數(shù)值分析第六章函數(shù)逼近

第六章函數(shù)逼近§1數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法§3函數(shù)的最佳平方逼近§2正交多項式1Lagrange插值與最小二乘逼近的圖像描述2

方法1:用3次Lagrange插值多項式近似x,y的函數(shù)關(guān)系.為什么要用最小二乘逼近.xiyi24681.12.84.97.2例給定一組實驗數(shù)據(jù)如下求x,y的函數(shù)關(guān)系.方法2:用直線來近似x,y的函數(shù)關(guān)系.3用直線y=a0+a1x來反映x,y之間的函數(shù)關(guān)系.如何選取a0,a1?才能使直線最好地反映數(shù)據(jù)點的基本趨勢?殘差向量殘差4衡量近似函數(shù)好壞的標(biāo)準(zhǔn)：殘差向量的大小(1)使殘差的絕對值之和最小,即(2)使殘差的最大絕對值最小,即(3)使殘差的平方和最小,即最佳平方逼近或數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法最佳一致逼近5問題:給定n個數(shù)據(jù)點(xi,yi

)(i=1,2,…,n)求直線y=a0+a1x

使得達(dá)到最小.

最小二乘一次多項式擬合§1數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法6

令則原問題等價于求a0,a1使F(a0,a1)達(dá)到最小.利用多元函數(shù)取極值的必要條件得正則方程組7由上式求得a0,a1,代入y=a0+a1x得到最小二乘擬合(直線)一次多項式.8xiyi24681.12.84.97.2例給定一組實驗數(shù)據(jù)如下求x,y的函數(shù)關(guān)系.解正則方程組9直線擬合誤差很大拋物線擬合效果更好10問題:給定n個數(shù)據(jù)點(xi

,yi

)(i=1,2,…,n)求使得達(dá)到最小.最小二乘二次多項式擬合11

令則原問題等價于求a0,a1,

a2,使F(a0,a1,

a2)達(dá)到最小.利用多元函數(shù)取極值的必要條件得12用

Cholesky分解法求此對稱正定陣用

MATLAB函數(shù)

z=A\r由上式求得a0,a1,a2,得到最小二乘擬合二次多項式正則方程組13

最小二乘三次多項式擬合正則方程組14

最小二乘m次多項式擬合(m<n)正則方程組15指數(shù)擬合如果數(shù)據(jù)點(xi,yi

)(i=1,2,…,n)的分布近似指數(shù)曲線,則可考慮用指數(shù)函數(shù)去擬合數(shù)據(jù).但是這是一個關(guān)于a,b的非線性模型,故應(yīng)通過適當(dāng)變換,將其化為線性模型,然后利用最小二乘法求解.為此,對指數(shù)函數(shù)兩端取對數(shù),得16則數(shù)據(jù)組(xi

,yi

)(i=1,2,…,n)的最小二乘擬合指數(shù)曲線為這表明(xi

,lnyi

)(i=1,2,…,n)的分布近似于直線,求出此數(shù)據(jù)組的最小二乘擬合直線17xiyi例給定一組實驗數(shù)據(jù)如下求x,y的函數(shù)關(guān)系.12346782367532(1)作散點分布圖點的分布近似為拋物線18(2)確定近似表達(dá)式設(shè)擬合曲線為二次多項式(3)建立正則方程組19故正則方程組為(4)求解正則方程組得故所求擬合曲線為20xiyi例給定一組實驗數(shù)據(jù)如下求x,y的函數(shù)關(guān)系.12346782367532Matlab解法:

polyfit([1,2,3,4,6,7,8],[2,3,6,7,5,3,2],2)ans=-0.38643.4318-1.318221例測得一發(fā)射源的發(fā)射強(qiáng)度I與時間t的一組數(shù)據(jù)如下tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56試用最小二乘法確定I與t的函數(shù)關(guān)系.(1)作散點分布圖可以考慮用指數(shù)函數(shù)近似22列數(shù)據(jù)表tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56lnIi1.15060.86710.55960.292700.3011

0.5798求lnI與t的最小二乘直線.將上表數(shù)據(jù)代入正則方程組得其解為故所求擬合曲線為Matlab解法:polyfit([0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],…[1.1506,0.8671,0.5596,0.2927,0,-0.3011,-0.5798],1)ans=-2.88831.728323求數(shù)據(jù)組的最小二乘擬合函數(shù)的步驟(1)由給定數(shù)據(jù)確定近似函數(shù)的表達(dá)式,一般可通過描點觀察或經(jīng)驗估計得到(2)按最小二乘原則確定表達(dá)式中的參數(shù),即由殘差平方和最小導(dǎo)出正則方程組,求解得參數(shù).24實際問題中,由于各點的觀測數(shù)據(jù)精度或重要性不同,常常引入加權(quán)方差,即確定參數(shù)的準(zhǔn)則為:使得最小,其中i(i=1,2,…,n)為加權(quán)系數(shù).25函數(shù)內(nèi)積設(shè)f(x),g(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),定義f

與g

的內(nèi)積為:§2正交多項式26函數(shù)正交設(shè)f(x),g(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),若f

與g

的內(nèi)積為0,則稱f

與g在區(qū)間[a,b]上正交.27正交函數(shù)系則稱此函數(shù)系為區(qū)間[a,b]上的正交函數(shù)系.特別地,若k=1(k=0,1,2,…),則稱其為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系28如果正交函數(shù)系中函數(shù)均為代數(shù)多項式,則稱其為正交多項式系.正交多項式系例如三角函數(shù)系就是區(qū)間[－,]上的正交函數(shù)系.29區(qū)間[－1,1]上的正交多項式系(Legendre多項式)一般表達(dá)式具體表達(dá)式30

Legendre多項式的性質(zhì)(2)Legendre多項式滿足遞推公式31任意區(qū)間上的正交多項式系當(dāng)x在區(qū)間[a,b]上變化時,令對應(yīng)的t在[－1,1]上變化,則是區(qū)間[a,b]上的正交多項式系.32[0,1]區(qū)間上的正交多項式系33最小平方線性多項式逼近§3函數(shù)的最佳平方逼近設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),求線性多項式函數(shù)(x)=a0+a1x使得,(x)稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一次最佳平方逼近多項式.即求a0,a1使得34解法由題意可知,求f(x)的一次最佳平方多項式等價于求二元函數(shù)F的最小值.由得35化簡得或者正則方程組36例求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式解正則方程組為f(x)的一次最佳平方逼近多項式為37二次最佳平方逼近多項式設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),求二次多項式函數(shù)(x)=a0+a1x+a2x2

使得,(x)稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的二次最佳平方逼近多項式.38解法由題意可知,求f(x)的二次最佳平方多項式等價于求三元函數(shù)F的最小值由得39化簡得或者正則方程組40

m次最佳平方逼近多項式