蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事對(duì)七個(gè)千僖

21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題

最近美國(guó)麻州的克雷（Ｃｌａｙ）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬(wàn)美元.以下是這七個(gè)難題的簡(jiǎn)單介紹.

在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì).由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人.你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲.不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的.然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人.生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多.這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子.與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)１３，７１７，４２１可以寫成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的.不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一.它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陳述的.

“千僖難題”之一：Ｐ（多項(xiàng)式算法）問(wèn)題對(duì)ＮＰ（非多項(xiàng)式算法）問(wèn)題

二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法.基本想法是問(wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成.這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展.不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái).在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件.霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來(lái)說(shuō)，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合.

“千僖難題”之二：霍奇(Hodge)猜想如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn).另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的.我們說(shuō)，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是.大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗.

“千僖難題”之三：龐加萊(Poincare)猜想有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等.這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用.在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài).著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上.這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò).證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明.

“千僖難題”之四：黎曼(Riemann)假設(shè)

量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的.大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系.基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波.盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解.特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí).在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念.

“千僖難題”之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行.數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言.雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少.挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘.“千僖難題”之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問(wèn)題著迷.歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難.事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解.當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài).特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn).

“千僖難題”之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

如果你想在一夜之間成為一名腰纏萬(wàn)貫的數(shù)學(xué)天才，現(xiàn)在就有一個(gè)大好機(jī)會(huì).美國(guó)麻薩諸塞州克雷數(shù)學(xué)研究所舉辦“新千年大獎(jiǎng)”，懸賞破解七大難解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題獎(jiǎng)金一題１００萬(wàn)美元！

據(jù)齊魯晚報(bào)報(bào)道，克雷數(shù)學(xué)研究所“新千年大獎(jiǎng)”的靈感來(lái)自于德國(guó)數(shù)學(xué)大師希爾伯特１９００年巴黎國(guó)際會(huì)議上公布的２３道數(shù)學(xué)題目，希爾伯特提出的問(wèn)題１００年來(lái)令數(shù)學(xué)英才絞盡腦汁，其中公認(rèn)是純數(shù)學(xué)中最亟待解的難題為“黎曼的假說(shuō)”.

除了“黎曼的假說(shuō)”之外，克雷數(shù)學(xué)研究所提出的七大數(shù)學(xué)難題還包括華裔物理學(xué)家楊振寧及其美國(guó)同事米爾斯的“楊—米定理”和“彭加萊的猜想”，該研究所舍深?yuàn)W難懂的術(shù)語(yǔ)，而以淺白的解說(shuō)協(xié)助參賽者動(dòng)腦思考，上述問(wèn)題刊登在該研究所網(wǎng)址.

克雷數(shù)學(xué)研究所主任賈菲教授說(shuō)，這項(xiàng)“解題得百萬(wàn)美元”活動(dòng)絕非噱頭，該所懸賞解答的每項(xiàng)問(wèn)題都是多年來(lái)令數(shù)學(xué)家百思不得其解的經(jīng)典難題.

該研究所規(guī)定，參賽者的解答必須刊登在擁有