測試信號周浩敏版第二章

第二章信號分析和處理基礎(chǔ)

傅里葉級數(shù)，傅里葉變換

傅里葉分析傅里葉變換傅立葉變換是現(xiàn)行系統(tǒng)分析的一個有力工具，它是我們能夠定量的分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點(diǎn)，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點(diǎn)等的作用（效應(yīng)）。把傅立葉變換的理論同其物理解釋相結(jié)合，將大大有助于解決大多數(shù)圖像處理問題。而發(fā)展了這兩種技能的人一般都是電子工程或是物理光學(xué)方面的學(xué)生，他們在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)了這種技能。對任何想在工作中有效使用數(shù)字圖像處理的人來說，把時間用在熟悉傅立葉變換上是很值得的?！訩.R.Castleman.數(shù)字圖像處理1807年：傅里葉提出“任何”周期信號均可用正弦級數(shù)表示1829年：狄義赫利指出，分解要滿足若干限制條件（三個）變換域分析——就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信號，或者說，信號用完備的正交函數(shù)集來展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章傅立葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。

信號表示為正交函數(shù)分量的原理與矢量分解為正交矢量的概念類似。信號表示為正交函數(shù)集一、矢量的分量和矢量的分解矢量在矢量上的分量示意圖圖(a)中

——用分量來近似代表原矢量的誤差矢量。圖中為在上的斜投影，可有無窮多個斜投影，用斜投影近似代表原矢量時，都大于。結(jié)論：若用一矢量的分量去代表原矢量而誤差矢量最小，則這個分量只能是原矢量的垂直投影。圖(a)中從幾何圖上可得：從解析角度：

則令也可導(dǎo)出——是在最小平方誤差的意義上標(biāo)志著和相互近似程度。例如：和相同時，時，由圖還可看出，其中，與組成一正交矢量。平面矢量分解圖

和是一組模為1的正交矢量空間中的矢量分解圖矢量空間的概念可以引申到n維。設(shè)n維正交矢量集為即則二.信號的分量和信號的分解

信號常以時間函數(shù)表示，所以信號的分解指的就是函數(shù)的分解。1、函數(shù)的分量設(shè)在區(qū)間內(nèi)，用函數(shù)在另一函數(shù)中的分量來近似的代表原函數(shù)。取何值時，得到最佳近似？選擇誤差函數(shù)的方均值為最小。即方均值為求此值最小時的令解得矢量分解——是在最小方均誤差的意義上代表二函數(shù)和間的相關(guān)聯(lián)的程度。稱和在區(qū)間內(nèi)為正交，構(gòu)成了一個正交函數(shù)集。稱與正交，組成正交矢量。例1：試用正弦函數(shù)sint在區(qū)間（0，2

）內(nèi)來近似表示此函數(shù)，使均方誤差最小。1t01所以解：在區(qū)間內(nèi)近似為例2：試用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)近似表示解：也即cost不包含sint分量，或說cost與sint正交。2、正交信號空間

設(shè)n個函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足下列正交特性：——常數(shù)則稱此函數(shù)集為正交函數(shù)集，這n個構(gòu)成一個n維正交信號空間。任意一個代表信號的函數(shù)f（t），在區(qū)間內(nèi)可以用組成信號空間的n個正交函數(shù)的線性組合來近似。理論上講在使近似式的均方誤差最小條件下，可求得均方誤差3、用完備正交函數(shù)集表示信號如果用正交函數(shù)集，，…

在區(qū)間近似表示函數(shù)方均誤差為若令趨于無限大，的極限等于零則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集定義1：定義2：如果在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù)x（t）滿足等式i為任意整數(shù)則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。這有兩層意思：1，如果x（t）在區(qū)間內(nèi)與正交，則x（t）必屬于這個正交集。2，若x（t）與正交，但中不包含x（t），則此集不完備。4、復(fù)變函數(shù)的正交特性。

若和是t的復(fù)變函數(shù)，則有關(guān)正交特性的描述如下：

若在區(qū)間內(nèi)可由來近似，使均方誤差幅度最小的之最佳值是

兩個復(fù)變函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)互相正交的條件是：如果在區(qū)間內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集，滿足則稱此為正交函數(shù)集例:(1)三角函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例:(2)復(fù)指數(shù)函數(shù)集是一個復(fù)變函數(shù)集，也是完備正交函數(shù)集。本章概要周期信號的正交函數(shù)分解周期信號的傅里葉級數(shù)（建立信號頻譜的概念）非周期信號的傅里葉變換（連續(xù)頻譜）傅里葉變換的性質(zhì)周期信號的傅里葉變換采樣信號（離散信號）的傅里葉變換采樣定理信號系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)：若干相互作用、相互關(guān)聯(lián)事物組合而成具有特定功能的整體激勵：系統(tǒng)的輸入響應(yīng)：系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的性質(zhì)（屬性）：線性性：可加性、齊次性時不變性：穩(wěn)定性：BIBO原則：輸入有界，則輸出有界因果性：某一時刻的響應(yīng)只與該時刻以前的系統(tǒng)激勵（輸入）有關(guān)，而與該時刻以后的系統(tǒng)激勵無關(guān)。系統(tǒng)的描述分析方法系統(tǒng)模型描述的兩種方法：輸入/輸出描述，狀態(tài)變量描述系統(tǒng)分析的兩種方法：時域分析：最常用的是把一個信號在時域上分解為具有不同延時的簡單沖激信號分量的疊加，通過卷積的方法進(jìn)行系統(tǒng)的時域分析。

方法直觀，物理概念清晰；復(fù)雜信號分解困難。頻域分析：最基本的是把信號分解為一系列不同頻率正弦分量的疊加，即傅里葉變換（級數(shù)）的方法來進(jìn)行信號分析，這種方法也稱之為“頻譜分析”。

可把卷積積分轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)方程求解，通過傅里葉變換把復(fù)雜的卷積計算轉(zhuǎn)換為簡單的乘積運(yùn)算。信號的卷積運(yùn)算信號f1(t)和f2(t)的卷積計算公式為：卷積運(yùn)算

三個性質(zhì)I交換律f1*f2=f2*f1

(通過變換積分變量來證明)II

分配律f1*(f2+f3

)=f1*f2+f1*f3

(利用積分運(yùn)算的線性性來證明)III結(jié)合律(f1*f2

)*f3=f1*(f2*f3

)用于并聯(lián)系統(tǒng)的分析用于串聯(lián)系統(tǒng)的分析卷積積分的次序可以交換卷積運(yùn)算III結(jié)合律(f1*f2

)*f3=f1*(f2*f3

)（卷積定義）（二重積分）（變換積分次序）（變量替換）（定義）（定義）證明卷積運(yùn)算兩個信號卷積的微分等于其中任一信號的微分與另一信號卷積。卷積的微分（定義）（交換微分、積分順序）（定義）·卷積運(yùn)算兩個信號卷積的積分分等于其中任一信號的積分與另一信號卷積。卷積的積分一個函數(shù)與單位階躍函數(shù)的卷積等于該函數(shù)的積分。卷積的積分特性沖激函數(shù)的搬移特性證明卷積運(yùn)算應(yīng)用類似的推演可以導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)或多重積分之運(yùn)算規(guī)律上式中的m、n及n-m取正整數(shù)時為導(dǎo)數(shù)的階次，而取負(fù)整數(shù)時為重積分的次數(shù)。卷積運(yùn)算卷積運(yùn)算的圖解步驟先把兩個信號的自變量變?yōu)棣?，即兩個信號變?yōu)閒1(τ)與f2(τ)。任意給定某個t0，卷積式可以如下解釋：將f2(τ)關(guān)于τ進(jìn)行反褶得到f2(-τ)；再平移至t0得到f2(-(τ-t0))=f2(t0-τ)；與f1(τ)相乘得到f1(τ).f2(t0-τ)；(4)對τ進(jìn)行積分得到，這就是s(t0)；不斷變化t0，就可以得到s(t)。卷積的幾何作圖法函數(shù)f(t)函數(shù)h(-τ)函數(shù)h(t)函數(shù)h(t-τ)剛反褶時對應(yīng)零平移卷積的幾何作圖法從負(fù)無窮平移而來不是求圖形相交部分的面積，而是求相交結(jié)果函數(shù)的面積卷積的幾何作圖法卷積的幾何作圖法最終的卷積結(jié)果卷積的幾何作圖法在上述一個信號的反褶信號的滑動過程中，它與另外一個信號的重合面積隨t的變化曲線就是所求的兩個信號的卷積的波形。可以根據(jù)上面的幾何解釋來估計或求出兩個信號卷積運(yùn)算結(jié)果。卷積運(yùn)算如何理解卷積運(yùn)算？?說法一：簡單!背公式嘛:

“知其然不知其所以然”?說法二：用幾何解釋!作圖嘛：

游離于表象，“淺嘗則止”?（正宗說法）由物理意義順藤摸瓜 對物理現(xiàn)象的描述，為研究方便而引入

ILTI系統(tǒng)的輸入、輸出的關(guān)系☆

II

時域、頻域中與乘法相對應(yīng)的運(yùn)算☆正交分解研究（信號）的方法：

用熟悉的、已知的信號（表示）陌生、未知的信號 用簡單的信號（表示）復(fù)雜的信號對表示的要求：

能不能做到少失真？甚至不失真（即完全相等）？現(xiàn)有的分解方法：

有的太簡單－－交直流分量分解、奇偶分量分解、虛實(shí)部分量分解有的太粗糙－－脈沖分量分解

希望：簡單、精確、直觀、有效正交分解簡單、精確、直觀、有效對基本成分有要求?；痉至勘仨殱M足下面的條件：1數(shù)量上有要求。（對平面上的矢量：VxVy兩個）2質(zhì)量上有要求。（對平面上的矢量：Vx和Vy相互垂直）3能力上有要求。（對平面上的矢量：任意矢量都可唯一地合成出來）信號正交分量分解如果在區(qū)間(t1,t2)上,函數(shù)f1(t)和f2(t)互不含有對方的分量，則稱f1(t)與f2(t)在(t1,t2)上正交

函數(shù)正交的充要條件是它們的內(nèi)積為0函數(shù)g1(t)和g2(t)在(t1,t2)上的內(nèi)積：{gn(t):1≤n≤N}是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集的條件：正交函數(shù)：信號正交分量分解任一函數(shù)f(t)在(t1,t2)上可（近似）表示為正交函數(shù)集內(nèi)函數(shù)的線性組合。正交分量的系數(shù)如果一個函數(shù)可以用一組相互正交的函數(shù)的線性組合來表示，我們就稱某個正交函數(shù)與相應(yīng)的線性系數(shù)的乘積為該正交函數(shù)上的正交分量。完備正交函數(shù)集對此函數(shù)集提出疑問

疑問一：是否還有其他函數(shù)與函數(shù)集中的函數(shù)一一正交？ 疑問二：是否存在某個函數(shù)集能精確地表示其他（任意）函數(shù)完備正交函數(shù)集判斷準(zhǔn)則

均方誤差表示:完備正交函數(shù)集當(dāng)n→∞時則稱這一正交集為完備正交集顯然，如果，則可以用一個無窮級數(shù)（完備正交函數(shù)集的線性組合）來恒等表示f(t)常用的完備正交函數(shù)集有三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集沃爾什函數(shù)集Wal(k,t)正交分解:當(dāng)函數(shù)f(t)在區(qū)間[t1,t2]內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和逐段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)時,可用完備的正交函數(shù)集來表示.傅里葉級數(shù)展開狄義赫利條件（三個有限）：在一個周期內(nèi)

(1)間斷點(diǎn)的個數(shù)有限

(2)極值點(diǎn)的個數(shù)有限

(3)絕對積分?jǐn)?shù)值有限滿足上述條件的任何周期函數(shù)，都可以展成“正交函數(shù)線性組合”的無窮級數(shù)。傅里葉級數(shù)展開正交函數(shù)集三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，則周期函數(shù)展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。相應(yīng)的級數(shù)通常被稱為“三角形式傅里葉級數(shù)”和“指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)”。三角形式的FS設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T1展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)形式根據(jù)正交函數(shù)的正交特性，可得：三角形式FS系數(shù)的計算系數(shù)an和bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱為傅里葉系數(shù)。三角形式的FS同頻率合并三角形式的FSc，da，b復(fù)指數(shù)形式的FS設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T1展開成復(fù)指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)形式系數(shù)計算方法三角函數(shù)FS與復(fù)指數(shù)FS的系數(shù)間的關(guān)系Fn的性質(zhì)共軛對稱性信號對稱性對FS的影響偶周期信號的FSFn是偶對稱的實(shí)數(shù)序列，F(xiàn)S系數(shù)只有直流分量和余弦項(xiàng)。奇周期信號的FSFn是奇對稱的純虛序列，F(xiàn)S系數(shù)只有正弦項(xiàng)。積分項(xiàng)為奇函數(shù)積分項(xiàng)為奇函數(shù)傅里葉頻譜FS

FS相位譜周期信號的傅里葉頻譜特點(diǎn)：(1)僅在一些離散頻率點(diǎn)(nf1)上有值。(2)離散間隔為(3)Fn是雙邊譜，正負(fù)頻率的頻譜幅度相加才是實(shí)際幅度。(4)信號的功率為傅里葉頻譜把傅里葉級數(shù)表示式的兩邊平方，并在一個周期內(nèi)進(jìn)行積分，再利用三角函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性，可以得到周期信號f(t)的平均功率P與傅里葉級數(shù)有下列關(guān)系：傅里葉頻譜周期信號的平均功率等于傅里葉級數(shù)展開各諧波分量有效值的平方和，也即時域和頻域的能量守恒。上式被稱為：帕斯瓦爾(parsval)方程周期信號的FS周期矩形脈沖信號的FS譜線包絡(luò)線為Sa函數(shù)頻譜譜線的間隔為譜線包絡(luò)線過零點(diǎn)確定方法：周期信號的FS在頻域，能量主要集中在第一個零點(diǎn)以內(nèi)實(shí)際上，在允許一定失真的條件下，可以要求一個通信系統(tǒng)只把Ω≤2π/τ頻率范圍內(nèi)的各個頻率分量傳送過去，而舍棄Ω>2π/τ的分量。這樣，常把ω=0..2π/τ這段頻率范圍稱為矩形信號的頻帶寬度，簡稱帶寬。帶寬只與脈沖脈寬有關(guān)，而與脈高和周期均無關(guān)。B:0~2π/τ傅里葉變換周期信號的頻譜譜線的間隔為周期信號的頻譜譜線的長度為非周期信號可以看成是周期T1趨于無限大的周期信號非周期信號的譜線間隔趨于無限小，變成了連續(xù)頻譜；譜線長度趨于零。周期信號的FT解決方法FT變換周期信號的FT非周期信號的傅里葉變換FT：IFT：恢復(fù)時域信號的方法變換核FT/IFT的性質(zhì)唯一性：可逆性：FT存在的充分條件：如果兩個函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個函數(shù)必然相等。如果，則必有，反之亦然。時域信號絕對可積。FS與FT比較FSFT被分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值信號的傅里葉變換一般為復(fù)值函數(shù)，可寫成幅度頻譜密度函數(shù)相位頻譜密度函數(shù)典型非周期信號的FT單邊指數(shù)信號：(實(shí)偶函數(shù))偶雙邊指數(shù)信號：典型非周期信號的FT矩形脈沖信號：其頻譜是實(shí)函數(shù)幅度譜相位譜脈高為E，t脈寬為典型非周期信號的FT矩形脈沖信號FT的特點(diǎn)：FT為Sa函數(shù)，原點(diǎn)處函數(shù)值等于矩形脈沖的面積FT的過零點(diǎn)位置為Ω=2kπ/τ

(k≠0)頻域的能量集中在第一個過零點(diǎn)區(qū)間Ω∈[-2π/τ,2π/τ

]帶寬只與脈寬有關(guān)，與脈高E無關(guān)。帶寬為BΩ=2π/τ從頻譜分量到頻譜密度問題：非周期信號==limT∞(周期信號)譜線間距變密直至為零譜線高度變矮直至為零從頻譜分量到頻譜密度考慮：

(1)物理意義著手：既是信號，必有能量。無論怎樣，能量守恒。因此，頻域必要以某種形式存在。

這是一種在“失望”中決不“絕望”的信念。

(2)數(shù)學(xué)角度思考：無限多無窮小量的和，在極限意義下，可能等于一個有限值。前面的問題只是說每個分量變成了無窮小量，但沒有說總和(信號)為零!

這是一種在“失望”中發(fā)掘“希望”的智慧!從頻譜分量到頻譜密度辦法：引入“頻譜密度”的概念從頻譜分量到頻譜密度辦法：引入“頻譜密度”的概念連續(xù)變量從頻譜分量到頻譜密度FS展開式的變化：處處都有諧波分量大盈若沖，其用不窮從頻譜分量到頻譜密度實(shí)際物理信號是實(shí)信號，其頻譜特點(diǎn)為：頻譜實(shí)部是偶對稱的頻譜虛部是奇對稱的頻譜相位是奇對稱的典型非周期信號的FT符號函數(shù)：不滿足絕對可積條件，但存在FT。可借助雙邊指數(shù)衰減函數(shù)來求符號函數(shù)的FT。與雙邊指數(shù)函數(shù)的乘積信號f1的頻譜F1積分并化簡，可得符號函數(shù)的頻譜為典型非周期信號的FT幅度譜相位譜典型非周期信號的FT沖激信號：FT定義沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)上述結(jié)果也可由矩形脈沖取極限得到。當(dāng)脈寬τ逐漸變窄時，其頻譜必然展寬。可以想象，若τ→0，而Eτ=1，這時矩形脈沖就變成了δ(t)，其相應(yīng)頻譜必定等于常數(shù)1。典型非周期信號的FT沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，即在整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的。顯然，在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)中包含了幅度相等的所有頻率分布。因此，這種頻譜常被稱為均勻譜，或白色譜。典型非周期信號的FT沖激函數(shù)的頻譜為常數(shù)，什么樣的函數(shù)其頻譜為沖激函數(shù)呢？直流信號的傅里葉頻譜是位于零點(diǎn)的沖激函數(shù)頻譜零點(diǎn)處的沖激函數(shù)來自信號的直流分量由FT對稱性典型非周期信號的FT階躍信號：FT的線性性原點(diǎn)處的沖激來自u(t)中的直流分量典型非周期信號的FT不滿足絕對可積條件，但存在FT。FT的性質(zhì)線性性齊次性疊加性FT是線性運(yùn)算對一個信號求FT，等于對其分量求FT然后再組合這就是“數(shù)學(xué)符號”的“物理意義”FT的性質(zhì)反褶和共軛性FT的性質(zhì)FT的性質(zhì)奇偶虛實(shí)性偶?偶實(shí)偶?實(shí)偶奇?奇實(shí)奇?虛奇實(shí)（=實(shí)偶+實(shí)奇）?實(shí)偶+虛奇=偶+j奇=實(shí)偶*EXP(實(shí)奇)實(shí)函數(shù)的幅度譜和相位譜分別為偶、奇函數(shù)!FT的性質(zhì)實(shí)信號的FT：偶共軛對稱F(?Ω)=F*(Ω)虛信號的FT：奇共軛對稱F(?Ω)=-F*(Ω)實(shí)信號和虛信號的FT幅度譜函數(shù)是偶函數(shù)，幅度譜偶對稱。FT的性質(zhì)牢記“三個要點(diǎn)”：1歐拉公式X(Ω)=0R(Ω)=0<>02復(fù)數(shù)定義（實(shí)部虛部）3奇對稱函數(shù)對稱區(qū)間上積分為零f(t)是實(shí)信號f(t)是純虛信號實(shí)偶實(shí)奇其它FT的性質(zhì)對偶性極相似的公式背后隱藏著什么關(guān)系？是不是意味著：求IFT與FT本質(zhì)上是相通的？FT的性質(zhì)I：FT與IFT的變換核函數(shù)是共軛對稱的其中，表示按自變量Ω進(jìn)行FT，結(jié)果仍是t的函數(shù)。在計算機(jī)程序設(shè)計實(shí)現(xiàn)上，IFT可以通過FT來完成。FT的性質(zhì)II：證明將變量t與Ω互換，可以得到等號右邊是對函數(shù)F(t)的傅里葉變換！f(t)是偶函數(shù)f(t)是奇函數(shù)FT的性質(zhì)已知解：利用上述對偶性質(zhì)得如：設(shè)則()W?÷???è?WtpttEGSaE22FT的性質(zhì)FT的性質(zhì)：它們的變化是相反的：壓縮擴(kuò)展；擴(kuò)展壓縮：幅度也發(fā)生變化，是原先的1/a(或-1/a)倍。尺度變換特性FT的性質(zhì)信號在時域中壓縮(a>1)等效于在頻域中擴(kuò)張；反之，信號在時域中擴(kuò)展(a<1)則等效于在頻域中壓縮。對于a=-1，則說明信號在時域中沿縱軸反褶等效于在頻域中也沿縱軸反褶。信號波形壓縮a倍，則信號隨時間的變化會加快a倍，所以它所包含的頻率分量也要增加a倍，即頻譜被展寬a倍。同時，根據(jù)能量守恒原理，各頻率分量的大小必然要減小a倍。FT的性質(zhì)FT的性質(zhì)對任意形狀的f(t)和F(Ω)[假設(shè)t→∞，Ω→∞，)f(t)→0,F(Ω)→0]f(t)與F(Ω)所覆蓋的面積等于F(Ω)與2πf(t)在零點(diǎn)的數(shù)值F(0)與2πf(0)。FT的性質(zhì)FT的性質(zhì)設(shè)f(0)與F(0)分別等于各自對應(yīng)曲線的最大值，則定義信號的等效脈寬等效帶寬FT的性質(zhì)時移特性時域延時，頻域則是相位變化人耳通過相位信息差異，可以判定聲音的遠(yuǎn)近變化。但聲音信號的相位變化不影響理解。與尺度變換結(jié)合不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位

FT的性質(zhì)頻移特性相位增加，頻譜右移與尺度變換結(jié)合頻譜搬移

時域信號乘上一個復(fù)指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號的頻率處。利用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號，可以達(dá)到頻譜搬移的目的。FT的性質(zhì)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理()()[]()[]()[]tfFtfFtftfF212121*=·p頻譜卷積困難，所以要額外支持FT的性質(zhì)FT的性質(zhì)時域微分頻域微分時域積分頻域積分微分特性積分特性FT的性質(zhì)帕斯瓦爾定理使用赫茲域上定義的傅里葉變換公式時域和頻域的能量守恒求升余弦的FT例2.10一升余弦脈沖，波形如圖2.41所示。升余弦脈沖表示為試求f(t)的傅里葉變換。圖2.41升余弦脈沖時域波形求升余弦的FT解法1：直接利用傅里葉變換定義式。()()()()[]()[]()[]()[]()1sin11sin2111sin21sin1212414121cos1212-WWW-=+W+W+-W-W+WW=+W+-W+W=++=+=òòòò-W---W--W--W-ppppppppppwppppppppSaSaSadteedteedtedtetFtjjttjjttjtj求升余弦的FT

解法2：利用頻移性質(zhì)進(jìn)行求解。的傅里葉變換為由平移性質(zhì)可得求升余弦的FT

解法3：利用頻域卷積定理求。由解法2，根據(jù)頻域卷積定理，有求升余弦的FT

解法4：利用微分特性求解。圖2.42f(t)、f'(t)、f''(t)和f'''(t)的波形求升余弦的FT

到哪里了？一段區(qū)間上進(jìn)行正交函數(shù)分量分解周期信號的正交函數(shù)分量分解FS非周期信號的“分解”傅里葉變換FT周期信號的傅里葉變換FT先感性認(rèn)識，看看周期信號是否能可以求傅里葉變換周期信號的FT余弦信號的FT正弦信號的FT周期信號的FT正弦和余弦信號FT的頻譜圖我們有什么？看起來，周期信號是可以求傅里葉變換的。我們的基礎(chǔ)：

1單周期（非周期）信號的傅里葉變換FT 2周期信號的傅里葉級數(shù)FS我們的問題： 如何從（1）求周期信號的FT？ 如何從（2）求周期信號的FT？求周期信號的FT周期信號的FT物理意義：周期信號的頻譜是由沖激串組成的，串的間隔Ω1=2π/T1即是信號的基頻。強(qiáng)度為FS系數(shù)Fn乘以2π,即2πFn注意：沖激信號位置在諧波頻率nΩ1處，F(xiàn)n是周期信號FS諧波分量的系數(shù)。周期信號的FT由非周期信號的FT，求周期信號的FT什么是周期信號？周期重復(fù)的信號！誰在重復(fù)？如何重復(fù)？怎么表示重復(fù)？()()()()()()()()()()()()()()????￥-￥=￥-￥=￥-￥=￥-￥=-=\-*=-*=-*=--?+-+-+?nnnnnTtftfnTttfnTttfnTttfnTtfnTtfTtfTtftftf101010101010101002dddQL②①周期信號的FT②①()()()()()()[]()()????-￥=W-￥-￥=￥-￥=··W=-·W=W\ú?ùê?é-·W=W\nnTjnneFnTtFFFnTtFFF1101010dd()()()()????￥-￥=￥-￥=￥-￥=W￥-￥==W-W··=ú?ùê?é-===-nnnntjnnnnTnTtFTaFSeanTt1111112111dpddL周期信號W周期信號的FT()()()()()()()()()????￥-￥=￥-￥=￥-￥=￥-￥=W-WWW=W-W·W·W=ú?ùê?éW-W·W·W=ú?ùê?é-·W=WnnnnnFnFnFnTtFFF10111011010dddd對頻譜進(jìn)行抽樣周期信號的FT物理意義：周期信號譜是沖激串，位置在nΩ1處，間隔Ω1，強(qiáng)度為主周期FT在沖激處的取值、乘以Ω1“單”周期信號的頻譜被抽樣了！教材p81能量譜2.5能量譜在周期信號的功率譜中提到：對于時域上衰減的非周期信號或持續(xù)時間有限的信號為能量信號，其信號能量有限，因此與功率譜相對應(yīng)，把信號能量隨頻率分布的關(guān)系，稱為“能量譜”。能量譜1．非周期信號的帕斯瓦爾定理定理表明：對能量有限的信號，在時域上積分得到的信號能量與頻域上積分得到的相等，即信號經(jīng)過傅里葉變換，總能量保持不變，符合能量守恒定律。能量譜2．能量密度令或則G(Ω)及G(f)表示了單位帶寬的能量，同時反映了信號能量在頻域上的分布情況，因此把G(Ω)-Ω（或G(f)-f）這種譜稱之為能量密度譜（簡稱能譜）。能量譜3．能量帶寬利用能量定義式，可以確定一些雖然衰減但持續(xù)時間很長的非周期脈沖信號的有效脈寬和帶寬。有效脈寬τ0

定義為：集中了脈沖中絕大部分能量的時間段。即η是指時間間隔τ0

內(nèi)的能量與信號總能量的比值，一般取0.9以上能量譜帶寬Ωb

定義為：η是指Ωb

頻段內(nèi)的能量與信號總能量的比值，一般也取0.9以上。能量譜例2.13求矩形脈沖頻譜的第一個零點(diǎn)內(nèi)所含的能量。矩形脈沖如圖2.37所示。解：由前述可知，矩形脈沖信號的頻譜為它的第一個零點(diǎn)的位置在處，則[0,2π/]內(nèi)的能量為τ從而有能量譜對上式進(jìn)行數(shù)值積分可得：而矩形脈沖的總能量(0,∞)頻段，應(yīng)為E2τ（由于：

，即第一個零點(diǎn)內(nèi)的能量約占總能量的90.3%，所以把第一個零點(diǎn)以內(nèi)的頻段稱為矩形脈沖的帶寬。抽樣信號的FT及抽樣定理為什么要抽樣？實(shí)際信號是時間連續(xù)的，但數(shù)字處理設(shè)備卻有局限：1.處理需要時間，不能馬上完成，但信號不會等待2.存儲需要空間，不能無限容納，但信號不會逗留3.單元需要粒度，不能任意連續(xù)，但信號不會間斷4.表示需要精度，不能隨意取值，但信號不會遷就連續(xù)時間信號必須在送給計算機(jī)前處理成數(shù)字形式抽樣信號的FT及抽樣定理信息會不會丟失？光從時域來看此問題，無法解決