2018中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)-圓的綜合

..2017中考專題復(fù)習(xí)——圓題型一、勾股定理在圓中的應(yīng)用1、〔2012XX如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G,連接AG交CD于K．〔1求證：KE=GE；〔2若=KD·GE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說明理由；〔3在〔2的條件下,若sinE=,AK=,求FG的長．2、〔2014?XX如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交AB于點F,連接BE．〔1求證：AC平分∠DAB；〔2求證：△PCF是等腰三角形；〔3若tan∠ABC=,BE=7,求線段PC的長．3、〔2015?黃陂區(qū)校級模擬如圖,點P在y軸的正半軸上,⊙P交x軸于B、C兩點,以AC為直角邊作等腰Rt△ACD,BD分別交y軸和⊙P于E、F兩點,交連接AC、FC．〔1求證：∠ACF=∠ADB；〔2若點A到BD的距離為m,BF+CF=n,求線段CD的長；〔3當(dāng)⊙P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時,的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請求出其值；若發(fā)生變化,請說明理由．4、〔2013?XX模擬已知：如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點,CM的延長線交⊙O于點E,且EM＞MC．連接DE,DE=．〔1求證：AM?MB=EM?MC；〔2求sin∠EOB的值；〔3若P是直徑AB延長線上的點,且BP=12,求證：直線PE是⊙O的切線．5、〔2012?XX如圖,AE切⊙O于點E,AT交⊙O于點M,N,線段OE交AT于點C,OB⊥AT于點B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2．〔1求∠COB的度數(shù)；〔2求⊙O的半徑R；〔3點F在⊙O上〔是劣弧,且EF=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F重合．在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形,并求出這個三角形與△OBC的周長之比．6、〔2011?濰坊如圖,AB是半徑O的直徑,AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D,連接BD交半圓于點C,連接AC．過O點作BC的垂線OE,垂足為點E,與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP,切點為P,與BN相交于點Q．〔1求證：△ABC∽△OFB；〔2當(dāng)△ABD與△BFO的面枳相等時,求BQ的長；〔3求證：當(dāng)D在AM上移動時〔A點除外,點Q始終是線段BF的中點．專題二、三角函數(shù)在圓中的應(yīng)用1、〔2014XX如圖,在⊙的內(nèi)接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線交⊙O于另一點D,垂足為E.設(shè)P是eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AC>>{eq\o<AC\s\up4<⌒>>}上異于A,C的一個動點,射線AP交于點F,連接PC與PD,PD交AB于點G.〔1求證：△PAC∽△PDF；〔2若AB=5,eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>,求PD的長；〔3在點P運(yùn)動過程中,設(shè),,求與之間的函數(shù)關(guān)系式.〔不要求寫出的取值范圍,2、〔2012?襄陽如圖,PB為⊙O的切線,B為切點,直線PO交⊙于點E、F,過點B作PO的垂線BA,垂足為點D,交⊙O于點A,延長AO與⊙O交于點C,連接BC,AF．〔1求證：直線PA為⊙O的切線；〔2試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明；〔3若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和線段PE的長．3、〔2014?武侯區(qū)校級自主招生如圖,⊙O與直線PC相切于點C,直徑AB∥PC,PA交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F．〔1求證：PF2=EF?FD；〔2當(dāng)tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=時,求PF的長；〔3在〔2條件下,連接BD,判斷△ADB是什么三角形？并證明你的結(jié)論．4、〔2014?XX如圖,△ABC中,∠C=90°,點G是線段AC上的一動點〔點G不與A、C重合,以AG為直徑的⊙O交AB于點D,直線EF垂直平分BD,垂足為F,EF交BC于點E,連結(jié)DE．〔1求證：DE是⊙O的切線；〔2若cosA=,AB=8,AG=2,求BE的長；〔3若cosA=,AB=8,直接寫出線段BE的取值范圍．專題三、相似三角形與圓的綜合應(yīng)用1、〔2010已知：如圖,內(nèi)接于,為直徑,弦于,是的中點,連結(jié)并延長交的延長線于點,連結(jié),分別交、于點、．〔1求證：是的外心；〔2若,求的長；〔3求證：．2、〔2014?XX如圖,⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F,點E是DB延長線上的一點,∠EAB=∠ADB．〔1求證：EA是⊙O的切線；〔2已知點B是EF的中點,求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；〔3已知AF=4,CF=2．在〔2條件下,求AE的長．3、〔2013?XX如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于D,過點D作DE⊥AD交AB于E,以AE為直徑作⊙O．〔1求證：點D在⊙O上；〔2求證：BC是⊙O的切線；〔3若AC=6,BC=8,求△BDE的面積．4、〔2012?XX如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點A,OA=5．OA與⊙O相交于點P,AB與⊙O相切于點B,BP的延長線交直線l于點C．〔1試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；〔2若PC=2,求⊙O的半徑和線段PB的長；〔3若在⊙O上存在點Q,使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求⊙O的半徑r的取值范圍．5、〔2012?德陽如圖,已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點,CH⊥AB于點H,過點B作⊙O的切線交直線AC于點D,點E為CH的中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交AB的延長線于G．〔1求證：AE?FD=AF?EC；〔2求證：FC=FB；〔3若FB=FE=2,求⊙O的半徑r的長．6、如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的內(nèi)切圓分別與三角形的三邊切于點D,E,F,連接AD與內(nèi)切圓相交于點P,連接PC,PE,PF,FD,ED,且PC⊥PF。求證：△PFD∽△PDC；7、〔2012?XX如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于點E．〔1求證：BD是⊙O的切線；〔2若點E為線段OD的中點,證明：以O(shè)、A、C、E為頂點的四邊形是菱形；〔3作CF⊥AB于點F,連接AD交CF于點G〔如圖2,求的值．8、〔2004?XX已知：如圖,直線y=kx+3〔k＞0交x軸于B點,交y軸于A點,以A為圓心,AB為半徑作⊙A交x軸于另一點D,交y軸于E、F兩點,交直線AB于C點,連接BE、CE,∠CBD的平分線交CE于I點．〔1求證：BE=IE；〔2若AI⊥CE,設(shè)Q為弧BF上一點,連接DQ交y軸于T,連接BQ并延長交y軸于G點,求AT?AG的值；〔3設(shè)P為線段AB上的一個動點〔異于A、B,連接PD交y軸于M點,過P、M、B三點作⊙O1交y軸于另一點N．設(shè)⊙O1的半徑為R,當(dāng)時,給出下列兩個結(jié)論：①M(fèi)N的長度不變；②的值不變,其中有且只有一個結(jié)論是正確的,請你判斷哪一個結(jié)論正確,證明正確的結(jié)論并求出其值．專題四、圓中的面積問題1、〔2013如圖,⊙的半徑,四邊形內(nèi)接圓⊙,于點,為延長線上的一點,且.〔1試判斷與⊙的位置關(guān)系,并說明理由：〔2若,,求的長；〔3在〔2的條件下,求四邊形的面積.2、〔2013?XX如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC邊上一點,以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點D,與AC、BC邊分別交于點E、F、G,連接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=．〔1求⊙O的半徑OD；〔2求證：AE是⊙O的切線；〔3求圖中兩部分陰影面積的和．3、如圖,圓O的直徑為5,在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P,已知BC:CA＝4:3,點P在半圓弧AB上運(yùn)動〔不與A、B兩點重合,過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．〔1求證：AC·CD＝PC·BC；〔2當(dāng)點P運(yùn)動到AB弧中點時,求CD的長；〔3當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,△PCD的面積最大？并求這個最大面積S．AAOBPDC4、〔XX省XX市2009如圖,Rt△ABC內(nèi)接于⊙O,AC＝BC,∠BAC的平分線AD與⊙O交于點D,與BC交于點E,延長BD,與AC的延長線交于點F,連結(jié)CD,G是CD的中點,連結(jié)OG．〔1判斷OG與CD的位置關(guān)系,寫出你的結(jié)論并證明；〔2求證：AE＝BF；ACBFDEOG〔3若OG·DE＝3<ACBFDEOG5、如圖,⊙O的半徑為1,點P是⊙O上一點,弦AB垂直平分線段OP,點D是弧eq\o<\s\up5<⌒>,APB>上的任一點〔與端點A、B不重合,DE⊥AB于點E,以D為圓心、DE長為半徑作⊙D,分別過點A、B作⊙D的切線,兩條切線相交于點C．CPDOCPDOBAE〔2判斷∠ACB是否為定值,若是,求出∠ACB的大小；否則,請說明理由；〔3記△ABC的面積為S,若＝,求△ABC的周長．6、如圖,等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點,⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心,順次連接A、O1、B、O2．〔1求證：四邊形AO1BO2是菱形；〔2過直徑AC的端點C作⊙O1的切線CE交AB的延長線于E,連接CO2交AE于D,求證：CE＝2O2D；〔3在<2>的條件下,若△AO2D的面積為1,求△BO2D的面積．專題五、中點在圓中的應(yīng)用1、〔2011已知：如圖,以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心,OA長為半徑作⊙O,⊙O經(jīng)過B、D兩點,過點B作BK⊥AC,垂足為K。過D作DH∥KB,DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．<1>求證：AE=CK；<2>如果AB=,AD=<為大于零的常數(shù)>,求BK的長：<3>若F是EG的中點,且DE=6,求⊙O的半徑和GH的長．2、〔2014?XX如圖,以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O,⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D,過點D作⊙O的切線交AC于點E．〔1求證：DE⊥AC；〔2若AB=3DE,求tan∠ACB的值．3、〔2014?XX如圖,AB為⊙O的直徑,以AB為直角邊作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜邊BC與⊙O交于點D,過點D作⊙O的切線DE交AC于點E,DG⊥AB于點F,交⊙O于點G．〔1求證：E是AC的中點；〔2若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的長．4、〔2010?XX如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC．O是CD邊的中點,以O(shè)為圓心,OC長為半徑作圓,交BC邊于點E．過E作EH⊥AB,垂足為H．已知⊙O與AB邊相切,切點為F．〔1求證：OE∥AB；〔2求證：EH=AB；〔3若,求的值．5、011?XX如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點D在線段AC上．〔1證明：B、C、E三點共線；〔2若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,證明：MN=OM；〔3將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜90°后,記為△D1CE1〔圖2,若M1是線段BE1的中點,N1是線段AD1的中點,M1N1=OM1是否成立？若是,請證明；若不是,說明理由．6、〔2011?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A〔10,0,以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C,點B是該半圓周上一動點,連接OB、AB,并延長AB至點D,使DB=AB,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線OB于點E、F,點E為垂足,連接CF．〔1當(dāng)∠AOB=30°時,求弧AB的長度；〔2當(dāng)DE=8時,求線段EF的長；〔3在點B運(yùn)動過程中,是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似？若存在,請求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．/2015中考圓答案1、〔略2、〔2014?XX如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交AB于點F,連接BE．〔1求證：AC平分∠DAB；〔2求證：△PCF是等腰三角形；〔3若tan∠ABC=,BE=7,求線段PC的長．解答：解：〔1∵PD切⊙O于點C,∴OC⊥PD．又∵AD⊥PD,∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB．〔2∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO,∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF,∴△PCF是等腰三角形．〔3連接AE．∵CE平分∠ACB,∴=,∴．∵AB為⊙O的直徑,∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中,．∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,∴．又∵tan∠ABC=,∴,∴．設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,∵PC2+OC2=OP2,∴〔4k2+72=〔3k+72,∴k=6〔k=0不合題意,舍去．∴PC=4k=4×6=24．3、〔2015?黃陂區(qū)校級模擬如圖,點P在y軸的正半軸上,⊙P交x軸于B、C兩點,以AC為直角邊作等腰Rt△ACD,BD分別交y軸和⊙P于E、F兩點,交連接AC、FC．〔1求證：∠ACF=∠ADB；〔2若點A到BD的距離為m,BF+CF=n,求線段CD的長；〔3當(dāng)⊙P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時,的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請求出其值；若發(fā)生變化,請說明理由．解答：〔1證明：連接AB,∵OP⊥BC,∴BO=CO,∴AB=AC,又∵AC=AD,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,又∵∠ABD=∠ACF,∴∠ACF=∠ADB．〔2解：過點A作AM⊥CF交CF的延長線于M,過點A作AN⊥BF于N,連接AF,則AN=m,∴∠ANB=∠AMC=90°,在△ABN和△ACM中,∴Rt△ABN≌Rt△ACM〔AAS∴BN=CM,AN=AM,又∵∠ANF=∠AMF=90°,在Rt△AFN和Rt△AFM中,∴Rt△AFN≌Rt△AFM〔HL,∴NF=MF,∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF,=BN+CM=2BN=n,∴BN=,∴在Rt△ABN中,AB2=BN2+AN2=m2+=m2+,在Rt△ACD中,CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+,∴CD=．〔3解：的值不發(fā)生變化,過點D作DH⊥AO于N,過點D作DQ⊥BC于Q,∵∠DAH+∠OAC=90°,∠DAH+∠ADH=90°,∴∠OAC=∠ADH,在△DHA和△AOC中,∴Rt△DHA≌Rt△AOC〔AAS,∴DH=AO,AH=OC,又∵BO=OC,∴HO=AH+AO=OB+DH,而DH=OQ,HO=DQ,∴DQ=OB+OQ=BQ,∴∠DBQ=45°,又∵DH∥BC,∴∠HDE=45°,∴△DHE為等腰直角三角形,∴=,∴=．4、〔2013?XX模擬已知：如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點,CM的延長線交⊙O于點E,且EM＞MC．連接DE,DE=．〔1求證：AM?MB=EM?MC；〔2求sin∠EOB的值；〔3若P是直徑AB延長線上的點,且BP=12,求證：直線PE是⊙O的切線．解答：解：〔1連接AE,BC,∵∠AEC與∠MBC都為所對的圓周角,∴∠AEC=∠MBC,又∠AME=∠BMC〔對頂角相等,∴△AME∽△CMB,∴AM：CM=EM：MB,即AM?MB=EM?MC；〔2如圖,∵DC為⊙O的直徑,∴DE⊥EC,∵DC=8,DE=,∴EC===7,設(shè)EM=x,由于M為OB的中點,∴BM=2,AM=6,∴AM?MB=x?〔7﹣x,即6×2=x〔7﹣x,整理得：x2﹣7x+12=0,解得：x1=3,x2=4,∵EM＞MC,∴EM=4,∵OE=EM=4,∴△OEM為等腰三角形,過E作EF⊥OM,垂足為F,則OF=OM=1,∴EF===,∴sin∠EOB=；〔3在Rt△EFP中,EF=,PF=FB+BP=3+12=15,根據(jù)勾股定理得：EP===4,又OE=4,OP=OB+BP=4+12=16,∴OE2+EP2=16+240=256,OP2=256,∴OE2+EP2=OP2,∴∠OEP=90°,則EP為圓O的切線．5、〔2012?XX如圖,AE切⊙O于點E,AT交⊙O于點M,N,線段OE交AT于點C,OB⊥AT于點B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2．〔1求∠COB的度數(shù)；〔2求⊙O的半徑R；〔3點F在⊙O上〔是劣弧,且EF=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F重合．在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形,并求出這個三角形與△OBC的周長之比．解答：解：〔1∵AE切⊙O于點E,∴AE⊥CE,又OB⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°,又∠BCO=∠ACE,∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°；〔2∵AE=3,∠A=30°,∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3,∵OB⊥MN,∴B為MN的中點,又MN=2,∴MB=MN=,連接OM,在△MOB中,OM=R,MB=,∴OB==,在△COB中,∠BOC=30°,∵cos∠BOC=cos30°==,∴BO=OC,∴OC=OB=,又OC+EC=OM=R,∴R=+3,整理得：R2+18R﹣115=0,即〔R+23〔R﹣5=0,解得：R=﹣23〔舍去或R=5,則R=5；〔3以EF為斜邊,有兩種情況,以EF為直角邊,有四種情況,所以六種,畫直徑FG,連接EG,延長EO與圓交于點D,連接DF,如圖所示：∵EF=5,直徑ED=10,可得出∠FDE=30°,∴FD=5,則C△EFD=5+10+5=15+5,由〔2可得C△COB=3+,∴C△EFD：C△COB=〔15+5：〔3+=5：1．∵EF=5,直徑FG=10,可得出∠FGE=30°,∴EG=5,則C△EFG=5+10+5=15+5,∴C△EFG：C△COB=〔15+5：〔3+=5：1．6、〔2011?濰坊如圖,AB是半圓O的直徑,AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D,連接BD交半圓于點C,連接AC．過O點作BC的垂線OE,垂足為點E,與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP,切點為P,與BN相交于點Q．〔1求證：△ABC∽△OFB；〔2當(dāng)△ABD與△BFO的面枳相等時,求BQ的長；〔3求證：當(dāng)D在AM上移動時〔A點除外,點Q始終是線段BF的中點．．解答：〔1證明：∵AB為直徑,∴∠ACB=90°,即：AC⊥BC,又OE⊥BC,∴OE∥AC,∴∠BAC=∠FOB,∵BN是半圓的切線,∴∠BCA=∠FBO=90°,∴△ABC∽△OFB．〔2解：由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°,∵AM、BN是⊙O的切線,∴∠DAB=∠OBF=90°,∴△ABD∽△BFO,∴當(dāng)△ABD與△BFO的面積相等時,△ABD≌△BFO,∴AD=OB=1,∵DP切圓O,DA切圓O,∴DP=DA,∵△ABD≌△BFO,∴DA=BO=PO=DP,又∵∠DAO=∠DPO=90°,∴四邊形AOPD是正方形,∴DQ∥AB,∴四邊形ABQD是矩形,∴BQ=AD=1；〔3證明：由〔2知,△ABD∽△BFO,∴=,∴BF===,∵DP是半圓O的切線,射線AM、BN為半圓O的切線,∴AD=DP,QB=QP,過Q點作AM的垂線QK,垂足為K,在Rt△DQK中,DQ2=QK2+DK2,∴〔AD+BQ2=〔AD﹣BQ2+22．∴BQ=,∴BF=2BQ,∴Q為BF的中點．專題二、三角函數(shù)在圓中的應(yīng)用1、〔2014XX如圖,在圓O的內(nèi)接ΔABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線l交圓O于另一點D,垂足為E,P為弧eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AC>>上異于A、C的一個動點,射線AP交l于點F,連接PC與PD,PD交AB與點C?！?求證：ΔPAC∽ΔPDF；〔2若AB=5,eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>,求PD的長；〔3在點P運(yùn)動過程中,設(shè),tan∠AFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式?！膊灰髮懗鰔的取值范圍解：〔1同弧所對的圓周角相等∠PAC=∠PDC,∠AFD=∠ABP=∠ACP,∴ΔPAC∽ΔPDF；〔2eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>且AB為直徑；∴ΔAPB為等腰直角三角形；又∵AB=5,AC=2BC；∴；∴由射影定理可得DE=CE=2,BE=1,AE=4；又∵∠APB=∠AEF=90°；∴∠AFE=∠ABP=45°；∴FE=AE=4；由〔1的相似可得,即,∴?！?如圖,過點G作GH┴PB于點H,∵；∴；又∵eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<AP>>=eq\o<\s\up5<⌒>,\s\do2<BP>>；∴∠HPG=∠CAB；∴∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.2、〔2012?襄陽如圖,PB為⊙O的切線,B為切點,直線PO交⊙于點E、F,過點B作PO的垂線BA,垂足為點D,交⊙O于點A,延長AO與⊙O交于點C,連接BC,AF．〔1求證：直線PA為⊙O的切線；〔2試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明；〔3若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和線段PE的長．解答：解：〔1連接OB,∵PB是⊙O的切線,∴∠PBO=90°,∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB,又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO〔SAS,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴OA⊥PA,∴直線PA為⊙O的切線．〔2EF2=4OD?OP．證明：∵∠PAO=∠PDA=90°∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°,∴∠OAD=∠OPA,∴△OAD∽△OPA,∴=,即OA2=OD?OP,又∵EF=2OA,∴EF2=4OD?OP．〔3∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3〔三角形中位線定理,設(shè)AD=x,∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3,在Rt△AOD中,由勾股定理,得〔2x﹣32=x2+32,解之得,x1=4,x2=0〔不合題意,舍去,∴AD=4,OA=2x﹣3=5,∵AC是⊙O直徑,∴∠ABC=90°,又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB==．∵OA2=OD?OP,∴3〔PE+5=25,∴PE=．3、〔2014?武侯區(qū)校級自主招生如圖,⊙O與直線PC相切于點C,直徑AB∥PC,PA交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F．〔1求證：PF2=EF?FD；〔2當(dāng)tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=時,求PF的長；〔3在〔2條件下,連接BD,判斷△ADB是什么三角形？并證明你的結(jié)論．Rt△．解答：解：〔1∵AB∥PC,∴∠BPC=∠ABE=∠ADE．又∵∠PFE=∠DFP,△PFE∽△DFP,∴PF：EF=DF：PF,PF2=EF?FD．〔2連接AE,∵AB為直徑,∴AE⊥BP．∵tan∠APB==,tan∠ABE==,令A(yù)E=a,PE=2a,BE=3a,AP=a=,∴a==AE,PE=,BE=．∵PC為切線,∴PC2=PE?PB=4．∴PC=2．∵FC2=FE?FD=PF2∴PF=FC==1,∴PF=1．〔3△ADB為等腰直角三角形．∵AB為直徑,∴∠ADB=90°．∵PE?PB=PA?PD,∴PD=2BD===AD．∴△ADB為等腰Rt△．4、〔2014?XX如圖,△ABC中,∠C=90°,點G是線段AC上的一動點〔點G不與A、C重合,以AG為直徑的⊙O交AB于點D,直線EF垂直平分BD,垂足為F,EF交BC于點E,連結(jié)DE．〔1求證：DE是⊙O的切線；〔2若cosA=,AB=8,AG=2,求BE的長；〔3若cosA=,AB=8,直接寫出線段BE的取值范圍．解答：〔1證明：連接OD,如圖,∵△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵直線EF垂直平分BD,∴ED=EB,∴∠B=∠EDB,∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠ODA+∠EDB=90°,∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切線；〔2解：連接GD,∵AG為直徑,∴∠ADG=90°,∵cosA=,∴∠A=60°,∴∠AGD=30°,∴AD=AG=,∵AB=8,∴BD=AB﹣AD=8﹣=7,∵直線EF垂直平分BD,∴BF=BD=,在Rt△BEF中,∠B=30°,∴EF=BF=,∴BE=2EF=7；〔3解：∵cosA=,∴∠A=60°,∴∠B=30°,∴AC=AB=4,由〔2得AD=AG,BF=〔AB﹣AD=4﹣AG,在Rt△BEF中,∠B=30°,∴EF=BF,∴BE=2EF=BF=〔4﹣AG=8﹣AG,∵0＜AG＜AC,即0＜AG＜4,∴6＜BE＜8．專題三、相似三角形與圓的綜合應(yīng)用1、〔略2、〔2014?XX如圖,⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F,點E是DB延長線上的一點,∠EAB=∠ADB．〔1求證：EA是⊙O的切線；〔2已知點B是EF的中點,求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；〔3已知AF=4,CF=2．在〔2條件下,求AE的長．解答：〔1證明：如圖1,連接CD,∵AC是⊙O的直徑,∴∠ADC=90°,∴∠ADB+∠EDC=90°,∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,∴EA是⊙O的切線．〔2證明：如圖2,連接BC,∵AC是⊙O的直徑,∴∠ABC=90°,∴∠CBA=∠ABC=90°∵B是EF的中點,∴在RT△EAF中,AB=BF,∴∠BAC=∠AFE,∴△EAF∽△CBA．〔3解：∵△EAF∽△CBA,∴=,∵AF=4,CF=2．∴AC=6,EF=2AB,∴=,解得AB=2．∴EF=4,∴AE===4,3、〔2013?XX如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于D,過點D作DE⊥AD交AB于E,以AE為直徑作⊙O．〔1求證：點D在⊙O上；〔2求證：BC是⊙O的切線；〔3若AC=6,BC=8,求△BDE的面積．解答：〔1證明：連接OD,∵△ADE是直角三角形,OA=OE,∴OD=OA=OE,∴點D在⊙O上；〔2證明：∵AD是∠BAC的角平分線,∴∠CAD=∠DAB,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴AC∥OD,∴∠C=∠ODB=90°,∴BC是⊙O的切線；〔3解：在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,∴根據(jù)勾股定理得：AB=10,設(shè)OD=OA=OE=x,則OB=10﹣x,∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,∴==,即=,解得：x=,∴OD=,BE=10﹣2x=10﹣=,∵=,即=,∴BD=5,過E作EH⊥BD,∵EH∥OD,∴△BEH∽△BOD,∴=,即=,∴EH=,∴S△BDE=BD?EH=．4、〔2012?XX如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點A,OA=5．OA與⊙O相交于點P,AB與⊙O相切于點B,BP的延長線交直線l于點C．〔1試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；〔2若PC=2,求⊙O的半徑和線段PB的長；〔3若在⊙O上存在點Q,使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求⊙O的半徑r的取值范圍．解答：解：〔1AB=AC,理由如下：連接OB．∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,∴∠OBA=∠OAC=90°,∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,∵OP=OB,∴∠OBP=∠OPB,∵∠OPB=∠APC,∴∠ACP=∠ABC,∴AB=AC；〔2延長AP交⊙O于D,連接BD,設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,AC2=PC2﹣PA2=﹣〔5﹣r2,∴52﹣r2=﹣〔5﹣r2,解得：r=3,∴AB=AC=4,∵PD是直徑,∴∠PBD=90°=∠PAC,又∵∠DPB=∠CPA,∴△DPB∽△CPA,∴=,∴=,解得：PB=．∴⊙O的半徑為3,線段PB的長為；〔3作出線段AC的垂直平分線MN,作OE⊥MN,則可以推出OE=AC=AB=又∵圓O與直線MN有交點,∴OE=≤r,≤2r,25﹣r2≤4r2,r2≥5,∴r≥,又∵圓O與直線相離,∴r＜5,即≤r＜5．5、〔2012?德陽如圖,已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點,CH⊥AB于點H,過點B作⊙O的切線交直線AC于點D,點E為CH的中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交AB的延長線于G．〔1求證：AE?FD=AF?EC；〔2求證：FC=FB；〔3若FB=FE=2,求⊙O的半徑r的長．解答：〔1證明：∵BD是⊙O的切線,∴∠DBA=90°,∵CH⊥AB,∴CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,∴=,∴AE?FD=AF?EC．〔2證明：連接OC,BC,∵CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,∴=,=,∴==,∵CE=EH〔E為CH中點,∴BF=DF,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=∠DCB=90°,∵BF=DF,∴CF=DF=BF〔直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即CF=BF．〔3解：∵BF=CF=DF〔已證,EF=BF=2,∴EF=FC,∴∠FCE=∠FEC,∵∠AHE=∠CHG=90°,∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°,∵∠AEH=∠CEF,∴∠G=∠FAG,∴AF=FG,∵FB⊥AG,∴AB=BG,∵BF切⊙O于B,∴∠FBC=∠CAB,∵OC=OA,CF=BF,∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC,∴∠FCB=∠CAB,∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∴∠FCB+∠BCO=90°,即OC⊥CG,∴CG是⊙O切線,∵GBA是⊙O割線,AB=BG〔已證,FB=FE=2,∴由切割線定理得：〔2+FG2=BG×AG=2BG2,在Rt△BFG中,由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2,∴FG2﹣4FG﹣12=0,解得：FG=6,FG=﹣2〔舍去,由勾股定理得：AB=BG==4,∴⊙O的半徑是2．6、〔略7、〔略8、〔2004?XX已知：如圖,直線y=kx+3〔k＞0交x軸于B點,交y軸于A點,以A為圓心,AB為半徑作⊙A交x軸于另一點D,交y軸于E、F兩點,交直線AB于C點,連接BE、CE,∠CBD的平分線交CE于I點．〔1求證：BE=IE；〔2若AI⊥CE,設(shè)Q為弧BF上一點,連接DQ交y軸于T,連接BQ并延長交y軸于G點,求AT?AG的值；〔3設(shè)P為線段AB上的一個動點〔異于A、B,連接PD交y軸于M點,過P、M、B三點作⊙O1交y軸于另一點N．設(shè)⊙O1的半徑為R,當(dāng)時,給出下列兩個結(jié)論：①M(fèi)N的長度不變；②的值不變,其中有且只有一個結(jié)論是正確的,請你判斷哪一個結(jié)論正確,證明正確的結(jié)論并求出其值．解答：〔1證明：∵AE⊥BD,∴弧BE=弧DE．∴∠1=∠2．∵∠3=∠4,∠5=∠2+∠3,∠IBE=∠1+∠4,∴∠5=∠IBE．∴BE=IE．〔2解：連接QC、TB,則∠6+∠CBQ=90°,又∠7+∠8=90°,而∠6=∠7,∴∠CBQ=∠8=∠9．∴△ABG∽△ATB．∴AB2=AG?AT．∵AI⊥CE,∴I為CE的中點．∴AE=AC,IE=IC．∴△BEO∽△CBE．∴OE：OB=BE：CE=1：2．設(shè)⊙A的半徑為R,由AB2﹣OA2=BO2,OE=R﹣3,得R2﹣32=4〔R﹣32解得R=5,或R=3〔不合題意,舍去．∴AT?AG=AB2=25．〔方法二提示：可連接AD、CD證△BAG∽△TAD〔3解：②的值不變．證明：作O1K⊥MN于K,連接O1N、PN、BM,則MN=2NK,且∠NO1K=∠1,∴==2sin∠NO1K=2sin∠1由直線y=x+3得OB=OD=4,OM⊥BD,∴∠2=∠3．又∠2=∠4+∠5,∠3=∠1+∠6,∵∠5=∠6,∴∠1=∠4=∠NO1K,=2sin∠4=2×=．所以的值不變,其值為．專題四、圓中的面積問題1、<1>如圖,連接DO并延長交圓于點E,連接AE∵DE是直徑,∴∠DAE=90°,∴∠E+∠ADE=90°∵∠PDA=∠ADB=∠E∴∠PDA+∠ADE=90°即PD⊥DO∴PD與圓O相切于點D<2>∵tan∠ADB=∴可設(shè)AH=3k,則DH=4k∵∴PA=∴PH=∴∠P=30°,∠PDH=60°∴∠BDE=30°連接BE,則∠DBE=90°,DE=2r=50∴BD=DE·cos30°=<3>由〔2知,BH=-4k,∴HC=<-4k>又∵∴解得k=∴AC=∴S=28．〔1〔2M的坐標(biāo)是〔1-,--2、〔1+,-2、〔4,-1、〔2,-3、〔-2,-7〔3的最大值是/2、〔2013?XX如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC邊上一點,以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點D,與AC、BC邊分別交于點E、F、G,連接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=．〔1求⊙O的半徑OD；〔2求證：AE是⊙O的切線；〔3求圖中兩部分陰影面積的和．解答：解：〔1∵AB與圓O相切,∴OD⊥AB,在Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD==,∴OD=3；〔2連接OE,∵AE=OD=3,AE∥OD,∴四邊形AEOD為平行四邊形,∴AD∥EO,∵DA⊥AE,∴OE⊥AC,又∵OE為圓的半徑,∴AE為圓O的切線；〔3∵OD∥AC,∴=,即=,∴AC=7.5,∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,∴S陰影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．3略4略5略6略專題五、中點在圓中的應(yīng)用、1、略2、〔2014?XX如圖,以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O,⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D,過點D作⊙O的切線交AC于點E．〔1求證：DE⊥AC；〔2若AB=3DE,求tan∠ACB的值．解答：〔1證明：連接OD,∵D是BC的中點,OA=OB,∴OD是△ABC的中位線,∴OD∥AC,∵DE是⊙O的切線,∴OD⊥DE,∴DE⊥AC；〔2解：連接AD,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AC,∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°,∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中,∴△CDE∽△DAE,∴,設(shè)tan∠ACB=x,CE=a,則DE=ax,AC=3ax,AE=3ax﹣a,∴,整理得：x2﹣3x+1=0,解得：x=,∴tan∠ACB=或．〔可以看出△ABC分別為銳角、鈍角三角形兩種情況3、014?XX如圖,AB為⊙O的直徑,以AB為直角邊作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜邊BC與⊙O交于點D,過點D作⊙O的切線DE交AC于點E,DG⊥AB于點F,交⊙O于點G．〔1求證：E是AC的中點；〔2若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的長．解答：〔1證明：連AD,如圖∵AB為⊙O的直徑,∠CAB=90°,∴AC是⊙O的切線,又∵DE與⊙O相切,∴ED=EA,∴∠EAD=∠EDA,而∠C=90°﹣∠EAD,∠CDE=90°﹣∠EDA,∴∠C=∠CDE,∴ED=EC,∴EA=EC,即E為AC的中點；〔2解：由〔1知,E為AC的中點,則AC=2AE=6．∵cos∠ACB=,設(shè)AC=2x,BC=3x,根據(jù)勾股定理,得AB==〔3x2﹣〔2x2=x,∴sin∠ACB=．連接AD,則∠ADC=90°,∴∠ACB+∠CAD=90°,∵∠CAD+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠ACB,在Rt△ACD中,AD=AC?sin∠ACB=6×=．在Rt△ADF中,DF=AD?sin∠DAF=AD?sin∠ACB=×=,∴DG=2DF=．4略5、〔2011?XX如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點D在線段AC上．〔1證明：B、C、E三點共線；〔2若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,證明：MN=OM；〔3將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜90°后