彈性力學(xué)簡明教程-第三版-徐芝綸-第一章

第一章

緒論彈性力學(xué):也稱彈性理論，固體力學(xué)學(xué)科的一個分支。

彈性力學(xué)和塑性力學(xué)是固體力學(xué)的兩個重要分支。 彈性力學(xué)是研究固體材料及由其構(gòu)成的物體結(jié)構(gòu)在彈性變形階段的力學(xué)行為，包括在外部干擾下(受外力、邊界約束或溫度改變等原因)彈性物體的內(nèi)力(應(yīng)力)、變形(應(yīng)變)和位移的分布，以及與之相關(guān)的原理、理論和方法 §1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容任務(wù)分析結(jié)構(gòu)、構(gòu)件在外部干擾下的應(yīng)力和位移檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度通過這門課程的學(xué)習(xí)來研究其技術(shù)方法，尋求、改進(jìn)計算方法§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容研究彈性體的力學(xué)，有材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)。它們的研究對象分別如下：

材料力學(xué)——研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問題。結(jié)構(gòu)力學(xué)——在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)（如桁架、剛架等）。彈性力學(xué)——研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問題。（如地基、剪力墻、擋土墻、壩體、隧洞）

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容研究對象材料力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)彈性力學(xué)桿狀構(gòu)件桿件系統(tǒng)非桿狀結(jié)構(gòu)及桿狀構(gòu)件長度遠(yuǎn)大于高度和寬度拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和位移由桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)荷載作用下桿件的內(nèi)力（彎矩、剪力）或變形應(yīng)力、形變和位移§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容在研究方法上，彈力和材力也有區(qū)別：

彈力研究方法：在區(qū)域V內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程;在邊界s上考慮受力或約束條件，建立邊界條件;并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。材力研究方法：也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴(yán)格的：常常引用近似的計算假設(shè)（如平面截面假設(shè)）來簡化問題，并在許多方面進(jìn)行了近似的處理。

因此材料力學(xué)建立的是近似理論，得出的是近似的解答。從其精度來看，材料力學(xué)解法只能適用于桿件形狀的結(jié)構(gòu)。

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容對比彈性力學(xué)和材料力學(xué)的結(jié)果，可以確定出材料力學(xué)附加假設(shè)所帶來的局限性。首先我們考察一下變截面桿的拉伸問題。在研究等截面直桿拉伸時，材料力學(xué)引用了平截面假設(shè)。垂直于桿件軸線的各平截面（即桿的橫截面）在桿件受拉伸、壓縮或純彎曲而變形后仍然為平面，并且同變形后的桿件軸線垂直?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容變截面桿拉伸時，沿用等截面直桿拉伸的結(jié)果，認(rèn)為橫截面應(yīng)力也是均勻分布的?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容按照這個假設(shè)，我們從桿的側(cè)面取出一個微元體，如圖c，顯然，不滿足平衡條件，因而是不正確的。要滿足平衡條件，微元體的受力圖應(yīng)如圖d所示，這只有通過彈性力學(xué)方法才能求解。彈性力學(xué)的求解結(jié)果表明，只有當(dāng)斜角很小時，即接近于直桿時，材料力學(xué)的結(jié)果才有被引用的價值?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容其次，考慮均布荷載作用下的簡支梁§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容對于純彎曲問題，材料力學(xué)引用平面假設(shè)，對橫力彎曲問題分兩步求解，首先按純彎曲梁的求解方法，計算橫截面上的正應(yīng)力，結(jié)果為線性分布，再在縱向纖維擠壓應(yīng)力的假設(shè)前提下，根據(jù)體元的平衡條件，推出剪應(yīng)力為二次拋物線分布。§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容圖b中還繪出了彈性力學(xué)求解的結(jié)果：橫截面上的正應(yīng)力為y的三次曲線，縱向纖維擠壓應(yīng)力也為y的三次曲線分布，而剪應(yīng)力解，則二者完全相同。嚴(yán)格的講，在橫力彎曲中，由于剪應(yīng)力的存在橫截面要發(fā)生翹曲，平面假設(shè)已不成立，而橫向力的存在本身就意味著縱向纖維的擠壓并不為零?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容與彈性力學(xué)精確解相比較，當(dāng)梁的高跨比時，材料力學(xué)的結(jié)果可以認(rèn)為是足夠精確的。對于深梁問題，此時只能用彈性力學(xué)方法求解。圖中表示出了對稱面上的正應(yīng)力分布曲線，A點(diǎn)處，彈性力學(xué)的解為,如果用材料力學(xué)方法求解則為誤差為145%。

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容彈性力學(xué)在力學(xué)學(xué)科和工程學(xué)科中，具有重要的地位：彈性力學(xué)是工程結(jié)構(gòu)分析的重要手段。尤其對于安全性和經(jīng)濟(jì)性要求很高的近代大型工程結(jié)構(gòu)，須用彈力方法進(jìn)行分析。

彈性力學(xué)是學(xué)習(xí)塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、巖石力學(xué)、有限元方法等課程的基礎(chǔ)。

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容

土木工程§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容水利工程§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容航空航天工程§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容船舶機(jī)械工程§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容工科學(xué)生學(xué)習(xí)彈力的目的：

（1） 理解和掌握彈力的基本理論；

（2）能閱讀和應(yīng)用彈力文獻(xiàn)；

（3）能用彈力近似解法(變分法、差分法和有限單元法)

解決工程實(shí)際問題；（4）為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他固體力學(xué)分支學(xué)科打下基礎(chǔ)?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容彈性力學(xué)的發(fā)展

彈性力學(xué)是一門有悠久歷史的學(xué)科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)胡克定律。這一時期的研究工作主要是通過實(shí)驗(yàn)方法探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容近代彈性力學(xué)的研究是從19世紀(jì)開始的?？挛?828年提出應(yīng)力、應(yīng)變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律。柯西的工作是近代彈性力學(xué)的一個起點(diǎn)，使得彈性力學(xué)成為一門獨(dú)立的固體力學(xué)分支學(xué)科。柯西（A.L.Cauchy）§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容而后，世界各國的一批學(xué)者相繼進(jìn)入彈性力學(xué)研究領(lǐng)域，使彈性力學(xué)進(jìn)入發(fā)展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論圣維南（A.J.Saint-Venant）§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容1862年，艾里（G.B.Airy）發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論1881年，赫茲建立了接觸應(yīng)力理論；赫茲（H.Hertz）§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容1898年，基爾霍夫建立了平板理論;基爾霍夫(G.R.Kirchoff)1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)任物理學(xué)教授，他發(fā)現(xiàn)了電學(xué)中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學(xué)，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻(xiàn)?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容許多科學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國科學(xué)家錢偉長，錢學(xué)森，徐芝綸，胡海昌,等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)?！?-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容錢偉長錢學(xué)森胡海昌§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容徐芝綸楊桂通§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容基本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。一、作用與物體上的外力體積力（體力）：作用于物體體內(nèi)表面力（面力）：作用于物體表面1、體力所謂體力是指分布在物體體積內(nèi)的力，一般用單位體積的力表示，如重力、磁力、慣性力?！?-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念

為了表明該物體在某一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，在這一點(diǎn)取物體的一小部分，它包含著P點(diǎn)而它的體積為xyzO設(shè)上所受的力為，令無限減小，則將趨于一定的極限，即則極限矢量即為P點(diǎn)體力的集度，其方向即的極限方向，用、、表示體力分量是在x、y、z軸上的投影，單位：N/m3，量綱：§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念說明：(1)f是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)f的加載方式是任意的(如：重力，磁場力、慣性力等)(3)fx、fy、fz

的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。2、面力所謂面力是指分布在物體表面上的力，一般用單位表面積上的力表示，如風(fēng)力、液壓和接觸力等?！?-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念為了表明該物體在表面上某一點(diǎn)P所受面力的大小和方向，在這一點(diǎn)取物體表面的一小部分，它包含著P點(diǎn)而它的面積為xyzO設(shè)上所受的力為，令無限減小，則將趨于一定的極限，即

則極限矢量即為P點(diǎn)面力的集度，其方向即的極限方向，用、、表示面力分量，是在x、y、z軸上的投影，單位是，量綱：§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念說明：(1)f是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)f的加載方式是任意的(3)

fx、fy、fz

的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。二、應(yīng)力與應(yīng)力分量1、一點(diǎn)應(yīng)力的概念內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(不考慮)(2)由于外力作用引起的相互作用力。物體任何部位的內(nèi)力特征用應(yīng)力來描述，為了說明應(yīng)力的概念，現(xiàn)考察受平衡力系的任意形狀的物體?！?-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念物體受外力作用時，其內(nèi)部相鄰兩部分之間就產(chǎn)生了相互作用力即內(nèi)力，假想過P點(diǎn)用截面mn將物體分為兩部分，撇開一部分，該部分對剩下的部分的作用可用分布在截面上的內(nèi)力來代替。PΔF§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念在截面上任一點(diǎn)P處取一微小面積△A，其上內(nèi)力為△F，則內(nèi)力平均集度為△F/△A，當(dāng)△A無限趨近于P點(diǎn)時，物體在該截面上P點(diǎn)應(yīng)力矢量即△F/△A的極限值：ΔAPΔFn(法線)§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念由上分析可知：①應(yīng)力大小反映了截面上某點(diǎn)內(nèi)力的強(qiáng)度即內(nèi)力分布集度。②過同一點(diǎn)所取的截面方位不同，應(yīng)力也不相同，即應(yīng)力與所取截面的方位有關(guān)。③應(yīng)力是矢量。為了便于描述物體變形和材料強(qiáng)度，一般由正應(yīng)力（沿截面法向）和剪應(yīng)力（沿截面切向）兩個分量來表示。ΔAPΔFn(法線)§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念由于mn截面是任取的，實(shí)際上過P點(diǎn)可取無數(shù)個方位不同的截面，各截面上P點(diǎn)的應(yīng)力是不同的，為此將物體同一點(diǎn)各截面上的應(yīng)力狀況稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。分析一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，對研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。2、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)P的各個面上應(yīng)力狀況的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：!下標(biāo)前一個字母表明作用面垂直于哪個坐標(biāo)軸，后一個字母表面作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。xyzO§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念截面的正負(fù)號：!!截面的外法線方向與坐標(biāo)軸方向一致時為正面；!!截面的外法線方向與坐標(biāo)軸方向相反時為負(fù)面。應(yīng)力的正負(fù)號：!!正面上正方向的力為正；負(fù)面上負(fù)方向的力為正。與材料力學(xué)中剪應(yīng)力τ正負(fù)號規(guī)定的區(qū)別：規(guī)定使得單元體順時轉(zhuǎn)動的剪應(yīng)力τ為正，反之為負(fù)。6個剪應(yīng)力并不是互不相關(guān)的。由材料力學(xué)的剪應(yīng)力互等定律，可以看出它們是兩兩相等的，即§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念可以證明，在物體的任意一點(diǎn)，如果已知

這六個應(yīng)力分量，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。因此，彈性力學(xué)里把稱為該點(diǎn)的應(yīng)力分量。§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念三、形變形變——物體形狀的改變。(1)線段長度的改變(2)兩線段間夾角的改變?yōu)榱吮硎鑫矬w內(nèi)任一點(diǎn)P的變形情況，過P點(diǎn)沿三軸正向取三條微小線段PA、PB、PC，物體變形后，該三條線段長度及它們之間直角必將發(fā)生改變。（1）線段單位長度的伸縮（2）兩線段間夾角的改變?！镁€（正）應(yīng)變ε度量——用剪應(yīng)變γ度量（剪應(yīng)變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念pABC沿x方向沿y方向沿z方向線應(yīng)變——單位長度的伸縮伸長時為正，縮短時為負(fù)；§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念切應(yīng)變符號規(guī)定：沿兩個坐標(biāo)軸正向之間的直角變小為正,變大為負(fù)切應(yīng)變切應(yīng)變——線段間直角的改變（弧度）p可以證明，在物體內(nèi)任一點(diǎn)如果已知這6個應(yīng)變，經(jīng)該點(diǎn)的任一線段的正應(yīng)變和任兩線段之間直角的剪應(yīng)變都可求得，即該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以確定，所以這6個應(yīng)變稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。四、位移位移指的是一點(diǎn)位置的移動。物體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用其在x、y、z三軸上的投影u、v、w來表示，以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。u、v、w

即該點(diǎn)的位移分量。SwuvPxyzO§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念彈性力學(xué)問題：已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（E、μ）、約束條件等，求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量。需建立三個方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；（2）幾何學(xué)關(guān)系：形變與位移間的關(guān)系；（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系?！?-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念§1-2彈性力學(xué)中的幾個基本概念平衡微分方程幾何方程物理方程應(yīng)力邊界條件位移邊界條件微分體的平衡條件微分線段上形變與位移關(guān)系應(yīng)力與形變的物理關(guān)系給定的面力邊界微分體平衡給定的約束邊界上約束條件基本方程邊界條件解方程組求解§1-3彈性力學(xué)中的基本假定為什么要提出基本假定？任何學(xué)科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計算模型歸納為學(xué)科的基本假定。1.連續(xù)性假定整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。

該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時，與工程實(shí)際吻合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時不適用。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。§1-3彈性力學(xué)中的基本假定2、線彈性假定假定物體在引起變形的外力去除后，能完全恢復(fù)原狀。即假定物體完全服從胡克（Hooke）定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系。脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。作用：可使求解方程線性化§1-3彈性力學(xué)中的基本假定3、均勻性假定假定整個物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質(zhì)相同。作用：彈性常數(shù)（E、μ）——不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果