=0下方的區(qū)域:

Ax+By+C<0表示直線l:Ax+By+C=0上方的區(qū)域;注意：通常情況下將原點(diǎn)(0,0)代入直線Ax+By+C中，根據(jù)>0或<0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。(3)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：①當(dāng)B>0時(shí)，將直線Ax+By=0向上平移，則z=Ax+By的值越來越大;直線Ax+By=0向下平移，則Uz=Ax+By的值越來越小;②當(dāng)B<0時(shí)，將直線Ax+By=0向上平移，則z=Ax+By的值越來越小;直線Ax+By=0向下平移，則z=Ax+By的值越來越大;目標(biāo)函數(shù)如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則。為;目標(biāo)函數(shù)圓與方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2圓心C(a,b)，半徑r特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2+y2=r2.2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上=d=r;(2)點(diǎn)在圓外=d>r;(3)點(diǎn)在圓內(nèi)=d〈r.2.給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(x一a)2+(y-b)2=r2.①M(fèi)在圓C內(nèi)=(x0-a)2+(y°—b)2<r2 ②M在圓C上=(x0-a)2+(y°-b)2=r2③M在圓C外O(x0-a)2+(y0-b)2>r22.3圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

當(dāng)。2心小〉。時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心《土§，半徑r=些嚴(yán)當(dāng)d2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（-D，--I22J當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程無圖形（稱虛圓）.注：（1）方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且A=C豐0且D2+E2-4AF>0.圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑TOC\o"1-5"\h\zA（x,y）B（x,y）n（x-x）（x-x）+（y一y）（y一y）=0, ,4 4442.4直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax+By+C=0與圓（x-辦+（y-b）=r2的位置關(guān)系有三種，d是圓Aa+Bb+C心到直線的距離，（d= .IA2+B2（1）d>r=相離=△<0；（2）d=r=相切=△=0；（3）d<r=相交=△>02.5兩圓的位置關(guān)系TOC\o"1-5"\h\z設(shè)兩圓圓心分別為O，O，半徑分別為r，r，\OO =d。，^^， ?-i，?c， 。1 2 1 2 112（1）（1）d>井]+井2o外離o4條公切線；（2）d=[+r2o外切o3條公切線；（3）|（3）|r-rI<d<r+ro相交o2條公切線;1 2 1 2（4）d=1[-[|o內(nèi)切o1條公切線;（5）0<d<\r^-r21o內(nèi)含o無公切線;外離 外切 相交內(nèi)切內(nèi)含外離 外切 相交內(nèi)切內(nèi)含圓的切線方程：直線與圓相切：（1）圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）圓x2+y2=r2的斜率為k的切線方程是y=kx±x1+k2r過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P（x0,y0）的切線方程為：x0x+y0y+D*；°+E丫？0+F=0.一般方程若點(diǎn)（x0,y0