機(jī)械工程控制課程.復(fù)習(xí)

機(jī)械控制工程實(shí)質(zhì)是研究工程技術(shù)中廣義系統(tǒng)的動力學(xué)問題，研究系統(tǒng)在外界條件作用下，從系統(tǒng)的一定初始狀態(tài)出發(fā)，所經(jīng)歷的由其內(nèi)部的固有特性所決定的整個(gè)動態(tài)歷程。研究系統(tǒng)及其輸入、輸出三者之間的動態(tài)關(guān)系。本課程主要研究當(dāng)系統(tǒng)已定，輸入已知時(shí)，求出系統(tǒng)的輸出，并通過輸出來研究系統(tǒng)本身的有關(guān)問題，即系統(tǒng)分析。

控制理論的內(nèi)容分類1、古典控制理論用頻域法、時(shí)域法解決單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的問題。時(shí)域法→在時(shí)間域內(nèi)解決問題頻域法→在頻率域內(nèi)解決問題2、現(xiàn)代控制理論用時(shí)域法（狀態(tài)空間法）解決多輸入、多輸出的線性及非線性時(shí)變系統(tǒng)的問題及最優(yōu)控制問題。自動控制系統(tǒng)→就是在沒有人的直接參與下，利用控制器使生產(chǎn)過程或被控制對象的某一物理量準(zhǔn)確地按預(yù)期的規(guī)律運(yùn)行的設(shè)備或裝置。

自動控制系統(tǒng)要解決的最基本的問題就是如何使受控對象的物理量按照給定的變化規(guī)律變化。

組成：控制裝置對被控對象起控制作用的設(shè)備的總體。

被控對象

要求實(shí)現(xiàn)自動控制的機(jī)器、設(shè)備和生產(chǎn)過程。

自動控制系統(tǒng)的基本方式：開環(huán)控制閉環(huán)控制

反饋---把輸出量（被控制量）部分或全部送回輸入端，并與輸入信號比較的過程。反饋原理---基于反饋基礎(chǔ)上的“檢測偏差，糾正偏差”的控制原理。反饋控制系統(tǒng)---利用反饋原理組成的系統(tǒng)，亦稱閉環(huán)控制系統(tǒng)。

a)

測量、反饋b)

求偏差c)

糾正偏差閉環(huán)控制系統(tǒng)的組成：

給定元件

典型的反饋控制系統(tǒng)框圖

串聯(lián)校正元件 執(zhí)行元件

控制對象

反饋元件

放大變換元件

并聯(lián)校正元件

輸入信號xi

主反饋信號xb

偏差信號e

局部反饋

主反饋

輸出信號

擾動

比較元件

+ - + - x0

對閉環(huán)系統(tǒng)的三項(xiàng)基本要求是：穩(wěn)、準(zhǔn)、快建立數(shù)學(xué)模型的依據(jù)通過系統(tǒng)本身的物理特性來建立。如力學(xué)三大定律、流體力學(xué)定律、電學(xué)定律、歐姆定律、克?；舴蚨傻葦?shù)學(xué)模型的特點(diǎn)

1、實(shí)物→（抽象）數(shù)學(xué)表達(dá)式2、不同的控制系統(tǒng)可以具有相同的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型定義是描述系統(tǒng)或環(huán)節(jié)內(nèi)部、外部各物理量（或變量）之間動、靜態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。

數(shù)學(xué)模型的分類1、微分方程時(shí)間域t2、傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)域s=σ+iω3、頻率特性頻率域ω4、狀態(tài)方程時(shí)間域t典型的微分方程：

i=0,1…nj=0,1,…m1、線性定常系統(tǒng)？2、線性時(shí)變系統(tǒng)？3、非線性系統(tǒng)？據(jù)傳遞函數(shù)的定義：形式上記為：(n>m)拉氏變換：傳遞函數(shù)

（1）前向通道傳遞函數(shù)（2）反饋通道傳遞函數(shù)（3）對輸入引起的開環(huán)傳遞函數(shù)（4）對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)(5）對擾動量的閉環(huán)傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié):G(s)=K

積分環(huán)節(jié):G(s)=1/s微分環(huán)節(jié)

G(s)=s典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

慣性環(huán)節(jié):

一階微分環(huán)節(jié):

振蕩環(huán)節(jié):

等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。方框圖變換法則(比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動)梅遜公式

含多個(gè)局部反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)對反饋信號為相加的取”-”對反饋信號為相減的取”+”

適用條件:1、整個(gè)方框圖只有一個(gè)前向通道；2、各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。方框圖

等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。方框圖變換法則(比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動)梅遜公式

含多個(gè)局部反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)對反饋信號為相加的取”-”對反饋信號為相減的取”+”

適用條件:1、整個(gè)方框圖只有一個(gè)前向通道；2、各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。方框圖

等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。方框圖變換法則(比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動)梅遜公式

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適用條件:1、整個(gè)方框圖只有一個(gè)前向通道；2、各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。方框圖

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適用條件:1、整個(gè)方框圖只有一個(gè)前向通道；2、各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。方框圖

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適用條件:1、整個(gè)方框圖只有一個(gè)前向通道；2、各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。方框圖控制系統(tǒng)（線性） 機(jī)械電氣液壓氣壓……

數(shù)學(xué)建模 微分方程傳遞函數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)狀態(tài)方程…… 控制系統(tǒng)分析

控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

空間狀態(tài)、魯棒、最優(yōu)控制、模糊、智能…… 現(xiàn)代設(shè)計(jì)分析方法 經(jīng)典設(shè)計(jì)分析方法 時(shí)域分析 頻域分析

時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。當(dāng)系統(tǒng)受外加作用所引起的輸出（即x(t)）隨時(shí)間的變化規(guī)律，我們稱其為系統(tǒng)的“時(shí)域響應(yīng)”。

瞬態(tài)響應(yīng)是指在輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程（亦稱為動態(tài)響應(yīng)），又稱過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)的精度。時(shí)間響應(yīng)及其組成

瞬態(tài)性能指標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)指的是一個(gè)控制系統(tǒng)在過渡過程中的狀態(tài)和輸出的行為。

所謂過渡過程，是指系統(tǒng)在外力的作用下從一個(gè)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的過程。

瞬態(tài)性能指標(biāo)一個(gè)穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的響應(yīng)通常有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種類型。具有衰減振蕩的瞬態(tài)過程如圖所示。ptr0.5

y(t)tdtp01tst穩(wěn)態(tài)誤差

具有衰減振蕩的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)瞬態(tài)性能分析

控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程為一階微分方程，稱為一階系統(tǒng)。如RC電路:

R

i(t)

C傳遞函數(shù):方框圖：微分方程:R(s)C(s)E(s)(-)1/Ts一般地，將微分方程為,傳遞函數(shù)為

的系統(tǒng)叫做一階系統(tǒng)。T的含義隨系統(tǒng)的不同而不同。它在S平面上的極點(diǎn)分布為如圖所示。j0P=-1/TS平面(a)零極點(diǎn)分布一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

輸入r(t)=1(t)，

y(t)0.6320.8650.950.982初始斜率為1/T

h(t)=1-e-t/T0

tT2T3T4T1單位階躍響應(yīng)曲線t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率為0.368/T0.05/T0g(t)(c)單位脈沖響應(yīng)曲線特點(diǎn)：

1)可以用時(shí)間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值； 2)初始斜率為-1/T2；3)無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

輸入r(t)=(t)，閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號時(shí)域輸出響應(yīng)ess

01(t)0tT

無窮大

1)系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；

2)系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。?整理得傳遞函數(shù)

在第二章，已得微分方程：?取拉氏變換，有

二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)。

隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不相同。

1、

欠阻尼（0＜＜1）當(dāng)0＜＜1時(shí)，兩個(gè)特征根為是一對共軛復(fù)根，如圖a所示.2、臨界阻尼（）當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根，即此時(shí)的如圖b所示.

3、過阻尼（）當(dāng)時(shí)，兩個(gè)特征根為是兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，如圖c所示。4、無阻尼（）當(dāng)時(shí)，特征方程具有一對共軛純虛根，如圖d所示，這是欠阻尼的特殊情況。

(a)0＜＜1(b)=1(c)＞1(d)=0s1s2s1s2s1s2s2s1?其根決定了系統(tǒng)的響應(yīng)形式。其輸出的拉氏變換為單位階躍函數(shù)作用下，二階系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。二階系統(tǒng)特征方程二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

閉環(huán)極點(diǎn)：1.欠阻尼二階系統(tǒng)(即0<ζ<1時(shí))

?系統(tǒng)有一對共軛復(fù)根：=?

階躍響應(yīng)為?其中=cos

0

s1

ωn-n

s2

j

jd欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分組成：其中，稱為有阻尼振蕩頻率。穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；?瞬態(tài)部分是阻尼正弦振蕩過程，阻尼的大小由n(即σ，特征根實(shí)部）決定；?振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率d（特征根虛部），其值由阻尼比ζ和自然振蕩角頻率n決定。衰減速度取決于值的大小，而衰減振蕩的周期為:

?系統(tǒng)有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根：s1,2=-

n

階躍響應(yīng):

2.

臨界阻尼二階系統(tǒng)（即ζ=1時(shí)）?系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是無超調(diào)、無振蕩單調(diào)上升的，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。?此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)純虛根：s1,2=±jn

?階躍響應(yīng)：c(t)=1-cosnt?系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為一條不衰減的等幅余弦振蕩曲線。振蕩頻率為n。?此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)不相等負(fù)實(shí)根

3.

無阻尼二階系統(tǒng)（即ζ=0時(shí)）4.

過阻尼二階系統(tǒng)（即ζ>1時(shí)）?系統(tǒng)的單位躍響應(yīng)無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。?階躍響應(yīng)：0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時(shí)間。1.動態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算

上升時(shí)間tr單位階躍響應(yīng)

?即

?得

?此時(shí)對于不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)，應(yīng)工作在過阻尼狀態(tài)，它的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)類似一階系統(tǒng)，可參考之。對于大多控制系統(tǒng)通常允許有適度的振蕩特性，因此系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。下面是二階系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

峰值時(shí)間tp

?由

?得單位階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。

超調(diào)量%

?由單位階躍響應(yīng)進(jìn)入±誤差帶的最小時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts

?有

?根據(jù)定義

?因

?則

欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如圖：

c(t)t01包絡(luò)線（=2%時(shí)）(=5%)?工程上通常用包絡(luò)線代替實(shí)際曲線來估算。

振蕩次數(shù)N是系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。取Δ＝2時(shí)，，有

取Δ＝5時(shí)，，有

若已知，考慮到，即

?

阻尼比ζ越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時(shí)間ts長；?ζ過大時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時(shí)間ts也長，快速性差；?ζ=0.7，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，快速性最好，而超調(diào)量%<5%，平穩(wěn)性也好，故稱ζ=0.7為最佳阻尼比。結(jié)構(gòu)參數(shù)ζ對單位階躍響應(yīng)性能的影響解題思路：系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

正弦輸入信號 穩(wěn)態(tài)輸出信號（同頻率正弦信號） 頻率特性

奈氏圖 伯德圖 基本環(huán)節(jié)頻率特性

正弦輸入信號 穩(wěn)態(tài)輸出信號（同頻率正弦信號） 頻率特性

奈氏圖 伯德圖 基本環(huán)節(jié)頻率特性

正弦輸入信號 穩(wěn)態(tài)輸出信號（同頻率正弦信號） 頻率特性

奈氏圖 伯德圖 基本環(huán)節(jié)頻率特性

正弦輸入信號

穩(wěn)態(tài)輸出信號(同頻率正弦信號)

頻率特性

奈氏圖

伯德圖

基本環(huán)節(jié)頻率特性 系統(tǒng)頻率特性

三頻段

系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)

截止頻率與帶寬

諧振峰值諧振頻率 剪切率

穩(wěn)定性判據(jù)

相對穩(wěn)定性

系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)

代數(shù)判據(jù) 幾何判據(jù)

奈氏判據(jù) 對數(shù)判據(jù) 赫爾維茨判據(jù)

羅斯判據(jù)

穩(wěn)定性判據(jù) 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無右極點(diǎn) 絕對穩(wěn)定性 相對穩(wěn)定性 相角裕量

幅值裕量 奈氏圖

伯德圖

頻率響應(yīng)法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來的一種經(jīng)典工程實(shí)用方法,是一種利用頻率特性進(jìn)行控制系統(tǒng)分析的圖解方法,可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。第四章控制系統(tǒng)的頻率特性分析

頻率響應(yīng)是指控制系統(tǒng)或元件對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)輸出量的振幅和相位隨輸入正弦信號的頻率變化的規(guī)律。輸入輸出式中：Xo(ω)為輸出正弦信號的幅值，Φ(ω)為輸出正弦信號的相位。頻率特性：當(dāng)系統(tǒng)輸入各個(gè)不同頻率的正弦信號時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比稱為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)，簡稱系統(tǒng)的頻率特性，記為G(j)。相頻特性幅頻特性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：

①由定義。②根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求取。③通過實(shí)驗(yàn)測得。

頻率特性的求法:

將G(S)中的S代以jω頻率特性極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

是ω的復(fù)變函數(shù),故可在的復(fù)平面上表示它.

ω由0→∞時(shí),的端點(diǎn)軌跡即為頻率特性的極坐標(biāo)圖.

開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)幅頻特性的幅值之積；開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性的相角之和。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻特性和相頻特性Nyquist圖的一般形狀系統(tǒng)稱為0型，Ι型，Ⅱ型…系統(tǒng)。1、ω=0時(shí)（起點(diǎn)）

幅值

v為積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)2、ω=∞

時(shí)（終點(diǎn)）

幅值

規(guī)定φ(ω)逆時(shí)針為正，物理系統(tǒng)一般為滯后的，所以，φ(ω)一般為負(fù)值。

3、與實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)：4、G(S)

包含導(dǎo)前環(huán)節(jié)時(shí)，若由于相位非單調(diào)下降，曲線有彎曲。（一階微分環(huán)節(jié)）對數(shù)頻率特性圖:伯德圖(Bode圖)L(w)(dB)0.010.1110wlgw2040－40－20......0(w)0.010.1110wlgw45o90o－90o－45o......0o

對數(shù)相頻特性記為單位為分貝(dB)

對數(shù)幅頻特性記為單位為弧度(rad)如果所研究的函數(shù)y和自變量x在數(shù)值上均變化了幾個(gè)數(shù)量級。例如，已知x和y的數(shù)據(jù)為：x=10,20,40,60,80,100,1000,2000,3000,4000y=2,14,40,60,80,100,177,181,188,200在機(jī)械工程上為什么常采用半對數(shù)坐標(biāo)系分析頻率特性？在直角坐標(biāo)紙上作圖幾乎不可能描出在x的數(shù)值等于10、20、40、60、80時(shí)，曲線開始部分的點(diǎn)。若采用半對數(shù)坐標(biāo)或?qū)?shù)坐標(biāo)則可以得到比較清楚的曲線。系統(tǒng)開環(huán)傳函由多個(gè)典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)：那麼，系統(tǒng)對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線為：系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅值等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅值之和；相位等于各環(huán)節(jié)的相位之和。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線的繪制步驟:

(1)

將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)改寫為各個(gè)典型環(huán)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形式的乘積形式；

(2)令S=jω,求G(jω)；

(3)確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并將轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標(biāo)注到半對數(shù)坐標(biāo)軸上；

(4)繪制L()的低頻段漸近線；0型（無積分環(huán)節(jié)），高度為20lgK的水平線；有積分環(huán)節(jié)則為斜率為-20×v的斜線，它與零分貝線的交點(diǎn)為；

(5)按轉(zhuǎn)折頻率由低頻到高頻的順序,在低頻漸近線的基礎(chǔ)上,每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率,根據(jù)環(huán)節(jié)的性質(zhì)改變漸近線斜率,繪制漸近線,直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止。

(6)如需要精確對數(shù)幅頻特性，則可在各轉(zhuǎn)折頻率處加以修正。

(7)相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性曲線相加獲得。

1、設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,求系統(tǒng)的頻率特性,及系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2、設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,已知在正弦信號作用下,閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出,試計(jì)算參數(shù)K及T的值。3、已知最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖所示。試寫出開環(huán)傳遞函數(shù)。4、最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖所示，請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。100

1、解：

2、解：T=0.1K=103、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)即

確定開環(huán)增益K當(dāng)ω=ωc時(shí)，A(ωc)=1。所以故

4、解因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式式中K，1，2，3，4待定。

由20lgK=30得K=31.62。確定1：

所以

1=0.316確定4：

所以

4=82.54

確定3：

所以

3=34.81

確定2：

所以

2=3.481

于是，所求的傳遞函數(shù)為第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性定義定義：設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

穩(wěn)定

不穩(wěn)定

臨界穩(wěn)定 t t t

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內(nèi)部固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)。

設(shè)初始條件為零時(shí)，作用一理想脈沖信號到一線性系統(tǒng)，這相當(dāng)于給系統(tǒng)加了一擾動信號。若，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

總結(jié)：穩(wěn)定性判別的基本準(zhǔn)則：

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是其特征方程的根（或者系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部位于s復(fù)平面的左半平面。如果有一個(gè)或以上的根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，如果有根在虛軸上，而其余的根位于s平面的左半平面，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（振蕩），如果有根在原點(diǎn)上，系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn)，也不穩(wěn)定。

從工程控制角度來看，認(rèn)為臨界穩(wěn)定也是不穩(wěn)定。

閉環(huán)特征方程的根必須位于S平面的左半平面

系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件j0穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域[S平面]1)

列寫羅斯計(jì)算表：任意一行的各項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，結(jié)果不變。一．代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)羅斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)：

式中：直至其余的b為零。同樣的:

﹍﹍2)

第一列各數(shù)的符號全為正且不為0，則說明無正實(shí)部的根，系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列各項(xiàng)符號變化的次數(shù)就是不穩(wěn)定根的數(shù)目。已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性：解：列勞斯表

由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3）勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒有余項(xiàng)。

第一列出現(xiàn)零的情況時(shí)，用一個(gè)小的正數(shù)ε代替０進(jìn)行計(jì)算后，再令ε→０求極限來判別第一列系數(shù)的符號。實(shí)際上在無符號變化是表示有一對虛根存在，有符號變化時(shí)則同上。已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例由于表中第一列上面的符號與其下面系數(shù)的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。解：列勞斯表4）勞斯表中出現(xiàn)全零行

如出現(xiàn)一行全零時(shí)，此時(shí)存在一些對稱（大小相等，符號相反）的根（包括實(shí)根和共軛復(fù)根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。則用上一行的系數(shù)組成一個(gè)輔助方程，對方程求導(dǎo)后得到的系數(shù)代替原為零的各項(xiàng)，再繼續(xù)。解輔助方程得的根即為特征方程的根。列勞斯表

由上表可知，第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=2s4+12s2+16=0，求得兩對大小相等、符號相反的根，顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為：

用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)是否有根在垂線的右方。

例解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。5）勞斯判據(jù)的應(yīng)用列勞斯表令代入特征方程：第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線的右方。式中有負(fù)號，顯然有根在的右方。

1、

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

即:1+G(S)H(S)=0的根全部具有負(fù)實(shí)部。

將1+G(S)H(S)與開環(huán)頻率特性G開(jω)、即G(jω)H(jω)聯(lián)系起來，將系統(tǒng)特性由復(fù)數(shù)域引入頻域分析，通過G開(ω)的頻率特性圖用圖解法來判別系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。閉環(huán)特征方程的根必須位于S平面的左半平面

系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件二．幾何穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：函數(shù)F（S）與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)相同相同GB(S)F(S)GK(S)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部，即GB(S)在[S]平面的右半平面沒有極點(diǎn)，亦即F(S)在[S]平面的右半平面沒有零點(diǎn)(Z=0)。

N=Z-PNyquist穩(wěn)定判據(jù):當(dāng)ω由-∞→+∞時(shí)，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性GK(jω)，即G(jω)H(jω)逆時(shí)針方向包圍點(diǎn)(-1,j0)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。其中P為GK(S)在[S]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。應(yīng)用：

P為GK(S)在[S]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)，（1）P=0時(shí)（即開環(huán)穩(wěn)定），ω由-∞→+∞時(shí)，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)不包圍點(diǎn)(-1,j0)，即N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）P≠0時(shí)（即開環(huán)不穩(wěn)定），ω由-∞→+∞時(shí)，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)P圈(表示Z<P)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若逆時(shí)針包圍點(diǎn)(-1,j0)的圈數(shù)不到P圈(表示Z>P)，或順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。幾點(diǎn)說明①Nyqusit判據(jù)是在[GH]平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性;②P=0，最小相位系統(tǒng)，開環(huán)奈奎斯特軌跡不包圍(-1,j0)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；P≠0，非最小相位系統(tǒng)，開環(huán)奈奎斯特軌跡逆時(shí)針包圍(-1,j0)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。③P=0，開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)可能不穩(wěn)定；P≠0，開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)可能穩(wěn)定。④開環(huán)Nyqusit軌跡是實(shí)軸對稱的：

ω由-∞→0與ω由0→+∞的開環(huán)Nyqusit軌跡關(guān)于實(shí)軸對稱，故只需繪出ω由0→+∞的曲線即可判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2、Bode穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)幅相頻率特性在Nyquist圖上與單位圓相交的頻率即為對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)和0db線相交的幅值穿越