概率分布和參數(shù)估計(jì)

概率分布和參數(shù)估計(jì)

連續(xù)性變量的概率分布根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體的客觀規(guī)律性作出合理估計(jì)的過程被稱為統(tǒng)計(jì)推斷（StatisticalInference），它可以被分為參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩大類。正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布（NormalDistribution）二、正態(tài)分布的特征（1）正態(tài)分布是一條對(duì)稱曲線，關(guān)于均數(shù)對(duì)稱，因此均數(shù)被稱為正態(tài)分布的位置參數(shù)。（2）曲線是單峰，在均值出達(dá)到最高點(diǎn)。（3）正態(tài)分布曲線的尖削與標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。因此標(biāo)準(zhǔn)差被稱為正態(tài)分布曲線的尺度參數(shù)。（4）曲線無(wú)論向左或向右延伸，都越來(lái)越接近橫軸，但不會(huì)與橫軸相交，以橫軸為漸近線。（5）約68%的個(gè)體的取值與平均數(shù)在距離一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。（6）約95%的個(gè)體取值與平均數(shù)的距離在1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。（7）99%個(gè)體的取值與平均數(shù)的距離在2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

（StandardNormalDistribution）將原來(lái)的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在SPSS中的Descriptive過程可以將原變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的得分，只需要選中主對(duì)話框左下角的Savestandardizedvaluesasvariables復(fù)選框即可。四、偏度和峰度（1）偏度（Skewness）：偏度是用來(lái)描述變量取值分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，指分布不對(duì)稱的方向和程度。樣本偏度系數(shù)：偏態(tài)的方向指的應(yīng)當(dāng)是長(zhǎng)尾的方向，而不是高峰的位置。(2)峰度（Kurtosis）：峰度用來(lái)描述變量取值分布形態(tài)陡緩的統(tǒng)計(jì)量，是指分布圖形的的尖削程度或峰凸程度。樣本的峰度系數(shù)：

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)就是選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)的估計(jì)量，并計(jì)算出估計(jì)值。對(duì)于所選統(tǒng)計(jì)量是否適于作參數(shù)估計(jì)量，有無(wú)偏性、一致性和有效性三個(gè)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)。無(wú)偏性是指雖然估計(jì)量的值不全等于參數(shù)，但應(yīng)在真實(shí)值附近擺動(dòng)。一致性是指樣本容量越大，估計(jì)值離真實(shí)值的差異應(yīng)當(dāng)越小。有效性是指如果兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都符合上述要求，則應(yīng)當(dāng)選取誤差更小的一個(gè)作為估計(jì)值。在許多種情況下，樣本統(tǒng)計(jì)量本身往往就是相應(yīng)的總體參數(shù)的最佳估計(jì)，此時(shí)就可以直接取相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。一、矩法二、極大似然估計(jì)法該方法的原理是在已知總體的分布，但未知其參數(shù)值時(shí)，在待估參數(shù)的可能取值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，使似然函數(shù)值最大的那個(gè)數(shù)值為極大似然估計(jì)值。三、穩(wěn)健估計(jì)值穩(wěn)健估計(jì)值的是該統(tǒng)計(jì)量具有穩(wěn)健性，當(dāng)數(shù)據(jù)存在異常值時(shí)受影響較小，而且對(duì)大部分的分布而言都很好。穩(wěn)健估計(jì)有M估計(jì)、R估計(jì)等不同方法。SPSS中數(shù)出的M估計(jì)量有4種，它們分別是Huber、Andrews、Hampel和Tukey所提出的，實(shí)際上就是所用的函數(shù)不同。一般而言，Huber適用于數(shù)據(jù)接近正態(tài)分布的情況，另外三種則適用于數(shù)據(jù)中許多異常值的情況。如果M估計(jì)量里平均數(shù)和中位數(shù)較遠(yuǎn)，則數(shù)據(jù)中可能存在異常值。此時(shí)，應(yīng)該用M估計(jì)量替代平均數(shù)以反映集中趨勢(shì)。。

參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤就是用來(lái)描述參數(shù)估計(jì)值可能離真實(shí)值究竟有多遠(yuǎn)的統(tǒng)計(jì)量。二、區(qū)間估計(jì)的計(jì)算結(jié)合樣本統(tǒng)計(jì)量和標(biāo)準(zhǔn)誤可以確定一個(gè)具有較大的可信度包含總體參數(shù)的區(qū)間，該區(qū)間稱為總體參數(shù)的1-a可信區(qū)間或置信區(qū)間（ConfidenceInterval）。對(duì)于任意可信度的區(qū)間情況，總體均值在100（1-a）%可信區(qū)間為：

分類變量的概率分布二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì)一、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布又稱為貝努里（Bernoulli）分布，是一種具有廣泛應(yīng)用的離散型隨機(jī)變量的概率分布。二項(xiàng)分布研究的是試驗(yàn)僅有兩種結(jié)果的分布（這種試驗(yàn)稱為貝努里試驗(yàn)），如某產(chǎn)品質(zhì)量合格與不合格等。其定義為：設(shè)有n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)?zāi)呈录霈F(xiàn)的概率都是p，某事件不出現(xiàn)的概率都是1-p，記為q，則對(duì)于某事件出現(xiàn)k（k=0,1,2,?,n）次的概率分布為：二、二項(xiàng)分布檢驗(yàn)(BinomialTest)當(dāng)研究對(duì)象屬于二項(xiàng)總體時(shí)，可以用二項(xiàng)分布來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)，判斷所抽取的樣本是否來(lái)自具有既定值的總體。其檢驗(yàn)步驟如下：1、提出假設(shè)2、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值和p值3、根據(jù)p值作出統(tǒng)計(jì)判斷。[例]擲一枚球類比賽用的挑邊器40次，出現(xiàn)A面和B面在上的次數(shù)。如表所示，試問這枚挑邊器是否均勻？解：（1）在SPSS中輸入表中的數(shù)據(jù)（變量名為Y）。選擇主菜單的[Analyze]=>[NonparametricTests]=>[BinomialTest]。（2）顯示如圖所示的[BinomialTest（二項(xiàng)檢驗(yàn)）]主對(duì)話框，把Y選入[TestVariable]，其它選項(xiàng)采用默認(rèn)值。（3）單擊主對(duì)話框中的[OK]按鈕，輸出結(jié)果如下：從結(jié)果可以看出，p=0.017<α=0.05，認(rèn)為該挑邊器不是均勻的。二、總體比例的區(qū)間估計(jì)顯著性水平α下，P在1-α置信水平下的置信區(qū)間：本章小結(jié)概率分布是參數(shù)