第2章 數(shù)學(xué)模型

§2-1概述§2-2傳遞函數(shù)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-4閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖§2-5動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換§2-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)§2-7信號(hào)流圖與梅遜公式第二章：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§

2.1數(shù)學(xué)模型概述

為了從理論上對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算，首先需要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)及動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立，一般采用解析法或?qū)嶒?yàn)法。

解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。本章僅討論解析法，關(guān)于實(shí)驗(yàn)法將在后面的章節(jié)進(jìn)行介紹。2.1.1線性系統(tǒng)的微分方程模型

很多常見的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個(gè)微分方程表示。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù),又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。

如圖機(jī)械系統(tǒng)，由牛頓定理得到以下關(guān)系：如圖RLC網(wǎng)絡(luò)，由電路定律可得:

不同的物理系統(tǒng)可能得到相似的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如果它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)和初始條件相同，則它們的解將完全相同。這樣就可以撇開系統(tǒng)的具體物理屬性，研究這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程的共同規(guī)律。

有了數(shù)學(xué)表達(dá)式，就可從理論上進(jìn)行普遍意義上的分析。

機(jī)械系統(tǒng)中，設(shè)外力F＝1，質(zhì)量m＝2，彈性系數(shù)k＝1，若阻尼系數(shù)較?。?，則發(fā)生震蕩，若阻尼系數(shù)較大＝10，不會(huì)產(chǎn)生震蕩。但無論阻尼大小如何，最終物體將下降一個(gè)單位長(zhǎng)度，新增的彈力正好和外力相抵，系統(tǒng)進(jìn)入一個(gè)新的平衡點(diǎn)。

總之，建立合理的數(shù)學(xué)模型，是至關(guān)重要的問題。許多系統(tǒng)，事件及項(xiàng)目就是因?yàn)闊o法建立合理的數(shù)學(xué)模型而不能加以預(yù)測(cè)和控制。2.1.2列寫微分方程的一般方法用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是：

1．根據(jù)實(shí)際工作情況，將系統(tǒng)劃分為多個(gè)獨(dú)立的環(huán)節(jié)，標(biāo)出各環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量。各環(huán)節(jié)之間無負(fù)載效應(yīng)。

2．從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理定律，列寫的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組。

3．消去中間變量，寫出系統(tǒng)輸入、輸出變量的微分方程。

4．標(biāo)準(zhǔn)化。即將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪排列。最后將系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式。

例2.1列寫如圖所示RC濾波電路的微分方程。（假設(shè)電路的輸入電源的內(nèi)阻為零，輸出接的負(fù)載具有無限大阻抗）

解

根據(jù)基爾霍夫定律得：消除中間變量，得到濾波網(wǎng)絡(luò)的微分方程式為：若撇開具體系統(tǒng)的物理屬性，令r(t)為輸入，c(t)為輸出。線性n階系統(tǒng)的輸入輸出微分方程式的一般表達(dá)式可寫為

式中均為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常系數(shù)，且有n≥m。令則上式可改寫為：2.1.3

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，常常遇到非線性的問題。嚴(yán)格地講，實(shí)際的物理系統(tǒng)都包含著不同程度的非線性因素。但是，許多非線性系統(tǒng)在一定的條件下可以近似地視作線性系統(tǒng)。若控制系統(tǒng)在工作點(diǎn)的附近微小運(yùn)動(dòng)，則可將非線性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并忽略級(jí)數(shù)展開式中的高次項(xiàng)，從而得到只含一次項(xiàng)的線性化方程。即用工作點(diǎn)的切線代替非線性曲線。

對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，假設(shè)其輸入量為r，輸出量為c，并設(shè)在給定工作點(diǎn)處c0=f(r

0)，各階導(dǎo)數(shù)均存在，則可在的鄰域展開泰勒級(jí)數(shù)，即當(dāng)(r－r0)，很小時(shí)，可以忽略上式中二階以上各項(xiàng)，得

或

在處理非線性問題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1．線性化是在輸入、輸出量圍繞平衡點(diǎn)作小范圍變化的假設(shè)下進(jìn)行的。一般取零誤差狀態(tài)作為平衡工作狀態(tài)。2．線性化以切線代替曲線，是一種近似處理。系統(tǒng)的實(shí)際變化量如果很大，則采用小偏差線性模型將會(huì)帶來較大的計(jì)算誤差。3.對(duì)于某些嚴(yán)重的典型非線性，不能進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，因此原則上不能用小偏差法進(jìn)行線性化

例2.2

圖示為一個(gè)單擺系統(tǒng),輸入量M為零(不加外力矩),輸出量為擺幅θ(t)。擺錘的質(zhì)量為m,擺桿長(zhǎng)度為l,空氣阻尼系數(shù)為μ,重力加速度為g。試建立系統(tǒng)的近似線性運(yùn)動(dòng)方程。

解對(duì)于圖示的單擺系統(tǒng),根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以直接推出如下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程:

顯然方程是一個(gè)二階的非線性微分方程(因?yàn)楹衧inθ),但是在擺幅較小的情況下,將其線性化處理：令非線性函數(shù)sin(θ)=f，則工作點(diǎn)在θ0=0，f0=0。線性化：即單擺系統(tǒng)的近似線性化動(dòng)態(tài)方程為：§

2.2傳

遞

函

數(shù)

2.2.1拉氏變換

1.拉氏變換的定義將時(shí)間函數(shù)f(t)乘上指數(shù)函數(shù)e-st(其中s=σ+jω是一個(gè)復(fù)數(shù)),并且在［0,+∞］上對(duì)t積分,稱為f(t)的拉氏變換,并用L[f(t)］表示。

拉氏變換將原來的時(shí)間函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù)F(s)。

通常將F(s)稱作f(t)的象函數(shù),將f(t)稱作F(s)的原函數(shù)。

傳遞函數(shù)是對(duì)微分方程取拉氏變換后推導(dǎo)出來的概念。2.拉氏變換的計(jì)算根據(jù)定義積分計(jì)算，各典型函數(shù)的拉氏變換見下表。2)MATLAB計(jì)算

symsst;Ft=1-sin(t)Fs=laplace(Ft,t,s)

執(zhí)行結(jié)果：Fs=1/s-1/(s^2+1)3.拉氏反變換已知時(shí)間函數(shù)的象函數(shù)通過拉氏反變換求出其時(shí)間函數(shù)：1)部分分式法將F(s)展開成多個(gè)典型函數(shù)的象函數(shù)之代數(shù)和，查表。例2.3F(s)含單極點(diǎn)和重極點(diǎn)時(shí)的拉氏反變換。解:2)MATLAB拉氏反變換指令：ilaplace(Fs,s,t)例2.3的MATLAB求解程序：symss,t;ilaplace(1/[s*(s+3)*(s+1)^2])計(jì)算結(jié)果與手算結(jié)果完全一樣。例2.4F(s)含有共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí)的反變換。解：用MATLAB求解：symsst;ft=ilaplace((s+1)/[s*(s^2+s+1)]);pretty(ft)%將符號(hào)表達(dá)式寫成易讀形式與手算結(jié)果一樣4.拉氏變換的基本定理1)線性定理兩個(gè)函數(shù)和的拉氏變換,等于每個(gè)函數(shù)拉氏變換的和,即

函數(shù)放大k倍的拉氏變換等于該函數(shù)拉氏變換的k倍,即

2)微分定理成立,則有

如果初始條件3)終值定理函數(shù)f(t)在t→+∞時(shí)的函數(shù)值(即穩(wěn)定值)可以通過f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→0時(shí)的極限而得到,即

總結(jié)：微分方程通過拉氏變換變成代數(shù)方程，解代數(shù)方程可求出輸出的象函數(shù)，對(duì)象函數(shù)取拉反變換，可求出微分方程的解。2.2.2傳遞函數(shù)的定義和特點(diǎn)

1.傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為零初始條件下,系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)輸入量為r(t)；輸出量為c(t)

，定義傳遞函數(shù)為：

一般線性定常系統(tǒng)由下面的n階線性常微分方程描述:

如果r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，則根據(jù)拉氏變換的定義和性質(zhì),對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換,可得

由傳遞函數(shù)的定義可得系統(tǒng)的多項(xiàng)式形式的傳遞函數(shù)為

用MATLAB指令：

Gs=tf([b0，b1，……，bm]，[a0，a1，……，an])或者

s=tf(‘s’)；Gs=關(guān)于s的多項(xiàng)式構(gòu)造多項(xiàng)式形式的傳遞函數(shù)后，可以用MATLAB的各種控制系統(tǒng)指令分析系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分別稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),K1稱為傳遞函數(shù)的增益或根軌跡增益。τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù),K為系統(tǒng)的放大倍數(shù)。

用MATLAB指令：

Gs=zpk([z0，z1，……，zm]，[p0，p1，……，pn]，K)或者

s=tf(‘s’)；Gs=關(guān)于s的因式可構(gòu)造零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的參數(shù)形式

使用Gtf=tf(Gzpk)或者Gzpk＝zpk(Gtf)

可實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)在零極點(diǎn)形式和多項(xiàng)式形式之間的互換。即可將傳遞函數(shù)進(jìn)行展開和因式分解。例2.4

求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式。解G=tf([26,4],[1,14,63,90]);

F=zpk(G)

執(zhí)行結(jié)果：Zero/pole/gain:2(s+2)(s+1)-------------------------(s+6)(s+5)(s+3)

2.傳遞函數(shù)的特點(diǎn)

(1)傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng),傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)系數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))完全取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu),因此,它是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型,而與輸入信號(hào)的具體形式和大小無關(guān),也不反映系統(tǒng)的任何內(nèi)部信息。同一個(gè)系統(tǒng)若選擇不同的量作為輸入量和輸出量,所得到的傳遞函數(shù)可能不同。所以談到傳遞函數(shù),必須指明輸入量和輸出量。

已知傳遞函數(shù)，可求任意輸入R(s)下的輸出C(s)：(2)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的。但是，對(duì)輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的情況同樣適用。

(3)對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)和元件而言,傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式的階次總是小于分母多項(xiàng)式的階次,即m＜n。它反映了一個(gè)基本事實(shí):一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不可能立即復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào),只有經(jīng)過一段時(shí)間后,輸出量才能達(dá)到輸入量所要求的數(shù)值。(4)傳遞函數(shù)與線性常微分方程一一對(duì)應(yīng)。將傳遞函數(shù)展開并取拉氏反變換可得到微分方程。例如,由傳遞函數(shù)

可得s的代數(shù)方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)對(duì)方程兩端取拉氏反變換，

便得到相應(yīng)的微分方程

(5)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。另一方面,研究某一種傳遞函數(shù)所得到的結(jié)論,可以適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng),這就極大地提高了控制工作者的效率。

§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

在傳遞函數(shù)中，可以分解出基本單元，控制系統(tǒng)也是由典型環(huán)節(jié)組成，一般可分為比例、慣性、積分、一階微分、二階振蕩、時(shí)滯共七種。

(1)比例環(huán)節(jié)輸入、輸出關(guān)系及傳遞函數(shù)為

式中K為增益。特點(diǎn):輸入輸出量成比例,無失真和時(shí)間延遲。實(shí)例:電子放大器,齒輪,電阻(電位器),感應(yīng)式變送器等。

例2.5

求運(yùn)算放大器組成的比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

解運(yùn)算放大器是控制系統(tǒng)中最常用的器件。分析要點(diǎn)：①運(yùn)算放大器的開環(huán)放大倍數(shù)K為無限大。②輸入電阻為無限大，輸出電阻為零。③輸入端電壓、電流均為零。如圖有下列關(guān)系式：

在應(yīng)用運(yùn)算放大器時(shí)，往往是利用反相端輸入的，因此輸出、輸入電壓的相位相反，傳遞函數(shù)出現(xiàn)了負(fù)號(hào)。為了方便，可以暫不考慮符號(hào)。

(2)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)具有下列特性：當(dāng)輸入階躍變化時(shí)，輸出不能立即按比例復(fù)現(xiàn)輸入，而是按指數(shù)曲線規(guī)律變化,經(jīng)過一段時(shí)間以后才能復(fù)現(xiàn)輸入。

例2.6圖示RC線性電路，各元件特性為：

設(shè)電容電壓的初始值為0，對(duì)以上兩式取拉氏變換，得在復(fù)數(shù)域內(nèi)電阻、電容均滿足歐姆定理：U=ZI，因此，RC網(wǎng)絡(luò)可看成直流電路網(wǎng)絡(luò)，用直流電路分析方法分析。其中，ZR=R——阻抗

ZC=1/cs——容抗對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)電路如圖，由直流電路的分壓公式，得

由此可得RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

令輸入電壓ur=1V，Ur(s)=1/s，輸出電壓象函數(shù)為

輸出電壓時(shí)間函數(shù)為

取T=RC=2s和4s，繪出輸出電壓的響應(yīng)曲線如圖，輸出是按指數(shù)曲線增長(zhǎng)的，初始上升率在數(shù)值上等于時(shí)間常數(shù)T的倒數(shù)，輸出經(jīng)3T的時(shí)間后到達(dá)穩(wěn)定值的95％，所以，網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為時(shí)間常數(shù)T是慣性環(huán)節(jié)的重要參數(shù)，T越大，慣性越大，輸出上升越緩慢。

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)具有下列特性；輸出等于輸入的積分。令r(t)為輸入，c(t)為輸出，積分時(shí)間常數(shù)為T。則積分環(huán)節(jié)有下列關(guān)系式

在零初始條件時(shí)，對(duì)上式取拉氏變換T=1,則G(S)=1/s，稱為純積分環(huán)節(jié)。

例2.6圖示為積分運(yùn)算放大器。設(shè)輸出電壓為ur和輸入電壓為uc，由復(fù)數(shù)阻抗可得下列關(guān)系式;顯然為積分環(huán)節(jié)，積分時(shí)間常數(shù)T=R0C積分環(huán)節(jié)的單位階躍輸入響應(yīng)曲線如圖，運(yùn)放的限幅電路使輸出不會(huì)無窮大。(4)微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的特性；輸出等于輸入的微分，即輸出與輸入的變化速度成正比。令微分時(shí)間常數(shù)為τ。則微分環(huán)節(jié)有下列關(guān)系式

若輸入量為單位階躍函數(shù)，即r(t)=1(t)，則輸出的單位階躍響應(yīng)為在零初始條件時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換后得傳遞函數(shù)為

這是一個(gè)面積為τ的脈沖，脈沖寬為零；幅值為無窮大。理想微分環(huán)節(jié)在實(shí)際中是得不到的。下面看幾種實(shí)際微分環(huán)節(jié)的例子。

例2.7圖示為一電感元件，若以電流i為輸入量，電壓u為輸出量，則對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得Ls

稱為感抗。電感元件可以看作一個(gè)微分環(huán)節(jié)。且形式上滿足歐姆定理。在零初始條件的電路網(wǎng)絡(luò)中R、L、C用復(fù)數(shù)阻抗形式表示后，可使用直流電路的分析方法。

例2.8圖示的近似微分電路的傳遞函數(shù)為式中當(dāng)τ＜＜1時(shí)，才能近似地得到τ=0.01s時(shí)單位階躍響應(yīng)曲線如圖一階微分環(huán)節(jié)也不是純微分環(huán)節(jié)，一階微分環(huán)節(jié)的輸出不僅與輸入量的變化率有關(guān)，而且還和輸入量的大小有關(guān)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得由此可知一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

一階微分環(huán)節(jié)方框圖和單位階躍響應(yīng)曲線如圖。

例2.9

求圖示運(yùn)算放大器路的傳遞函數(shù)解

聯(lián)解上列各式得電路的傳遞函數(shù)為式中τ=R0C,是一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。

(5)二階振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)輸出與輸出量的一階微分、二階微分、輸出量本身及輸入量均有關(guān)，多數(shù)情況下輸出會(huì)出現(xiàn)振蕩。其微分方程如下零初始條件時(shí)，對(duì)上求拉氏變換得或?qū)懽?/p>

式中——阻尼系數(shù)

——自然振蕩角頻率G=tf(3,[113]),step(G)

(6)時(shí)遲環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)的特點(diǎn)：輸出信號(hào)比輸入信號(hào)遲后一定時(shí)間。其表達(dá)式為

式中τ——遲后時(shí)間對(duì)上式求拉氏變換，可得由此可知遲后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為傳輸延遲的兩個(gè)例子如圖MATLAB遲后環(huán)節(jié)的加入用指令：

Gputd=T%T遲后時(shí)間例如的單位階躍響應(yīng)為

Gs=tf(1);Gs.inputd=0.5

執(zhí)行后得：Gs=exp(-0.5s)

step(Gs)%繪出Gs的單位階躍響應(yīng)曲線與圖2-27一樣。

系統(tǒng)中有遲后環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)變?yōu)槌椒匠?，給以后系統(tǒng)分析帶來不便，故把遲后環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)展開成級(jí)數(shù)如下

若遲后時(shí)間τ足夠小，則可忽略上式中τ的高次項(xiàng)，遲后環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)可近似為

上式說明，小時(shí)間遲后環(huán)節(jié)可近似為一個(gè)小慣性環(huán)節(jié)，且慣性時(shí)間常數(shù)等于遲后時(shí)間?！?-4閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（簡(jiǎn)稱方框圖）是系統(tǒng)模型的圖形表達(dá)方式，直觀地顯示了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及各環(huán)節(jié)之間的關(guān)系。2.4.1結(jié)構(gòu)圖的組成與繪制

1.結(jié)構(gòu)圖的組成

(1)方框——代表一個(gè)元件，元件的傳遞函數(shù)放在方框內(nèi),方框外面帶箭頭的線段表示輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，信號(hào)只能沿箭頭方向傳遞。

(2)分支點(diǎn)——信號(hào)分成多路的點(diǎn)。需要注意的是,無論一個(gè)分支點(diǎn)引出多少條信號(hào)流線,它們都是原始大小的信號(hào)。

(3)匯合點(diǎn)——兩個(gè)以上信號(hào)的代數(shù)和運(yùn)算，箭頭附近的＋、－號(hào)表示信號(hào)是相加還是相減。

2.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制

(1)根據(jù)系統(tǒng)的原理框圖，將系統(tǒng)劃分為多個(gè)獨(dú)立環(huán)節(jié)。確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量和中間變量（環(huán)節(jié)的輸入、輸出量）。

(2)求各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，寫出每個(gè)環(huán)節(jié)輸出的象函數(shù)。

(3)根據(jù)每個(gè)環(huán)節(jié)的輸入、輸出關(guān)系將各個(gè)環(huán)節(jié)連接起來。就得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，

例2.10

圖RC網(wǎng)絡(luò)中,電壓u1(t)、u2(t)分別為輸入量和輸出量,繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

解將RC看成環(huán)節(jié)，確定RC的輸入、輸出量，求出RC的傳遞函數(shù)（即復(fù)數(shù)阻抗），如圖（b）所示。2.4.2閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

一個(gè)閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)通常用圖示的結(jié)構(gòu)圖來表示。

輸出量C(s)反饋到相加點(diǎn),并且在相加點(diǎn)與參考輸入量R(s)進(jìn)行比較。

圖中各信號(hào)之間的關(guān)系為

C(s)=G1(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)

B(s)=H(s)C(s)式中E(s)和B(s)分別為偏差信號(hào)和反饋信號(hào)的拉氏變換,H(s)為反饋通道傳遞函數(shù)。反饋信號(hào)B(s)=H(s)C(s)。

反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比,叫做開環(huán)傳遞函數(shù),即

輸出量C(s)和偏差信號(hào)E(s)之比,叫做前向通道傳遞函數(shù),即

如果反饋傳遞函數(shù)等于1,那么開環(huán)傳遞函數(shù)和前向傳遞函數(shù)相同,并稱這時(shí)的閉環(huán)反饋系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。從圖2-9可以推出系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的關(guān)系,具體推導(dǎo)如下:

C(s)=G1(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G1(s)[R(s)-H(s)C(s)]

所以有

上式就是系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的傳遞函數(shù),稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。已知閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量的拉氏變換，可得系統(tǒng)輸出的拉氏變換C(s)：

可見,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量。

2.4.3擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

實(shí)際的系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)受到外界擾動(dòng)的干擾,通常擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖。系統(tǒng)存在兩個(gè)輸入量,即參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)。

擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

返回

由于線性系統(tǒng)滿足疊加原理,可以先對(duì)每一個(gè)輸入量單獨(dú)地進(jìn)行處理,然后將每個(gè)輸入量單獨(dú)作用時(shí)的輸出量進(jìn)行疊加,就可得到系統(tǒng)的總輸出量。研究擾動(dòng)量N(s)對(duì)系統(tǒng)的影響時(shí),可以假設(shè)參考輸入信號(hào)R(s)=0,經(jīng)過簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得出系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的響應(yīng)CN(s)為

所以,系統(tǒng)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)GN(s)=CN(s)/N(s)為

圖

同樣在分析系統(tǒng)對(duì)參考輸入的響應(yīng)時(shí),可以假設(shè)擾動(dòng)量N(s)=0,這時(shí)系統(tǒng)對(duì)參考輸入量R(s)的響應(yīng)CR(s)為

所以,系統(tǒng)輸出對(duì)參考輸入的傳遞函數(shù)G(s)=CR(s)/R(s)為

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知,參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)(總輸出)C(s)為

圖§2-5動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

利用結(jié)構(gòu)圖分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí),常常要對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡(jiǎn)化和變換?；驹瓌t是相關(guān)聯(lián)的輸出不變。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化

幾個(gè)環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖首尾連接,稱這種結(jié)構(gòu)為串聯(lián)環(huán)節(jié)。消去中間變量X1(s)和X2(s)得輸出X3為由圖（b)得輸出X3為由圖（a)得圖（b)是圖（a)的等效變換。

結(jié)論：n個(gè)環(huán)節(jié)(每個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gi(s),i=1,2,…,n)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于n個(gè)傳遞函數(shù)相乘。

G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)MATLAB指令：series(G1,G2)%一次只能兩個(gè)串聯(lián)或者G1*G2*…注意：直接用傳遞函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算結(jié)果有時(shí)不是最簡(jiǎn)式，可用zpk(.)轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)形式，再手工去掉偶極子。由圖（a)消去中間變量X1(s)、X2(s)和X3(s)得輸出X4為2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化

兩個(gè)或多個(gè)環(huán)節(jié)具有同一個(gè)輸入信號(hào),而以各自環(huán)節(jié)輸出信號(hào)的代數(shù)和作為總的輸出信號(hào),這種結(jié)構(gòu)稱為并聯(lián)環(huán)節(jié)。結(jié)論：n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相加減。MATLAB求傳遞函數(shù)的并聯(lián)指令：parallel(G1,G2)%一次只能兩個(gè)并聯(lián)或者G1+G2+…..由圖（b)

得輸出X4和上式完全一樣，所以，圖（b）是圖（a)的等效變換，即圖（a）的等效傳遞函數(shù)為3.反饋回路的簡(jiǎn)化圖示為一個(gè)基本的反饋回路。閉環(huán)傳遞函數(shù)為

例2.11

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，求閉環(huán)傳遞函數(shù)。解代入公式，化簡(jiǎn)得用MATLAB求解：G1=tf([1],[124]);H=tf(1,[11]);G=feedback(G1,H)%求負(fù)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)結(jié)果與手算結(jié)果相同。其中：feedback(G,H,sing)是求閉環(huán)傳遞函數(shù)指令，sing取－1或者缺省為負(fù)反饋，sing取1是正反饋。按公式用MATLAB計(jì)算：G=G1/(1+G1*H)ransferfunction:s^3+3s^2+6s+4------------------------------------------------------------s^5+5s^4+16s^3+29s^2+34s+20上式G不是最簡(jiǎn)式，可用zpk(G)將G轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)形式再消去偶極子，得到最簡(jiǎn)式：Zero/pole/gain:(s+1)(s^2+2s+4)-----------------------------------------------------------------(s+1.322)(s^2+2s+4)(s^2+1.678s+3.782)消去偶極子重新輸入：

s=tf(‘s’);G=

(s+1)

/[(s+1.322)*(s^2+1.678*s+3.782)]可得到與手算結(jié)果一樣的結(jié)果。

4.相加點(diǎn)的移動(dòng)

5.分支點(diǎn)的移動(dòng)6.相加點(diǎn)的換位

D=A±B±C=A±C±B

結(jié)論：相鄰相加點(diǎn)之間可以交換位置。并且,這個(gè)結(jié)論對(duì)于多個(gè)相鄰的相加點(diǎn)也適用。

圖（a）、圖（b）的輸出D均為

7.分支點(diǎn)的換位從一個(gè)信號(hào)流線上無論分出多少條信號(hào)線,它們都代表同一個(gè)信號(hào)。所以相鄰分支點(diǎn)之間可以隨意改變位置。圖

2-19相鄰分支點(diǎn)的移動(dòng)

特別注意：匯合點(diǎn)和分支點(diǎn)無論如何都不能交換位置。

例2.11試簡(jiǎn)化圖示結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解在圖中，如果不移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)的位置就無法化簡(jiǎn)。①將G3(s)和G4(s)之間的分支點(diǎn)移到G4(s)方框的輸出端(注意不宜前移）②反復(fù)使用反饋回路簡(jiǎn)化和串聯(lián)方框化簡(jiǎn)，可化簡(jiǎn)成下圖：等效傳遞函數(shù)如下：

例2.12系統(tǒng)方框圖如圖所示，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解將左邊的相加點(diǎn)后移至另一個(gè)相加點(diǎn)并與之換位。方框圖變成并聯(lián)方框和反饋方框的串聯(lián)。注意：經(jīng)過兩個(gè)負(fù)號(hào)，反饋方框?yàn)檎答仭！?-6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)(子系統(tǒng))的結(jié)構(gòu)圖和信息流向,可建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量后,經(jīng)過對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化和運(yùn)算,就能求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

最后的傳遞函數(shù)為

下面舉例說明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù)的求取方法。

例2.13

求晶閘管——電動(dòng)機(jī)閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解他激直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)比較復(fù)雜，先求出來，根據(jù)電機(jī)學(xué)的知識(shí)，繪出直流電動(dòng)機(jī)的原理圖。設(shè)電樞電壓ud為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速n為輸出量，Rd為電樞回路總電阻，Ld電樞回路總電感，ML為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。ed為感應(yīng)電勢(shì)。

由ud

、Rd、Ld、ed

組成一個(gè)電樞電路如圖，感應(yīng)電勢(shì)ed

與轉(zhuǎn)速n

成正比，因此可得下列方程

再由轉(zhuǎn)矩平衡方程式及電動(dòng)轉(zhuǎn)矩M與電樞電流Id成正比，可得

對(duì)以上兩式進(jìn)行拉氏變換得根據(jù)各變量的關(guān)系把各環(huán)節(jié)連接起來，得到電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖。該例中各物理量的單位為：飛輪矩：N.m2

，轉(zhuǎn)矩：N.m，轉(zhuǎn)速：r/min，時(shí)間：s

再考察調(diào)速系統(tǒng)的其它環(huán)節(jié)，得到如下關(guān)系：式中Ks——晶閘管整流裝置的等效放大系數(shù)；

Kp——控制器的比例控制系數(shù)；

α——速度反饋系數(shù)。結(jié)合電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，可繪出晶閘管——電動(dòng)機(jī)閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下：對(duì)以上關(guān)系式取拉氏變換，得：令負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML(s)＝0，化簡(jiǎn)電動(dòng)機(jī)的方框圖，得到電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)式中——電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)

——電動(dòng)機(jī)電磁時(shí)間常數(shù)化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)速反饋環(huán)，可得系統(tǒng)對(duì)于給定信號(hào)的傳遞函數(shù)為式中

在給定電壓Ug(s)單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)速Ng(s)為

在負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML(s)單獨(dú)作用時(shí)，令給定電壓Ug(s)

＝0。把ML(s)的加入點(diǎn)向前移動(dòng)，系統(tǒng)方框圖變成一個(gè)電動(dòng)機(jī)方框外面又包圍一個(gè)反饋方框，然后和一個(gè)方框串聯(lián)的形式?；?jiǎn)如下：

最后，系統(tǒng)對(duì)于負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML(s)的傳遞函數(shù)為在負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML(s)單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)速Nm(s)為系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)速N(s)為

§2-7信號(hào)流圖與梅遜公式信號(hào)流圖的基本性質(zhì)：

1)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號(hào)的代數(shù)和，用“O”表示；

2)信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞；

3)支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變成另一信號(hào)；

4)對(duì)一個(gè)給定系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的。

信號(hào)流圖:

由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。信號(hào)流圖中常用的名詞術(shù)語：輸入節(jié)點(diǎn)：在源節(jié)點(diǎn)上，只有信號(hào)輸出支路而沒有信號(hào)輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。

1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1輸出節(jié)點(diǎn)：在輸出節(jié)點(diǎn)上，只有信號(hào)輸入的支路而沒有信號(hào)輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量。1

信號(hào)流圖中沒有輸出節(jié)點(diǎn)時(shí)，可定義任一變量為輸出量,然后從該節(jié)點(diǎn)引出一條增益為1的支路,即可形成一輸出節(jié)點(diǎn)。

混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。注意：混和節(jié)點(diǎn)是先進(jìn)后出，故先分支，后匯合的兩個(gè)點(diǎn)不能用一個(gè)混和節(jié)點(diǎn)代替。

前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益。

回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號(hào)通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益。

不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。2.7.1信號(hào)流圖的繪制

1.由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到S的代數(shù)方程；

2）每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)；

3）將方程按照變量的因果關(guān)系排列；

4）連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s