武漢理工大學(xué)大學(xué)物理課件第六講

第六講定軸轉(zhuǎn)動中的功和能對定軸的角動量定理角動量守恒定律

外力矩做功一.力矩的功定軸轉(zhuǎn)動的功和能討論：(1)恒力的功：(2)力矩的功率：二.剛體的（轉(zhuǎn)動）動能三.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理設(shè)：剛體的轉(zhuǎn)動慣量不變，且t0時刻的角速度為ω0，

t時刻的角速度為ω

，剛體角速度從ω0增加到ω的整個過程，合外力矩對剛體所作的功:物理含義：合外力矩對剛體所作的功，在數(shù)值上等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。對比:質(zhì)點(diǎn)動能定理：四.剛體的重力勢能四.機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用

一個包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),如果只有保守內(nèi)力作功,則這個系統(tǒng)的機(jī)械能也同樣守恒。

剛體的機(jī)械能為

例1一質(zhì)量為m、長為l的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動。開始時，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成角時的角速度和角加速度。Chco由上得

解棒在轉(zhuǎn)動的過程中，只有保守力(重力)作功，故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢面，于是有零勢面討論：本題也可先由M=J求出，再用=d/dt積分求出。但用機(jī)械能守恒顯然簡單一些。角加速度：Chco物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動中，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的大小等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角速度的乘積。

定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1.用角動量表述的轉(zhuǎn)動定理剛體對定軸的角動量大小剛體對固定軸z的角動量角動量定理理解：(1)物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動中，物體所受對某定軸的外力矩，等于物體對該軸的角動量的時間變化率。(2)（只適用于剛體）（適用于剛體和非剛體）2.角動量定理的微分形式理解：(1)與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的動量定理類似，反映了外力矩的時間累積效應(yīng)。(2)與定義Fdt為元沖量類似，定義Mdt為元角沖量（或元沖量矩）。3.角動量定理的積分形式物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動中，物體（不限于剛體）所受的角沖量，等于物體在同一時間內(nèi)角動量的增量。(1)物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零（注：不一定是外力為零）時，物體對該軸的角動量保持守恒。理解：(2)角動量守恒的充要條件：合力矩為零（適用于質(zhì)點(diǎn)、離散質(zhì)點(diǎn)系、剛體）

(3)

定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律同樣適用于由若干個物體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的角動量守恒定律描述如下：定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律(5)質(zhì)點(diǎn)：動量守恒、角動量守恒、機(jī)械能守恒

角動量守恒、機(jī)械能守恒

，只要整個系統(tǒng)受到的外力矩對該軸的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量保持守恒。

若有幾個物體組成一個系統(tǒng)，各物體對同一軸的角動量分別為(4)對比：系統(tǒng)角動量守恒條件：系統(tǒng)動量守恒條件：動量守恒、剛體：圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動量守恒；動量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動量不守恒；角動量守恒；機(jī)械能守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)四.角動量守恒定律的應(yīng)用（1）選取系統(tǒng)；（2）分析外力矩，明確守恒條件；（3）確定初態(tài)和末態(tài)角動量，正確寫出角動量守恒的表達(dá)式。附：質(zhì)點(diǎn)與剛體發(fā)生碰撞時，若碰撞的相互作用力矩遠(yuǎn)大于合外力矩，也可認(rèn)為該系統(tǒng)的角動量守恒。

解(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：解得

例1長為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動，開始時桿豎直下垂，如圖所示。有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度o射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度。2l/3mvooA2l/3mvooA由此得：(2)桿在轉(zhuǎn)動過程中顯然機(jī)械能守恒：由前

角動量守恒定律應(yīng)用舉例

角動量定恒2.AVI直升飛機(jī)為什么要安裝反向雙旋翼？演示儀為什么在拉線的作用下會轉(zhuǎn)動起來？體操運(yùn)動員的“晚旋”茹科夫斯基凳實(shí)驗(yàn)芭蕾花樣滑冰跳水請看:貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四腳轉(zhuǎn)向地面，當(dāng)它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動量守恒過程。為什么貓從高處落下時總能四腳著地？沿直線平動繞定軸轉(zhuǎn)動沖量動量動量定理動量守恒定律角沖量角動量（動量矩）角動量定理角動量守恒定律力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能動能定理轉(zhuǎn)動動能定理練習(xí)8、剛體轉(zhuǎn)動定律1、解：質(zhì)點(diǎn)B：設(shè)繩的張力為T2，質(zhì)點(diǎn)A：設(shè)繩的張力為T1，則由牛頓定律：m1T1m1ga則水平方向上m2Nm2gT2加速度為a

，滑輪：設(shè)物體A

、B

對系統(tǒng)的反作用力分別為，由轉(zhuǎn)動定律（設(shè)角加速度垂直紙面向下為正）由于繩和滑輪無滑動，則聯(lián)立上述方程，得：由圓盤代入上式得：mmAB2rr2、解：分析受力如圖：mgmgT1T2a2a1設(shè)A

的加速度為a1方向向下；B

的加速度為a2方向向上；滑塊的加速度為β方向垂直紙面向外。質(zhì)點(diǎn)A：質(zhì)點(diǎn)B：兩個圓盤粘在一起，視作一個剛體，其轉(zhuǎn)動慣量為由轉(zhuǎn)動定律列方程：由牛頓第三定律：由角量與線量的關(guān)系：解以上方程組得：練習(xí)9、轉(zhuǎn)動的功與能剛體的角動量彈簧原長1、解：棒