直線的方向向量、平面的法向量

直線的方向向量與平面的法向量齊河一中數(shù)學(xué)組YXZABCDEF練習(xí)：在正方體ABCD—A1B1C1D1中E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE為了用向量來研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取z=1較合理。其實(shí)平面的法向量不是惟一的。平面的法向量不惟一，合理取值即可。

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢？l1l2l1三、平行關(guān)系：例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡證：因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AB,AD,AF長分別為3a，3b，3c，則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有又平面CDE的一個(gè)法向量是因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)所以MN//平面CDEl1l2l四、垂直關(guān)系：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以1．如圖，正方體中，

E為的中點(diǎn)，證明：//平面AEC練習(xí):用空間向量來解決下列題目2、在正方體AC中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中點(diǎn)，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP1、設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓(xùn)練3

由線線垂直可以得到線面垂直，再由線面垂直又可以得到線線垂直。平面的斜線、斜線在平面內(nèi)的射影 PAB圖1α圖2如圖2，ＰＡ∩α＝Ａ，ＰＡ不垂直α,思考：平面的斜線在平面內(nèi)的射影是什么圖形？答案：仍是一條直線BA直線PA--------叫做平面α的斜線；點(diǎn)A叫做斜足.線段PA叫做斜線段.三垂線定理PmBAα證明：PA平面PAB∪m⊥PAPB⊥αmα∪PB⊥mBA⊥mm⊥平面PAB性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直一面——平面α（基礎(chǔ)平面）；四線——PB（α的垂線），PA（斜線），BA（射影），m（α內(nèi)的直線））三垂直——PB⊥

m,,BA⊥m,PA⊥m故稱“三垂線定理”一面四線三垂直三垂線定理中的元素（1）PmBAα直線a一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥α?xí)r，則b⊥OA注意：定理中“在平面內(nèi)”的條件不能去掉。b但

b不垂直于OP三垂線定理三垂線定理中的元素（2）線射垂直線斜垂直αPAOaPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆命題？三垂線定理思考題：想一想？如圖，PA

垂直于以AB為直徑的圓Ｏ平面，Ｃ為圓Ｏ上任一點(diǎn)（異于Ａ，Ｂ），試判斷圖中共有幾個(gè)直角三角形，并說明理由。三垂線定理1、已知點(diǎn)O是△ABC的BC邊的高上的任意一點(diǎn)，且OP⊥平面ABC，求證PA⊥BC.2、如圖，PD⊥平面ABC，AC=BC，