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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.22.在等差數(shù)列中,若為前項(xiàng)和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1803.點(diǎn)在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.4.在“一帶一路”知識(shí)測驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績進(jìn)行預(yù)測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙5.已知集合,,則=()A. B. C. D.6.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20207.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.在中,已知,,,為線段上的一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.11.函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為()A. B. C. D.12.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái),現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài),緊跟時(shí)代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過程中,將六大板塊依次各完成一次,則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.14.如圖,在平行四邊形中,,,則的值為_____.15.已知數(shù)列滿足,則________.16.邊長為2的菱形中,與交于點(diǎn)O,E是線段的中點(diǎn),的延長線與相交于點(diǎn)F,若,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.19.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若時(shí)不等式成立,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點(diǎn).22.(10分)運(yùn)輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí),每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為m元(),運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用(包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi))分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.2.A【解析】
因?yàn)?,可得,根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
確定點(diǎn)為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知,點(diǎn)為外心,則,,又,所以①因?yàn)椋诼?lián)立方程①②可得,,,因?yàn)椋?,即.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.A【解析】
利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測正確,則乙、丙預(yù)測錯(cuò)誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測正確,則丙預(yù)測也正確,不符合題意;若丙預(yù)測正確,則甲必預(yù)測錯(cuò)誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預(yù)測正確,不符合題意,故選A.【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.5.C【解析】
計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6.C【解析】
首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí),掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7.A【解析】
構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.8.A【解析】
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡,由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個(gè)單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計(jì)算能力,屬于難題.11.D【解析】
由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
首先判斷出為假命題、為真命題,然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷,考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先分間隔一個(gè)與不間隔分類計(jì)數(shù),再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰,則學(xué)習(xí)方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;因此共有種.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列組合實(shí)際問題,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【詳解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,相等向量和相反向量的定義,向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
項(xiàng)和轉(zhuǎn)化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當(dāng)時(shí),由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當(dāng)時(shí)不滿足上式,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了利用求,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算,分類討論的能力,屬于中檔題.16.【解析】
取基向量,,然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將,表示為基向量后再相乘可得.【詳解】如圖:設(shè),又,且存在實(shí)數(shù)使得,,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2).【解析】
(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面,結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;
2建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量知識(shí)求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點(diǎn),,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因?yàn)?,則在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得,取平面的一個(gè)法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:問題(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過點(diǎn)作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角,先求出,再求出,最后在中求出.)【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解,屬于中檔題.18.(1);(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),恒成立,;②當(dāng)時(shí),,即,;③當(dāng)時(shí),顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19.(1);(2)【解析】分析:(1)將代入函數(shù)解析式,求得,利用零點(diǎn)分段將解析式化為,然后利用分段函數(shù),分情況討論求得不等式的解集為;(2)根據(jù)題中所給的,其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉,不等式可以化為時(shí),分情況討論即可求得結(jié)果.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,即故不等式的解集為.(2)當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立.若,則當(dāng)時(shí);若,的解集為,所以,故.綜上,的取值范圍為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法,以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù),從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來解決,關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時(shí),可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍,去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào),之后進(jìn)行分類討論,求得結(jié)果.20.(1);(2)或.【解析】
(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無解;當(dāng)時(shí),;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問題,屬于中檔題.21.(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)把點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程,解方程即可;(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】(Ⅰ)由已知橢圓過點(diǎn)得,,又,得,所以,即橢圓方程為.(Ⅱ)證明:由,得,由,得,由韋達(dá)定理可得,,設(shè)的中點(diǎn)為,得,即,,的中垂線方程為,即,故得中垂線恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的
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