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∵a=-xlnx有解,且x>0,a>0,∴0<a≤eq\f(1,e),∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,e))).(2)要證當(dāng)a≥eq\f(2,e)時(shí),lnx+eq\f(a,x)-e-x>0,即證lnx+eq\f(a,x)>e-x,∵x>0,∴即證xlnx+a>xe-x,即證(xlnx+a)min>(xe-x)max.令h(x)=xlnx+a,則h′(x)=lnx+1.當(dāng)0<x<eq\f(1,e)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>eq\f(1,e)時(shí),f′(x)>0.∴函數(shù)h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,e)))上單調(diào)遞減,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),+∞))上單調(diào)遞增,∴h(x)min=heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))=-eq\f(1,e)+a,故當(dāng)a≥eq\f(2,e)時(shí),h(x)≥-eq\f(1,e)+a≥eq\f(1,e).①令φ(x)=xe-x,則φ′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).當(dāng)0<x<1時(shí),φ′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),φ′(x)<0.∴函數(shù)φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴φ(x)max=φ(1)=eq\f(1,e).故當(dāng)x>0時(shí),φ(x)≤eq\f(1,e).②顯然,不等式①②中的等號(hào)不能同時(shí)成立,故當(dāng)a≥
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