2023屆江西省奉新縣一中高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.2.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.4.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.5.已知復(fù)數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.6.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.67.在正方體中,E是棱的中點,F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點,且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說法不正確的是()A.點F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值8.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.9.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-11.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)12.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若關(guān)于的不等式在時恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____14.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實數(shù)的取值范圍是__________.15.已知,,求____________.16.圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)函數(shù),且恒成立.(1)求實數(shù)的集合;(2)當(dāng)時,判斷圖象與圖象的交點個數(shù),并證明.(參考數(shù)據(jù):)18.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識,高二年級準(zhǔn)備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.(1)設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)2018年9月,臺風(fēng)“山竹”在我國多個省市登陸,造成直接經(jīng)濟損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);(2)臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進(jìn)行重點幫扶,設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線①:有A,B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②:有a,b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為14萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.(1)若選擇生產(chǎn)線①,求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請說明理由.21.(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點,直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點O到直線l的距離為定值.22.(10分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點,是的中點,現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點;利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當(dāng)時,與有且僅有四個不同的交點設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.3、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設(shè)直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.4、A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時要注意挖掘隱含條件.5、C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號.

答案:C【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。蝗嗟仁亲詈笠欢ㄒ炞C等號能否成立,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對于,設(shè)平面與直線交于點,連接、,則為的中點分別取、的中點、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點是線段上上的動點.正確.對于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對于,由知,平面平面,與不可能平行,錯誤.對于,因為,則到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.8、C【解析】

分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點,以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時,的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

考慮當(dāng)時,有兩個不同的實數(shù)解,令,則有兩個不同的零點,利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對,所以時,有兩個不同的實數(shù)解.令,則在有兩個不同的零點.又,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),在上至多一個零點,舍.當(dāng)時,若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因為有兩個不同的零點,所以,解得.又當(dāng)時,且,故在上存在一個零點.又,其中.令,則,當(dāng)時,,故為減函數(shù),所以即.因為,所以在上也存在一個零點.綜上,當(dāng)時,有兩個不同的零點.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點,必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點存在定理說明零點的存在性,本題屬于難題.10、A【解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點:1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.12、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將不等式去掉對數(shù)符號,再依據(jù)分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題,進(jìn)而求得的取值范圍?!驹斀狻坑傻?,兩邊同除以,得到,,,設(shè),,由函數(shù)在上遞減,所以,故實數(shù)的取值范圍是?!军c睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。14、【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點,則切線斜率,解得:;設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點,則切線斜率,解得:;當(dāng)時,,又,滿足題意;綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查恒成立問題的求解,重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題;易錯點是忽略分母不為零的限制,忽略對于臨界值能否取得的討論.15、【解析】

求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可計算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

求出圓心關(guān)于直線的對稱點,即可得解.【詳解】的圓心為,關(guān)于對稱點設(shè)為,則有:,解得,所以對稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對稱圓方程,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)2個,證明見解析【解析】

(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看是否有最小值;(2)將圖像與圖像的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實數(shù)解的個數(shù)問題,然后構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】(1)的定義域為,因為,1°當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,時,使得,與條件矛盾;2°當(dāng)時,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而時,,要使恒成立,故.(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程實根個數(shù)問題,當(dāng)時,圖象與圖象有且僅有2個交點,理由如下:由,即,令,因為,所以是的一根;,1°當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,,即在上無實根;2°當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞遞增,又,所以在上有唯一實根,且滿足,①當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,此時在上無實根;②當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,,故在上有唯一實根.3°當(dāng)時,由(1)知,在上單調(diào)遞增,所以,故,所以在上無實根.綜合1°,2°,3°,故有兩個實根,即圖象與圖象有且僅有2個交點.【點睛】此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想,考查導(dǎo)數(shù)的運用,屬于較難題.18、(1);(2)見解析【解析】

(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超幾何分布求解即可【詳解】(1)因為學(xué)生總數(shù)為1000人,該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人,則抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值為0,1,2,3,,,,,的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣,考查超幾何分布及期望,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題19、(1)3360元;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算每個農(nóng)戶的平均損失;(2)根據(jù)頻率分布直方圖計算隨機變量X的可能取值,再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)記每個農(nóng)戶的平均損失為元,則;(2)由頻率分布直方圖,可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15(戶),損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50=3(戶),隨機抽取2戶,則X的可能取值為0,1,2;計算P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列為;X012P數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×+1×+2×=.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算問題,屬于中檔題.20、(1)0.0294.(2)應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析【解析】

(1)由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,利用相互獨立事件的概率公式即可得解;(2)分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期

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