第二章 212 求曲線的方程

2.1.2

求曲線的方程學習目標課標要求：1.了解求曲線方程的步驟．2．會求簡單曲線的方程．重點難點：重點：求曲線的方程的一般步驟與方法．難點：根據(jù)題目條件選擇合適的方法求曲線的方程．一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C(看做點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標的點都在

．那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做

．溫故夯基基礎(chǔ)知識梳理曲線C上方程的曲線1．解析幾何研究的主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出

；(2)通過曲線的方程，

．2．求曲線的方程的步驟(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，?/p>

表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件p的點M的集合

；(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程

；(4)化方程f(x，y)＝0為

；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．知新益能表示曲線的方程研究曲線的性質(zhì)有序?qū)崝?shù)對(x，y)P＝{M|p(M)}f(x，y)＝0最簡形式求曲線方程的步驟是否可以省略？提示：是．如果化簡前后方程的解集是相同的，可以省略步驟“結(jié)論”，如有特殊情況，可以適當說明，也可以根據(jù)情況省略步驟“寫集合”，直接列出曲線方程．問題探究動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就可得到曲線的軌跡方程．課堂互動講練考點一直接法求曲線方程例1【思路點撥】設(shè)出P點坐標，代入等式關(guān)系，可求得軌跡方程．【題后點評】

(1)直接法求曲線方程，關(guān)鍵是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，可使方程簡化?2)在求方程的過程中要注意化簡的準確性．互動探究如果所給幾何條件正好符合所學過的已知曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程．考點二定義法求曲線方程長為4的線段的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，求此線段的中點的軌跡方程．【思路點撥】利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出中線長，再利用圓的定義求中點的軌跡方程．【解】設(shè)線段的中點P(x，y)．因為線段的兩個端點分別在x軸、y軸上，所以|OP|＝2，由圓的定義知，點P的軌跡是以原點O為圓心，半徑為2的圓，所以線段中點P的軌跡方程為x2＋y2＝4.例2【題后點評】本題在求解后，易挖去圓與坐標軸的交點，這是錯誤的．利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知曲線上動點．具體地說，就是用所求動點的坐標(x，y)來表示已知曲線上動點的坐標，并代入已知的曲線方程，即可求得所求動點的軌跡方程．考點三代入法求曲線方程已知△ABC的兩頂點A、B的坐標分別為A(0,0)、B(6,0)，頂點C在曲線y＝x2＋3上運動，求△ABC重心的軌跡方程．【思路點撥】由重心坐標公式，可知△ABC的重心坐標可以由A、B、C三點的坐標表示出來．而A、B是定點，且C在曲線y＝x2＋3上運動，故重心與C相關(guān)聯(lián)．因此，設(shè)出重心與C點坐標，找出它們之間的關(guān)系，代入曲線方程y＝x2＋3即可．例3【解】設(shè)G(x，y)為所求軌跡上任一點，頂點C的坐標為(x′，y′)，則由重心坐標公式，∵頂點C(x′，y′)在曲線y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.①故所求軌跡方程為y＝3(x－2)2＋1.【題后點評】

(1)本例是求軌跡方程中的常見題型，難度適中．本題解法稱為代入法(或相關(guān)點法)，此法適用于已知一動點的軌跡方程，求另一動點的軌跡方程的問題．(2)應(yīng)注意的是，本例中曲線y＝x2＋3上沒有與A、B共線的點，因此，整理方程①就得到軌跡方程；若曲線方程為y＝x2－3，則應(yīng)去掉與A、B共線時所對應(yīng)的重心坐標．1．如何理解求曲線方程的步驟(1)在第一步中，如果原題中沒有確定坐標系，首先選取適當?shù)淖鴺讼?，通常選取特殊位置為原點，相互垂直的直線為坐標軸．建立適當?shù)淖鴺讼担瑫o運算帶來方便．(2)第二步是求方程的重要的一個環(huán)節(jié)，要仔細分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住與曲線上任意一點M有關(guān)的等量關(guān)系，列出幾何等式，此步驟也可以省略，直接將幾何條件用動點的坐標表示.規(guī)律方法總結(jié)(3)在化簡的過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“丟解”或“增解”．(4)第五步的說明可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當說明，如某些點雖然其坐標滿足方程，但不在曲線上，可以通過限定方程中x(或y)