第5章 概率與概率分布

隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念

試驗(yàn)在相同條件下，對(duì)事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果事件的概念事件(event)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6事件與樣本空間基本事件(elementaryevent)一個(gè)不可能再分的隨機(jī)事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間(samplespace)一個(gè)試驗(yàn)中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗(yàn)中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{正面，反面}事件的概率事件的概率

(probability)事件A的概率是對(duì)事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計(jì)定義和主觀概率定義概率的古典定義如果某一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有限，而且各個(gè)結(jié)果在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個(gè)數(shù)n

的比值，記為概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為主觀概率定義對(duì)一些無法重復(fù)的試驗(yàn)，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)人為確定概率是一個(gè)決策者對(duì)某事件是否發(fā)生，根據(jù)個(gè)人掌握的信息對(duì)該事件發(fā)生可能性的判斷例如，我認(rèn)為2003年的中國股市是一個(gè)盤整年概率的性質(zhì)非負(fù)性對(duì)任意事件A，有0P(A)1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有P

(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(additiverule)法則一兩個(gè)互斥事件之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和。設(shè)A和B為兩個(gè)互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(additiverule)法則二

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為

P(B)P(AB)P(A|B)=概率的乘法公式

(multiplicativerule)用來計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)事件的獨(dú)立性

(independence)一個(gè)事件的發(fā)生與否并不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率，則稱兩個(gè)事件獨(dú)立若事件A與B獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此時(shí)概率的乘法公式可簡(jiǎn)化為

P(AB)=P(A)·P(B)推廣到n個(gè)獨(dú)立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)全概公式設(shè)事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=（滿足這兩個(gè)條件的事件組稱為一個(gè)完備事件組），且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則對(duì)任意事件B，有我們把事件A1，A2，…，An

看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有A1，A2，…，An

之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式貝葉斯公式

(逆概公式)與全概公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因設(shè)n個(gè)事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=(滿足這兩個(gè)條件的事件組稱為一個(gè)完備事件組)，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則隨機(jī)變量

(randomvariables)一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述（更好的解釋）一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariables)隨機(jī)變量X

取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個(gè)數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvariables)隨機(jī)變量X

取無限個(gè)值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度使用壽命(小時(shí))半年后工程完成的百分比測(cè)量誤差(cm)X00

X100X0離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi0離散型隨機(jī)變量的概率分布

(0—1分布)

一個(gè)離散型隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示列出隨機(jī)變量取這兩個(gè)值的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布

(均勻分布)

一個(gè)離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率相同列出隨機(jī)變量取值及其取值的概率例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)及其出現(xiàn)各點(diǎn)的概率離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度計(jì)算公式為離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為二項(xiàng)試驗(yàn)

(貝努里試驗(yàn))

二項(xiàng)分布與貝努里試驗(yàn)有關(guān)貝努里試驗(yàn)具有如下屬性試驗(yàn)包含了n

個(gè)相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對(duì)每次試驗(yàn)結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù)二項(xiàng)分布

(Binomialdistribution)進(jìn)行

n

次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X取x

的概率為二項(xiàng)分布顯然，對(duì)于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有同樣有當(dāng)

n=1時(shí)，二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為

E(X)＝np方差為

D(X)＝npq泊松分布

(Poissondistribution)用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一個(gè)城市在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)消費(fèi)者協(xié)會(huì)一個(gè)星期內(nèi)收到的消費(fèi)者投訴次數(shù)人壽保險(xiǎn)公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)泊松概率分布函數(shù)—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)泊松概率分布的期望和方差泊松分布的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=方差為

D(X)=

泊松分布

(作為二項(xiàng)分布的近似)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n

很大，成功的概率p

很小時(shí)，可用泊松分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)P0.25，n>20，np5時(shí)，近似效果良好，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfunction)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù)x1

<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab分布函數(shù)

(distributionfunction)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于

x0

的面積f(x)xx0F(x0

)連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為方差為均勻分布

(uniformdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

稱X在區(qū)間[a,b]上均勻分布數(shù)學(xué)期望和方差分別為正態(tài)分布

(normaldistribution)1. 描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如:二項(xiàng)分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<+)

=總體均值正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)在x

的上方，即f(x)>0正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)正態(tài)分布是一個(gè)分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值和標(biāo)準(zhǔn)差來區(qū)分。決定了圖形的中心位置,決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對(duì)于均值對(duì)稱，尾端向兩個(gè)方向無限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與橫