數(shù)學(xué)：14.1勾股定理(華東師大版八年級(jí)上)

14.1勾股定理教學(xué)目標(biāo)：體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決相關(guān)問(wèn)題；感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值和我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就。問(wèn)題解決問(wèn)題情境

某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米,請(qǐng)問(wèn)消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火?（圖中每一格代表一平方厘米）觀察左圖：（1）正方形P的面積是

平方厘米。（2）正方形Q的面積是

平方厘米。（3）正方形R的面積是

平方厘米。121上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？

活動(dòng)一

Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2這說(shuō)明在等腰直角三角形ABC中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方那么,在一般的直角三角形中,兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?想一想探究活動(dòng)P的面積(單位長(zhǎng)度)Q的面積(單位長(zhǎng)度)R的面積(單位長(zhǎng)度)圖2圖3P、Q、R面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系QPR圖2QPR圖3ABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示1平方厘米)QPR圖1-3QPR圖1-4把R看作是四個(gè)直角三角形的面積+小正方形面積。QPR圖3QPR圖4把R看作是大正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積。S正方形R

分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立。做一做13512ABC概括對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有

a2+b2=c2直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.揭示了直角三角形三條邊的關(guān)系aABCbc幾何語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中∠C=90°（已知）∴a2+b2=c2（勾股定理）勾股定理:∟兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱(chēng)勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955勾股世界國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家多年兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱(chēng)勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。勾股定理史話(huà)

勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，遠(yuǎn)在公元前三千年的巴比倫人就知道和應(yīng)用它了。我國(guó)古代也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，商高（公元前1120年）關(guān)于勾股定理已有明確的認(rèn)識(shí)，《周髀算經(jīng)》中有商高答周公的話(huà)：“勾廣三，股修四，徑隅五?！蓖瑫?shū)中還有另一為學(xué)者陳子（公元前六七世紀(jì)）與榮方的一段對(duì)話(huà)：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪（斜）至日”即邪至日2=勾2+股2

陳子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推廣到一般情形了。人們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷過(guò)一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，很難區(qū)分是誰(shuí)最先發(fā)明的.

勾股定理曾引起很多人的興趣,世界上對(duì)這個(gè)定理的證明方法很多，1940年盧米斯收集了這個(gè)定理的370種證明，期中包括大畫(huà)家達(dá)·芬奇和美國(guó)總統(tǒng)詹姆士·阿·加菲爾德的證法。到目前為止,已有四百多種證法.bac勾股定理的證明(一)abcabcabc最早是由1700多年前三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，他用面積法證明了勾股定理你能用面積法證明勾股定理嗎？“弦圖”bac勾股定理的證明(二)bacbacbac美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話(huà)

人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法。

有趣的總統(tǒng)證法

S梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+abS梯形

=

c2+2·ab=c2+ab

即：在Rt△ABC中，∠C=90°

c2=

a2+b2伽菲爾德證法abcc2=a2+b2a2=c2

－

b2b2

=c2

－a2結(jié)論變形直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

例題1:在直角△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對(duì)邊.(1)若a=3,b=4,求c的長(zhǎng)(2)若a=5,c

=12,求b的長(zhǎng)(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的長(zhǎng)

練習(xí)

(1)在直角△ABC中，∠A=90°a=5，b=4，則求c的值？

(2)在直角△ABC中，∠B=90°，

①a=3，b=4，則求c的值？

②c=24，b=25，則求a的值？

(3)在直角△ABC中，∠c=90°，若a:c=5:13,b=24,求a,c的長(zhǎng)

(3)如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5厘米和12厘米，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少厘米？可要當(dāng)心噢！在直角△ABC中，a=3，b=4，則求c的值？ADBC34

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長(zhǎng).我來(lái)試一試∟求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):8x17125x練一練解：在直角三角形中，依勾股定理可得：

82+X2=172

即：X=√172-82

=15解：在直角三角形中，依勾股定理可得：

52+122=X2

即：X=√52+122

=13課堂練習(xí)求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度。6x25248X例題2:

如圖，將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底端B的距離AB.（精確到0.01米）解在Rt△ABC中∠ABC=90゜,BC=2.16,

CA=5.41,根