新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題05 含參函數(shù)的單調(diào)性討論 (教師版)

．(2017·山東)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2，其中參數(shù)a∈R．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線(xiàn)方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，討論g(x)的單調(diào)性．13．解析(1)由題意得f′(x)＝x2－ax，所以當(dāng)a＝2時(shí)，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線(xiàn)方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因?yàn)間(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)．令h(x)＝x－sinx，則h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)閔(0)＝0，所以當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0．①當(dāng)a<0時(shí)，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，當(dāng)x∈(－∞，a)時(shí)，x－a<0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a，0)時(shí)，x－a>0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，x－a>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．②當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝x(x－sinx)，當(dāng)x∈(－∞，＋∞)時(shí)，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．③當(dāng)a>0時(shí)，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，x－a<0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，x－a<0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，x－a>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)