第二章空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(4課時(shí))

2．1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1

平面

觀察教室里的桌面、黑板面，它們呈現(xiàn)出怎樣的形象？實(shí)例引入觀察

觀察活動(dòng)室里的地面，它呈現(xiàn)出怎樣的形象？實(shí)例引入觀察

觀察海面，它又呈現(xiàn)出怎樣的形象？實(shí)例引入觀察

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．你還能從生活中舉出類似平面形的物體嗎？引入新課

幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．思考直線是否有長(zhǎng)短、粗細(xì)之分？平面是否有大小、厚薄之別？A′B′C′D′ABCD點(diǎn)、線、面點(diǎn)無大小線無粗細(xì)面無厚薄思考:我們不可能把一條直線或一個(gè)平面全部畫在紙上，在作圖時(shí)通常用一條線段表示直線，你認(rèn)為用一個(gè)什么圖形表示平面比較合適？

平面的表示平面的畫法

一般來說，常用正方形或長(zhǎng)方形表示平面，如圖一,在畫立體圖時(shí)，為了增強(qiáng)立體感，常常把平面畫成平行四邊形，如圖二是按照斜二測(cè)畫法得到的平面的水平直觀圖.圖一圖二說明:為了表示和區(qū)分平面，我們可以用適當(dāng)?shù)淖帜缸鳛槠矫娴拿Q，如平面α

αABCD平面ABCD或平面AC或平面BD思考當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，你認(rèn)為下列哪個(gè)圖形的立體感強(qiáng)？你能指出其畫法要點(diǎn)嗎？(1)畫出交線；(2)被遮擋部分畫虛線.

圖形

符號(hào)語言文字語言(讀法)點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)在平面內(nèi)

點(diǎn)不在平面內(nèi)

直線a、b交于點(diǎn)A

四、點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系（1）符號(hào)表示：（2）集合關(guān)系：點(diǎn)A、線a、面α

圖形

符號(hào)語言文字語言(讀法)直線a在平面內(nèi)直線a與平面無公共點(diǎn)直線a與平面交于點(diǎn)平面與相交于直線練習(xí)２、如圖，用符號(hào)表示以下各概念：②直線a在平面內(nèi)

；點(diǎn)C在平面內(nèi)

；③點(diǎn)O不在平面內(nèi)

；直線b不在平面內(nèi)

．①點(diǎn)A、B在直線a上

；練1.將下列符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言：（1）（2）說明：畫圖的順序:先畫大件(平面),再畫小件(點(diǎn)、線),,,,,,,練習(xí)1、判斷下列各題的說法正確與否，在正確的說法的題號(hào)后打，否則打:1、一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；()2、平面有邊界；()3、一個(gè)平面的面積是25cm2；()4、菱形的面積是4cm2；()5、一個(gè)平面可以把空間分成兩部分.()

如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？思考

實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：把一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放到桌面上，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上．思考

如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l是否在平面α內(nèi)？

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．ABl作用：判定直線是否在平面內(nèi)．平面公理

在生產(chǎn)、生活中，人們經(jīng)過長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐，總結(jié)出關(guān)于平面的一些基本性質(zhì)，我們把它作為公理．這些公理是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)．思考1:空間中，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，那么兩點(diǎn)能否確定一個(gè)平面？經(jīng)過三點(diǎn)、四點(diǎn)可以作多少個(gè)平面？思考2:照相機(jī)，測(cè)量?jī)x等器材的支架為何要做成三腳架？思考3:經(jīng)過任意三點(diǎn)都能確定一個(gè)平面嗎？由此可得什么結(jié)論？公理2

過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.．．．ABC思考4:公理2可簡(jiǎn)述為“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”，它有什么理論作用？作用：判斷幾個(gè)點(diǎn)共面知識(shí)探究（四）:平面的基本性質(zhì)3

思考1:如圖，把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？BB思考2:如果兩條不重合的直線有公共點(diǎn)，則其公共點(diǎn)只有一個(gè).如果兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn)，其公共點(diǎn)有多少個(gè)？這些公共點(diǎn)的位置關(guān)系如何？思考3:根據(jù)上述分析可得什么結(jié)論？P公理3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.思考5:你能說一說公理3有哪些理論作用嗎？確定兩平面相交的依據(jù)思考4:若兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線.平面α與平面β相交于直線l，可記作，那么公理3用符號(hào)語言可怎樣表述?

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：①直線在平面內(nèi)；錯(cuò)誤隨堂練習(xí)

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：②設(shè)正方形ABCD與的中心分別為O，，則平面與平面的交線為；正確隨堂練習(xí)

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：③由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；錯(cuò)誤隨堂練習(xí)

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：④由確定的平面是；⑤由確定的平面與由確定的平面是同一個(gè)平面．正確正確隨堂練習(xí)例2如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.ABβαal(1)abPlβα(2)空間圖形文字?jǐn)⑹龇?hào)表示知識(shí)小結(jié)實(shí)例引入平面平面的畫法和表示點(diǎn)和平面的位置關(guān)系平面三個(gè)公理作業(yè):P43練習(xí)：1，2，3（做書上），4.

P51習(xí)題2.1A組：1，2.

2.1.2空間中直線與直線之間的 位置關(guān)系

第一課時(shí)異面直線的有關(guān)概念和原理

問題提出1.同一平面內(nèi)的兩條直線有哪幾種位置關(guān)系?2.空間中的兩條不同直線除了平行和相交這兩種位置關(guān)系外，還有什么位置關(guān)系呢?知識(shí)探究（一）：異面直線的概念思考1：教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線，既不相交，也不平行；天安門廣場(chǎng)上，旗桿所在的直線與長(zhǎng)安街所在的直線，它們既不相交，也不平行.你還能舉出這樣的例子嗎?

思考2:如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，線段A′B所在直線分別與線段CD′所在直線，線段BC所在直線，線段CD所在直線的位置關(guān)系如何?

CB'C'A'D'BAD思考3:我們把上圖中直線A′B與直線CD叫做異面直線，一般地，從字面上怎樣理解異面直線？

思考4:為了表示異面直線a，b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托,如圖.baab關(guān)于異面直線的定義，你認(rèn)為下列哪個(gè)說法最合適？

A.空間中既不平行又不相交的兩條直線；

B.平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直 線；

C.分別在不同平面內(nèi)的兩條直線；

D.不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線；

E.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

baab思考5:空間中的直線與直線之間有幾種位置關(guān)系？它們各有什么特點(diǎn)？

相交直線:平行直線:共面直線異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

知識(shí)探究（二）：三線平行公理思考1:設(shè)直線a//b，將直線a在空間中作平行移動(dòng)，在平移過程中a與b仍保持平行嗎

?思考2:如圖,在長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′與DD′平行嗎?CB'C'A'D'BAD思考3：取一塊長(zhǎng)方形紙板ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將紙板沿EF折起，在空間中直線AD與BC的位置關(guān)系如何

?AFEDCBABCDEF思考4:通過上述實(shí)驗(yàn)可以得到什么結(jié)論？

公理4

平行于同一直線的兩條直線互相平行.思考5:公理4叫做三線平行公理，它說明空間平行直線具有傳遞性，在邏輯推理中公理4有何理論作用？

知識(shí)探究（三）：等角定理思考1:在平面上，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角的大小有什么關(guān)系？

思考2:

如圖,四棱柱ABCD--A′B′C′D′

的底面是平行四邊形，∠ADC與∠A′D′C′,∠ADC與∠B′A′D′的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何

?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'思考3:如圖，在空間中AB//A′B′，AC//A′C′，你能證明∠BAC與∠B′A′C′相等嗎？BCAB′C′A′EE′DD′思考4:綜上分析我們可以得到什么定理?

定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).思考5:上面的定理稱為等角定理，在等角定理中，你能進(jìn)一步指出兩個(gè)角相等的條件嗎？

角的方向相同或相反理論遷移

例1

如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖,如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對(duì)?

AFAHGEDCBCDBAEFGH

例2

如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形.(2)若AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?FGDAEBCH

作業(yè):P51習(xí)題2.1A組：3，6.第二課時(shí)異面直線所成的角2.1.2空間中直線與直線之間的 位置關(guān)系

問題提出1.什么叫異面直線？三線平行公理和等角定理分別說明什么問題？

2.不同的異面直線有不同的相對(duì)位置關(guān)系，用什么幾何量反映異面直線之間的相對(duì)位置關(guān)系，是我們需要探討的問題

.異面直線所成的角知識(shí)探究（一）：異面直線所成的角思考1:兩條相交直線、平行直線的相對(duì)位置關(guān)系，分別是通過什么幾何量來反映的？思考2:兩條異面直線之間有一個(gè)相對(duì)傾斜度，若將兩異面直線分別平行移動(dòng)，它們的相對(duì)傾斜度是否發(fā)生變化？

思考3:設(shè)想用一個(gè)角反映異面直線的相對(duì)傾斜度，但不能直接度量，你有什么辦法解決這個(gè)矛盾？

思考4：把兩條異面直線分別平移，使之在某處相交得到兩條相交直線，我們用這兩條相交直線所夾的銳角(或直角)來反映異面直線的相對(duì)傾斜程度，并稱之為異面直線所成的角.你能給“異面直線所成的角”下個(gè)定義嗎？

abobˊb'a'αbao

對(duì)于兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)

思考5:若點(diǎn)O的位置不同，則直線a′與b′的夾角大小發(fā)生變化嗎？為什么？為了作圖方便，點(diǎn)O宜選在何處？

aba'

b'oa'b'o'O思考1:我們規(guī)定兩條平行直線的夾角為0°，那么兩條異面直線所成的角的取值范圍是什么？

知識(shí)探究（二）：兩條直線垂直思考2:如果兩條異面直線所成的角是90°，則稱這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,有沒有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直線?BADCA'B'D'C'思考3：在平面幾何中，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，在空間中這個(gè)結(jié)論還成立嗎

?思考4：如果兩條平行直線中有一條與某一條直線垂直,那么另一條是否也與這條直線垂直？為什么？

理論遷移

例1

如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中.

（1）直線A′B和CC′的夾角是多少？（2）哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？哪些棱所在的直線與直線A′B垂直？A′B′C′D′ABCDAFEDCB

例2如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點(diǎn),且已知AB=CD=3，,求異面直線AB和CD所成的角.M作業(yè):P48練習(xí)：2.P52習(xí)題2.1B組：1.思考題：已知異面直線a，b所成的角為60°，直線l與a，b所成的角都為θ，那么θ的取值范圍是什么？2.1.3空間中直線與平面之間的位置 關(guān)系2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系問題提出

1.空間點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面分別有哪幾種位置關(guān)系？空間兩直線有哪幾種位置關(guān)系？

2.就空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系而言，還有哪幾種類型有待分析？

直線與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系探究（一）直線與平面之間的位置關(guān)系

思考1:一支筆所在的直線與一個(gè)作業(yè)本所在的平面，可能有哪幾種位置關(guān)系？思考2:對(duì)于一條直線和一個(gè)平面，就其公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來分類有哪幾種可能？

思考3:如圖，線段A′B所在直線與長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的六個(gè)面所在的平面有幾種位置關(guān)系？BADCA'B'D'C'思考4:通過上面的觀察和分析，直線與平面有三種位置關(guān)系，即直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行.這些位置關(guān)系的基本特征是什么

?（1）直線在平面內(nèi)---有無數(shù)個(gè)公共 點(diǎn)；

（2）直線與平面相交---有且只有一個(gè) 公共點(diǎn)；

（3）直線與平面平行---沒有公共點(diǎn).

思考5:下圖表示直線與平面的三種位置，如何用符號(hào)語言描述這三種位置關(guān)系？αaαa.Pαa思考6:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.用符號(hào)語言怎樣表述？思考7:過平面外一點(diǎn)可作多少條直線與這個(gè)平面平行？若直線l平行于平面α，則直線l與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系如何？思考8:若兩條平行直線中有一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面嗎？探究（一）平面與平面之間的位置關(guān)系思考1:拿出兩本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種變化？思考2:如圖，圍成長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的六個(gè)面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？C′A′B′D′ABCD思考3：由上面的觀察和分析可知，兩個(gè)平面的位置關(guān)系只有兩種，即兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面相交.這兩種位置關(guān)系的基本特征是什么？（1）兩個(gè)平面平行---沒有公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)平面相交---有一條公共直線.思考4:下圖表示兩平面之間的兩種位置，如何用符號(hào)語言描述這兩種位置關(guān)系？αβ思考5:已知平面α，β和直線a，b，且α∥β,,則直線a與平面β的位置關(guān)系如何？直線a與直線b的位置關(guān)系如何？αβab理論遷移例1

給出下列四個(gè)命題：(1)若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α.(2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行.(3)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).(4)若直線l在平面α內(nèi)，且l與平面β平行，則平面α與平面β平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)共有

__個(gè).1④若直線L與平面α平行，則L與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)；()②若直線L與平面α平行，則L與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；()4、判斷正誤①若直線L上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則L∥α；()③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；()lααlbcαlb⊙如果平面外的兩條平行直線中的一條直線與平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；（）××√√×三、隨堂練習(xí)1、若直線a不平行于平面α

，且aα，則下列結(jié)論成立的是（）：(A)α內(nèi)的所有直線與a異面(B)α內(nèi)不存在與a平行的直線；(C)α內(nèi)存在唯一的直線與a平行；(D)α內(nèi)的直線與a都相交；2、判斷題：（1）a∥α，bα，則a∥b；（）（2）aα，則a∥α或a和α相交；（）（3