概率的概念和古典概型

第二章事件的概率一、概率的統(tǒng)計(jì)定義

二、古典概率

三、幾何概率

四、概率的公理化定義

第二章預(yù)備知識(shí)1.加法原理第m種方式有nm種方法,設(shè)完成一件事有m種方式：第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟:第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過(guò)每一步驟,才算完成這件事，例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？可以有種打扮排列排列：從n個(gè)不同的元素中按順序取r個(gè)排成一列稱為一個(gè)排列。所有可能的排列記為,則由乘法原理得特別，當(dāng)n=r時(shí)，稱該排列為一個(gè)全排列，所有全排列的個(gè)數(shù)為例1

從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中任取五個(gè)組成五位數(shù),問(wèn)共能組成多少個(gè)五位數(shù)?解從六個(gè)不同數(shù)中任取五個(gè)組成五位數(shù),相當(dāng)于從六個(gè)數(shù)中任取五個(gè)數(shù)生成一個(gè)排列,因此,所有可能組成五位數(shù)共有例2

從0,1,2,3,4,5,這六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè),

問(wèn)能組成多少個(gè)四位偶數(shù)?解組成的四位數(shù)是偶數(shù),要求末位為0,2或4,種,而0不能作首位,所以所組成的偶數(shù)個(gè)數(shù)為可先選末位數(shù),共種,前三位數(shù)的選取方法有無(wú)重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k

次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式nn-1n-2n-k+1有重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，共有nk種排列方式nnnn組合組合：從n個(gè)不同的元素中任取r個(gè)元素組成一組稱為一個(gè)組合。所有可能的組合數(shù)記為種方由乘法原理，從n個(gè)元素中取r個(gè)生成的排列可分兩步進(jìn)行，首先從n個(gè)元素中取r個(gè)組成一組，共有法，然后再在取出的r個(gè)元素中進(jìn)行全排列共有種方法，從而特別，當(dāng)n

=r時(shí),而且所以從n個(gè)元素中取r個(gè)元素組成的組合數(shù)為例3

從10名戰(zhàn)士中選出3名組成一個(gè)突擊隊(duì)，問(wèn)共有多少種組隊(duì)方法？解:

按組合的定義，組隊(duì)方法共有（種）特別，當(dāng)n

=r時(shí),而且所以從n個(gè)元素中取r個(gè)元素組成的組合數(shù)為第一節(jié)概率的概念對(duì)于事件發(fā)生的可能性大小，需要用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)去刻畫(huà)它，這個(gè)指標(biāo)應(yīng)該是隨機(jī)事件本身所具有的屬性，不能帶有主觀性，且能在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證，必須符合常情。我們把刻畫(huà)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)叫做事件的概率。頻率的定義和性質(zhì)定義

在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)

nA

稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA

/n

稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)性質(zhì)(1)0

fn(A)1；

(2)fn(Ω)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實(shí)驗(yàn)者德?摩根蒲豐K?皮爾遜K?皮爾遜nAfn(A)2512492562532512462440.5020.4980.5120.5060.5020.4920.488頻率的穩(wěn)定性n=500時(shí)

nnHfn(H)

204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005如:DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語(yǔ)單詞中各字母出現(xiàn)的頻率,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率.概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂缺點(diǎn)：粗糙模糊不便使用概率的性質(zhì)：

非負(fù)性可加性

當(dāng)n個(gè)事件兩兩互不相容時(shí)：P(A1

∪A2???∪An)=P(A1)+???+P(An)

規(guī)范性概率概率的定義在數(shù)學(xué)上概率是用公理化的形式定義的.各種教科書(shū)中出現(xiàn)的‘概率統(tǒng)計(jì)定義’,‘古典概率定義’,‘幾何概率定義’都是一些描述性的說(shuō)法,教師不應(yīng)該過(guò)分地去揣摩,探究那里的用語(yǔ),而應(yīng)理解其實(shí)質(zhì).

概率的統(tǒng)計(jì)定義通常可以這樣敘述：在相同的條件下做大量的重復(fù)試驗(yàn),一個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)k和總的試驗(yàn)次數(shù)n之比,稱為這個(gè)事件在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí),頻率將‘穩(wěn)定’在一個(gè)常數(shù)附近,n越大,頻率偏離這個(gè)常數(shù)大的可能性越小.這個(gè)常數(shù)稱為該事件的概率.概率對(duì)這個(gè)定義應(yīng)該從整體上把握,重要的是掌握以下幾點(diǎn):我們所討論的現(xiàn)象是可以做‘重復(fù)試驗(yàn)’的.并非所有不確定現(xiàn)象都是概率論研究的對(duì)象.頻率和概率的關(guān)系.頻率是隨機(jī)的,是這n次試驗(yàn)中的頻率.換另外n次試驗(yàn)一般說(shuō)頻率將不同.而概率是一個(gè)客觀存在的常數(shù).概率反映的是‘多次試驗(yàn)’中頻率的穩(wěn)定性。出現(xiàn)頻率偏離概率較大的情形是可能的.這是隨機(jī)現(xiàn)象的特性.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E有如下特征第二節(jié)古典概型

（等概性）每個(gè)可能的結(jié)果出現(xiàn)是等可能的;

則稱E為古典概型。

（有限性）試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè);古典概型概率的定義

設(shè)E為古典概型,Ω為E的樣本空間,A為任意一個(gè)事件，定義事件A的概率為:設(shè)Ω={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得又由于基本事件兩兩互不相容；所以P({e1})=P({e2})=...=P({

en})例1

設(shè)有100件產(chǎn)品，其中次品有30件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品：

放回抽樣：第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球。

不放回抽樣：第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球。分別就上面兩種方式求：

1）兩件都是次品的概率；

2）第一件是次品，第二件是正品的概率；古典概型的基本模型－摸球問(wèn)題

解：易知本題的試驗(yàn)為古典概型設(shè)A={兩件都是次品的概率}

B={第一件是次品，第二件是正品的概率}

有放回抽取:

不放回抽取:

如果一次取兩件？例2

設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n件，問(wèn)其中恰有k(kD)

件次品的概率是多少?又

在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有不放回地逐次取m個(gè)球,與一次任取m個(gè)球算得的結(jié)果相同.古典概型的基本模型－分球入盒問(wèn)題(1)容量不限問(wèn)題1

把4個(gè)球放到3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為(2)容量有限——至多只能放一個(gè)球問(wèn)題2

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.解第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為例4

將n只球隨機(jī)的放入N(Nn)

個(gè)盒子中

去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)

盒子的容量不限）。解：將n只球放入N個(gè)盒子中去,共有而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有那么隨機(jī)選取n(<365)個(gè)人，他們的生日各不相同的概率為推廣:假設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，即都是（這里365天作為盒子數(shù)N

）推廣:假設(shè)每人在一棟18層樓的哪一層下電梯是等可能的，現(xiàn)有9人從一層上了電梯,求各人在不同樓層下電梯的概率?推廣:假設(shè)每人在18個(gè)車站的哪一站下車是等可能的，現(xiàn)有9人從起點(diǎn)站出發(fā),求各人在不同車站下車的概率?當(dāng)n=64時(shí)，P=0.997當(dāng)n=50時(shí)，P=0.970;當(dāng)n=40時(shí)，P=0.891;例5.某城市電話號(hào)碼升位后為六位數(shù)，且第一位為6或8。求（1）隨機(jī)抽取的一個(gè)電話號(hào)碼為不重復(fù)的六位數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼末位數(shù)是8的概率。解:記(1)所求事件為A,(2)所求事件為B.古典概型的基本模型－取數(shù)問(wèn)題解樣本點(diǎn)總數(shù)：事件A的樣本點(diǎn)數(shù)：2×9×8×7×6×5事件B的樣本點(diǎn)數(shù)：例6

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定,且各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周內(nèi)接待12次來(lái)訪共有周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為即百萬(wàn)分之0.3!這是一個(gè)非常小的概率！但是根據(jù)題意它確實(shí)發(fā)生了！這與實(shí)際推斷原理矛盾！從而假設(shè)不正確，因此可以推測(cè)接待是有時(shí)間規(guī)定的。練習(xí)1.將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率：（1）兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為8；（2）第二次擲得3點(diǎn).A表示“點(diǎn)數(shù)之和為8”事件B表示“第二次擲得3點(diǎn)”事件

解：設(shè)

課堂練習(xí)所以練習(xí)2

在房間里有10個(gè)人,分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章,任選3個(gè)記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼.(1)求最小號(hào)碼為5的概率;(2)求最大號(hào)碼為5的概率.解(1)總的選法種數(shù)為最小號(hào)碼為5的選法種數(shù)為(2)最大號(hào)碼為5的選法種數(shù)為故最大號(hào)碼為5的概率為故小號(hào)碼為5的概率為將4只球隨機(jī)地放入6個(gè)盒子中去,共有64

種放法.練習(xí)3

將4只球隨機(jī)地放入