第7章 梁的彎曲變形(機械類)

材料力學戴宏亮編著湖南大學機械與運載工程學院工程力學系第七章

梁的彎曲變形第七章梁的彎曲變形§5.1梁彎曲變形的概念§5.2撓曲線微分方程和剛度條件§5.3積分法求彎曲變形本章小結§5.5簡單超靜定梁§5.6提高梁抗彎剛度的措施§5.4疊加法求彎曲變形7-1§7.1梁彎曲變形的概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓曲線撓度轉角撓度w：截面形心在y方向的位移。符號：與y軸正方向相同為正。轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。符號：與y軸正方向相同為正。2.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移用

w

表示，與坐標y

同向為正，反之為負。3.轉角：橫截面繞其中性軸轉動的角度，用

表示逆時針轉動為正，反之為負。

1.撓曲線：梁變形后，軸線變成的光滑曲線撓曲線撓度轉角7-2§7.2

撓曲線微分方程和剛度條件1.梁的撓曲線近似微分方程純彎曲時，得到：MM橫力彎曲時,忽略剪力對變形的影響由數(shù)學知識可知：略去高階小量，得所以

由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：2.梁彎曲的剛度條件

工程中根據(jù)不同的需要，常限制梁的最大撓度和最大轉角使其不超過某一規(guī)定數(shù)值。建筑鋼梁的許可撓度：機械傳動軸的許可轉角：精密機床的許可轉角：撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：§7.3

積分法求彎曲變形

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形例題

求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF例題

求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：解3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：6）確定最大轉角和最大撓度令

得，令得，積分法求梁的變形關鍵點：①分段列彎距方程②尋找邊界條件分段AB、BC、CD三段，六個積分常數(shù)邊界條件PDABC邊界條件：分段原則：集中力、集中力偶作用點，分布力的起、終點，梁的自然端點為分段點。邊界條件：支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個邊界條件。ABC

根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉角不超過許用數(shù)值。B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為：

解例題

已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉角θ=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：例題

已知：q=10kN/m，L=3m，試設計截面。hbABLq解：(1)按強度條件設計A截面為危險截面(2)按剛度條件設計ABLqhb代入剛度條件可得：綜合考慮強度和剛度條件，?。?/p>

設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為，撓度為w，則有：

若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，§7.4

疊加法求彎曲變形1.

疊加法故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：

梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。LAPBABLq撓度：3、8、48、5384轉角：

2、6、16、24APBL/2L/2CABqL/2L/2C例題：求A點轉角和C點撓度。

BBqBqPP=+AAACaa解：a)載荷分解如圖b)查表c)疊加qBACla例題:

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、a、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C。解：qBAClaθByByC例題

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解3）將結果疊加2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。解：分別考慮AB和BC梁段的情況。LaABCP(a)剛化BC例題求圖示荷載作用下，C截面的撓度。LaABCPLaABCPBaB2.逐段疊加法(c)疊加(b)剛化ABBCPLaABCPLaABCPBaB(a)剛化BC例題：

如圖，求C截面的撓度和轉角

ABC（1）逐段剛化法。分段，區(qū)分支承部分和附加部分。ABC（2）剛化BC段。靜力等效BC段的均布載荷。（3）剛化AB段。ABC（4）疊加1.超靜定梁簡述超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁。多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束。超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.超靜定梁的基本求解方法：確定超靜定次數(shù)——>將超靜定梁轉化為靜定梁——>寫出變形協(xié)調條件——>聯(lián)立求解平衡方程、變形協(xié)調方程以及物理方程——>解出全部未知力——>進行強度與剛度的計算。變協(xié)調方程：根據(jù)多余約束對位移的限制，建立各部分位

移之間的幾何方程。§7.5

簡單超靜定梁解：3個反力，2個平衡方程ACqFRBFRAFRCACqFRB例題

求圖示梁的約束反力。ABCllq相當系統(tǒng)（或靜定基）如圖1.變形協(xié)調關系：2.物理關系：ACqFRBFRAFRC3.平衡關系：4.聯(lián)立三式：解例題

求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)2）解除多余約束，轉化為靜定梁3）進行變形比較，列出變形協(xié)調條件4）由物理關系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力例題

梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協(xié)調方程為：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理關系解FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得補充方程：確定A端約束力FBF′BMAFAMCFCwB1wB2確定B端約束力MAFAMCFCA、B端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖§7.6

提高梁抗彎剛度的措施材料——梁的位移與材料的彈性模量

E

成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩

I

成反比；跨度——梁的位移與跨度

l

的

n次冪LAPB1選擇合理的截面形狀§7.6

提高梁抗彎剛度的措施2合理選擇材料影響梁強度的材料性能是極限應力

σu；影響梁剛度的材料性能是彈性模量E。鋼材(或各種鋁合金)的極限應力雖然差別很大，但它們的彈性模量十分接近。強度極限σb彈性模量E低碳鋼Q235400MPa200GPa合金鋼30鉻錳硅1100MPa210GPa3梁的合理加強超靜定加強4合理安排梁的約束與加載方式改變支座