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長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年煙臺(tái)汽車工程職業(yè)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)d1與d2都是直線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,則下列關(guān)于d1與d2的敘述正確的是()A.d1=d2B.d1與d2同向C.d1∥d2D.d1與d2有相同的位置向量答案:根據(jù)直線的方向向量定義,把直線上的非零向量以及與之共線的非零向量叫做直線的方向向量.因此,線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量都應(yīng)該是共線的故選C.2.求由曲線圍成的圖形的面積.答案:面積為解析:當(dāng),時(shí),方程化成,即.上式表示圓心在,半徑為的圓.所以,當(dāng),時(shí),方程表示在第一象限的部分以及軸,軸負(fù)半軸上的點(diǎn),.同理,當(dāng),時(shí),方程表示在第四象限的部分以及軸負(fù)半軸上的點(diǎn);當(dāng),時(shí),方程表示圓在第二象限的部分以及軸負(fù)半軸上的點(diǎn);當(dāng),時(shí),方程表示圓在第三象限部分.以上合起來構(gòu)成如圖所示的圖形,面積為.3.下列各圖形不是函數(shù)的圖象的是()A.
B.
C.
D.
答案:由函數(shù)的概念,B中有的x,存在兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng),不符合函數(shù)的定義,而ACD均符合.故選B4.直線kx-y+1=3k,當(dāng)k變動(dòng)時(shí),所有直線都通過定點(diǎn)[
]
A.(3,1)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(2,1)答案:A5.設(shè)p,q是簡單命題,則“p且q為真”是“p或q為真”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:若“p且q為真”成立,則p,q全真,所以“p或q為真”成立若“p或q為真”則p,q全真或真q假或p假q真,所以“p且q為真”不一定成立∴“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件故選B6.設(shè)向量a=(32,sinθ),b=(cosθ,13),其中θ∈(0,π2),若a∥b,則θ=______.答案:若a∥b,則sinθcosθ=12,即2sinθcosθ=1,∴sin2θ=1,又θ∈(0,π2),∴θ=π4.故為:π4.7.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,“若x2的觀測值為6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系”這句話的意思是指()
A.在100個(gè)吸煙的人中,必有99個(gè)人患肺病
B.有1%的可能性認(rèn)為推理出現(xiàn)錯(cuò)誤
C.若某人吸煙,則他有99%的可能性患有肺病
D.若某人患肺病,則99%是因?yàn)槲鼰煷鸢福築8.若平面向量a與b的夾角為120°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=______.答案:∵|a+2b|=(a+2b)2=a
2+4a?b+4
b2=|a|2+4|a||b|cos<a,b>+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2.故為:29.設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1×3×5×7×9×11×13的算法.圖中給出了程序的一部分,則在橫線①上不能填入的數(shù)是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5答案:A10.拋物線y=14x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.答案:拋物線y=14x2
即x2=4y,∴p=2,p2=1,故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),故為(0,1).11.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:∵sin2>0,cos2<0,∴z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,故選D.12.如圖,在等腰△ABC中,AC=AB,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)D,交AB的延長線于點(diǎn)P.問:PD與AC是否互相垂直?請(qǐng)說明理由.答案:PD與AC互相垂直.理由如下:連接OE,則OE⊥PD;∵AC=AB,OE=OB,∴∠OEB=∠B=∠C,∴OE∥AC,∴PD與AC互相垂直.13.用反證法證明:“方程ax2+bx+c=0,且a,b,c都是奇數(shù),則方程沒有整數(shù)根”正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根x0為()
A.整數(shù)
B.奇數(shù)或偶數(shù)
C.正整數(shù)或負(fù)整數(shù)
D.自然數(shù)或負(fù)整數(shù)答案:A14.若定義運(yùn)算a⊕b=b,a<ba,a≥b則函數(shù)f(x)=2x⊕(12)x的值域?yàn)開_____(用區(qū)間表示).答案:由題意畫出f(x)=2x?(12)x的圖象(實(shí)線部分),由圖可知f(x)的值域?yàn)閇1,+∞).故為:[1,+∞).15.盒中有10只螺絲釘,其中有3只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4只,那么310為()A.恰有1只壞的概率B.恰有2只好的概率C.4只全是好的概率D.至多2只壞的概率答案:∵盒中有10只螺絲釘∴盒中隨機(jī)地抽取4只的總數(shù)為:C104=210,∵其中有3只是壞的,∴所可能出現(xiàn)的事件有:恰有1只壞的,恰有2只壞的,恰有3只壞的,4只全是好的,至多2只壞的取法數(shù)分別為:C31×C73=105,C32C72=63,C74=35,C74+C31×C73+C32×C72=203∴恰有1只壞的概率分別為:105210=12,,恰有2只好的概率為63210=310,,4只全是好的概率為35210=16,至多2只壞的概率為203210=2930;故A,C,D不正確,B正確故選B16.直線l:y-1=k(x-1)和圓C:x2+y2-2y=0的關(guān)系是()
A.相離
B.相切或相交
C.相交
D.相切答案:C17.一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球的成績是14m,當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離是6m時(shí),達(dá)到最大高度4m.若鉛球運(yùn)行的路線是拋物線,則鉛球出手時(shí)距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D18.已知橢圓的參數(shù)方程為(?為參數(shù)),點(diǎn)M在橢圓上,點(diǎn)O為原點(diǎn),則當(dāng)?=時(shí),OM的斜率為()
A.1
B.2
C.
D.2答案:D19.已知M和N分別是四面體OABC的邊OA,BC的中點(diǎn),且,若=a,=b,=c,則用a,b,c表示為()
A.
B.
C.
D.
答案:B20.(幾何證明選講選做題)如圖,⊙O中,直徑AB和弦DE互相垂直,C是DE延長線上一點(diǎn),連接BC與圓0交于F,若∠CFE=α(α∈(0,π2)),則∠DEB______.答案:∵直徑AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE,∠D=∠BED∵DEFB四點(diǎn)共圓∴∠EFC=∠D=α∴∠DEB=α故為:α21.栽培甲、乙兩種果樹,先要培育成苗,然后再進(jìn)行移栽.已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為,,移栽后成活的概率分別為,.
(1)求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率;
(2)求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率.答案:(1)甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為;(2).恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為.解析:分別記甲、乙兩種果樹成苗為事件,;分別記甲、乙兩種果樹苗移栽成活為事件,,,,,.(1)甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為;(2)解法一:分別記兩種果樹培育成苗且移栽成活為事件,則,.恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為.解法二:恰好有一種果樹栽培成活的概率為.22.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),則f(log23)=______.答案:因?yàn)?<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故為:24.23.已知點(diǎn)A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O(0,0),若,α∈(0,π),則與的夾角為()
A.
B.
C.
D.答案:D24.高二年級(jí)某班有男生36人,女生28人,從中任選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)科代表,則不同選法的種數(shù)是()A.36B.28C.64D.1008答案:高二年級(jí)某班有男生36人,女生28人,即共有64人,從中任選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)科代表,則不同選法的種數(shù)64,故選C.25.甲、乙、丙、丁四名射擊選手在選撥賽中所得的平均環(huán)數(shù),其方差S2如下表所示,則選送參加決賽的最佳人選是()
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
S2
5.7
6.2
5.7
6.4
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁答案:C26.若向量且與的夾角余弦為則λ等于()
A.4
B.-4
C.
D.答案:C27.已知a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,則的最小值為(
)A.3B.6C.9D.12答案:C解析:本題考查均值不等式等知識(shí)。將1代入中,得,當(dāng)且僅當(dāng),又,故時(shí)不等式取,選C。28.若直線x+y=m與圓x=mcosφy=msinφ(φ為參數(shù),m>0)相切,則m為
______.答案:圓x=mcosφy=msinφ的圓心為(0,0),半徑為m∵直線x+y=m與圓相切,∴d=r即|m|2=m,解得m=2故為:229.平面上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差為常數(shù)2a(a>0)的軌跡是否是雙曲線,若a>c是否為雙曲線?答案:由題意,設(shè)兩定點(diǎn)間的距離為2c,則2a<2c時(shí),軌跡為雙曲線的一支2a=2c時(shí),軌跡為一條射線2a>2c時(shí),無軌跡.30.設(shè)a,b,c∈R,則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是()
A.a(chǎn)d-bc=0
B.a(chǎn)c-bd=0
C.a(chǎn)c+bd=0
D.a(chǎn)d+bc=0答案:D31.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),則f(a+b)=______.答案:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以a+b=0,且f(0)=0.所以f(a+b)=f(0)=0.故為:0.32.關(guān)于x的方程ax+b=0,當(dāng)a,b滿足條件______
時(shí),方程的解集是有限集;滿足條件______
時(shí),方程的解集是無限集;滿足條件______
時(shí),方程的解集是空集.答案:關(guān)于x的方程ax+b=0,有一個(gè)解時(shí),為有限集,所以a,b滿足條件是:a≠0,b∈R;滿足條件a=0,b=0時(shí),方程有無數(shù)組解,方程的解集是無限集;滿足條件
a=0,b≠0
時(shí),方程無解,方程的解集是空集.故為:a≠0,b∈R;a=0,b=0;
a=0,b≠0.33.一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2、3、6,這個(gè)長方體的體積是()A.6B.6C.32D.23答案:可設(shè)長方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為a,b,c,則有ab=2、bc=3、ca=6,解得:a=2,b=1,c=3故這個(gè)長方體的體積是6故為B34.圓的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ+2sinθ,則其圓心的極坐標(biāo)是()
A.(2,)
B.(2,)
C.(1,)
D.(1,)答案:A35.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直兩底,求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).答案:設(shè)D(x,y),則∵DC∥AB,∴y-10x-5=0+1015+5,又∵DA⊥AB,∴y+10x+5?0+1015+5=-1.由以上方程組解得:x=-11,y=2.∴D(-11,2).36.若x、y∈R+且x+2y≤ax+y恒成立,則a的最小值是()A.1B.2C.3D.1+22答案:由題意,根據(jù)柯西不等式得x+2y≤(1+2)(x+y)∴x+2y≤3(x+y)要使x+2y≤ax+y恒成立,∴a≥3∴a的最小值是3故選C.37.如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓上的兩點(diǎn),半圓O的切線PC交AB的延長線于點(diǎn)P,∠PCB=25°,則∠ADC為()
A.105°
B.115°
C.120°
D.125°
答案:B38.棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,=(
)
A.
B.4
C.
D.-4答案:D39.已知直線的斜率為3,則此直線的傾斜角為()A.30°B.60°C.45°D.120°答案:∵直線的斜率為3,∴直線傾斜角α滿足tanα=3結(jié)合α∈[0°,180°),可得α=60°故選:B40.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4,5),試在空間直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)P.答案:由P(3,4,5)可知點(diǎn)P在Ox軸上的射影為A(3,0,0),在Oy軸上射影為B(0,4,0),以O(shè)A,OB為鄰邊的矩形OACB的頂點(diǎn)C是點(diǎn)P在xOy坐標(biāo)平面上的射影C(3,4,0).過C作直線垂直于xOy坐標(biāo)平面,并在此直線的xOy平面上方截取5個(gè)單位,得到的就是點(diǎn)P.41.北京期貨商會(huì)組織結(jié)構(gòu)設(shè)置如下:
(1)會(huì)員代表大會(huì)下設(shè)監(jiān)事會(huì)、會(huì)長辦公會(huì),而會(huì)員代表大會(huì)于會(huì)長辦公會(huì)共轄理事會(huì);
(2)會(huì)長辦公會(huì)設(shè)會(huì)長,會(huì)長管理秘書長;
(3)秘書長具體分管:秘書處、規(guī)范自律委員會(huì)、服務(wù)推廣委員會(huì)、發(fā)展創(chuàng)新委員會(huì).
根據(jù)以上信息繪制組織結(jié)構(gòu)圖.答案:繪制組織結(jié)構(gòu)圖:42.已知e1
,
e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,且向量a=e1+2e2,則|a|=______.答案:由題意可得e21=1,e22=1,e1?e2=12,所以a2=(e1+2e2)2=1+2+4=7,所以|a|=7,故為:743.用反證法證明命題:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí),假設(shè)應(yīng)為()
A.b都能被3整除
B.b都不能被3整除
C.b不都能被3整除
D.a(chǎn)不能被3整除答案:B44.已知命題p:“△ABC是等腰三角形”,命題q:“△ABC是直角三角形”,則命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不對(duì)答案:因?yàn)椤啊鰽BC是等腰直角三角形”即為“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故選B.45.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合為______.答案:∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn),橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0,∴在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合為{(x,y)|x<0且y>0},故為:{(x,y)|x<0且y>0}.46.甲射擊運(yùn)動(dòng)員擊中目標(biāo)為事件A,乙射擊運(yùn)動(dòng)員擊中目標(biāo)為事件B,則事件A,B為()
A.互斥事件
B.獨(dú)立事件
C.對(duì)立事件
D.不相互獨(dú)立事件答案:B47.
如圖梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的斜二側(cè)直觀圖,若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,則四邊形ABCD的面積是()
A.10
B.5
C.2
D.10
答案:B48.拋物線y2=4x,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB,當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時(shí),△AOB的面積為______.答案:設(shè)直線AB的方程為y=x-m,代入拋物線聯(lián)立得x2-(2m+4)x+m2=0,則x1+x2=2m+4,x1x2=m2,∴|x1-x2|=16m+16∵三角形的面積為S△AOB=|12my1-12my2|=12m(|x1-x2|)=12m16m+16;又因?yàn)镺A⊥OB,設(shè)A(x1,2x1),B(x2,-2x2)所以2x1x1?-2x2x2=-1,求的m=4,代入上式可得S△AOB=12m16m+16=12×4×64+16=85故為:8549.如圖,以1×3方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中,有多少種大小不同的模?有多少種不同的方向?
答案:模為1的向量;模為2的向量;模為3的向量;模為2的向量;模為5的向量;模為10的向量共有6個(gè)模,進(jìn)而分析方向,正方形的邊對(duì)應(yīng)的向量共有四個(gè)方向,邊長為1的正方形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共四個(gè)方向;1×2的矩形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共四個(gè)方向;1×3的矩形對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量共有四個(gè)方向共有16個(gè)方向50.設(shè)z∈C,|z|≤2,則點(diǎn)Z表示的圖形是()A.直線x=2的左半平面B.半徑為2的圓面C.直線x=2的右半平面D.半徑為2的圓答案:由題意z∈C,|z|≤2,由得數(shù)的幾何意義知,點(diǎn)Z表示的圖形是半徑為2的圓面,故選B第2卷一.綜合題(共50題)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n∈N*且n.1).答案:證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=12+13+14=1312>1,∴n=2時(shí)成立(2分)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立,即1k+1k+1+1k+2+…+1k2>1那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+1+1k+2+1k+3+…+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+…+1k2+2k+1(k+1)2-1k>1+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2-1k>1+(2k+1)?1(k+1)2-1k>1+k2-k-1k2+2k+1>1∴n=k+1時(shí)也成立(7分)根據(jù)(1)(2)可得不等式對(duì)所有的n>1都成立(8分)2.設(shè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+3i,以原點(diǎn)為極點(diǎn),實(shí)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為()
A.(3,π)
B.(-3,π)
C.(3,π)
D.(-3,π)答案:A3.已知圓x2+y2=r2在曲線|x|+|y|=4的內(nèi)部,則半徑r的范圍是()A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4答案:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:可得曲線|x|+|y|=4表示邊長為42的正方形,如圖ABCD為正方形,x2+y2=r2表示以原點(diǎn)為圓心的圓,過O作OE⊥AB,∵邊AB所在直線的方程為x+y=4,∴|OE|=42=22,則滿足題意的r的范圍是0<r<22.故選A4.若曲線C的極坐標(biāo)方程為
ρcos2θ=2sinθ,則曲線C的普通方程為______.答案:曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=2sinθ,即ρ2?cos2θ=2ρsinθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2=2y,故為x2=2y5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是______.答案:∵(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,即動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩定點(diǎn)(-2,0),(2,0)的距離之差等于2,由雙曲線定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支(右支).:雙曲線的一支(右支).6.與
向量
=(2,-1,2)共線且滿足方程=-18的向量為()
A.不存在
B.-2
C.(-4,2,-4)
D.(4,-2,4)答案:D7.若函數(shù)f(x)=x+1的值域?yàn)椋?,3],則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_____.答案:∵f(x)=x+1的值域?yàn)椋?,3],∴2<x+1≤3∴1<x≤2故為:(1,2]8.如圖示程序運(yùn)行后的輸出結(jié)果為______.答案:該程序的作用是求數(shù)列ai=2i+3中滿足條件的ai的值∵最終滿足循環(huán)條件時(shí)i=9∴ai的值為21故為:219.下列說法中正確的是()
A.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)
C.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓
D.圓錐側(cè)面展開圖為扇形,這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑答案:C10.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,O為平面ABC外一點(diǎn),若由向量OP=15OA+23OB+λOC確定的點(diǎn)P與A,B,C共面,那么λ=______.答案:由題意A,B,C三點(diǎn)不共線,點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn),若由向量OP=15OA+23OB+λOC確定的點(diǎn)P與A,B,C共面,∴15+23+λ=1解得λ=215故為:21511.如圖,在長方體OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,點(diǎn)P在棱AA1上,且AP=2PA1,點(diǎn)S在棱BB1上,且SB1=2BS,點(diǎn)Q、R分別是O1B1、AE的中點(diǎn),求證:PQ∥RS.答案:證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),∵AP=2PA1,∴AP=2PA1=23AA1,即AP=23(0,0,2)=(0,0,43),∴P(3,0,43)同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,23),∴PQ=(-3,2,23)=RS,∴PQ∥RS,∵R?PQ,∴PQ∥RS12.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件(c-a)?(2b)=-2,則x=______.答案:c-a=(0,0,1-x),(c-a)?(2b)
=(2,4,2)?(0,0,1-x)=2(1-x)=-2,解得x=2,故為2.13.若根據(jù)10名兒童的年齡
x(歲)和體重
y(㎏)數(shù)據(jù)用最小二乘法得到用年齡預(yù)報(bào)體重的回歸方程是
y=2x+7,已知這10名兒童的年齡分別是
2、3、3、5、2、6、7、3、4、5,則這10名兒童的平均體重是()
A.17㎏
B.16㎏
C.15㎏
D.14㎏答案:C14.若a>0,b>0,則不等式-b<aA.<x<0或0<x<
答案:D解析:試題分析:15.直線y=2x+1的參數(shù)方程是()
A.(t為參數(shù))
B.(t為參數(shù))
C.(t為參數(shù))
D.(θ為參數(shù))
答案:B16.已知直線l過點(diǎn)P(1,0,-1),平行于向量=(2,1,1),平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量不可能是()
A.(1,-4,2)
B.(,-1,)
C.(-,-1,-)
D.(0,-1,1)答案:D17.方程組的解集是(
)答案:{(5,-4)}18.若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為______.答案:設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0∵直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),∴圓心到直線l的距離小于等于半徑即|2k-4k|k2+1≤1,解得-33≤
k≤33∴直線l的斜率的取值范圍為[-33,33]故為[-33,33]19.直線y=k(x-2)+3必過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,3)答案:B20.某簡單幾何體的三視圖如圖所示,其正視圖.側(cè)視圖.俯視圖均為直角三角形,面積分別是1,2,4,則這個(gè)幾何體的體積為()A.83B.43C.8D.4答案:由三視圖知幾何體是一個(gè)三棱錐,設(shè)出三棱錐的三條兩兩垂直的棱分別是x,y,z∴xy=2
①xz=4
②yz=8
③由①②得z=2y
④∴y=2∴以y為高的底面面積是2,∴三棱錐的體積是13×2×2=43故選B.21.(本題滿分12分)
已知:
求證:答案:.證明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析:同答案22.利用“直接插入排序法”給按從大到小的順序排序,
當(dāng)插入第四個(gè)數(shù)時(shí),實(shí)際是插入哪兩個(gè)數(shù)之間(
)A.與B.與C.與D.與答案:B解析:先比較與,得;把插入到,得;把插入到,得;23.教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.答案:這兩章的內(nèi)容都是通過建立直角坐標(biāo)系,用代數(shù)中的函數(shù)思想來解決圖形中的幾何性質(zhì).故為用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)解析:教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是______.24.某化肥廠甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料,在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30min抽取一包產(chǎn)品,稱其重量,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)這種抽樣方法是哪一種?
(2)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示;
(3)將兩組數(shù)據(jù)比較,說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定.答案:(1)因?yàn)殚g隔時(shí)間相同,故是系統(tǒng)抽樣.(2)莖葉圖如下:.(3)因?yàn)?x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙車間產(chǎn)品較穩(wěn)定.25.m為何值時(shí),關(guān)于x的方程8x2-(m-1)x+(m-7)=0的兩根,
(1)為正數(shù);
(2)一根大于2,一根小于2.答案:(1)設(shè)方程兩根為x1,x2,則∵方程的兩根為正數(shù),∴△≥0x1+x2>0x1x2>0即[-(m-1)]2-4×8×(m-7)>0--(m-1)8>0m-78>0解得7<m≤9或m≥25.(2)令f(x)=8x2-(m-1)x+(m-7),由題意得f(2)<0,解得m>27.26.若f(x)是定義在R上的函數(shù),滿足對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且f(2)=3,則f(8)=______.答案:由題意可知:對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,所以x=y=2,可知f(4)=f(2+2)=f(2)?f(2),所以f(4)=9;令x=y=4,可知f(8)=f(4+4)=f(4)?f(4)=92=81.故為:81.27.沿著正四面體OABC的三條棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三個(gè)力f1、f2、f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦.答案:用a、b、c分別代表棱OA、OB、OC上的三個(gè)單位向量,則f1=a,f2=2b,f3=3c,則f=f1+f2+f3=a+2b+3c,∴|f|2=(a+2b+3c)?(a+2b+3c)=|a|2+4|b|2+9|c|2+4a?b+6a?c+12b?c=1+4+9+4|a||b|cos<a,b>+6|a||c|cos<a,c>+12|b||c|cos<b,c>=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.∴|f|=5,即所求合力的大小為5,且cos<f,a>=f?a|f||a|=|a|2+2a?b+3a?c5=1+1+325=710.同理,可得cos<f,b>=45,cos<f,c>=910.28.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm),則這個(gè)幾何體的表面積是()A.(7+2)
cm2B.(4+22)cm2C.(6+2)cm2D.(6+22)cm2答案:圖中的幾何體可看成是一個(gè)底面為直角梯形的直棱柱.直角梯形的上底為1,下底為2,高為1;棱柱的高為1.可求得直角梯形的四條邊的長度為1,1,2,2.所以此幾何體的表面積S表面=2S底+S側(cè)面=12(1+2)×1×2+(1+1+2+2)×1=7+2(cm2).故選A.29.圓x2+y2=1在矩陣A={}對(duì)應(yīng)的變換下,得到的曲線的方程是()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1答案:C30.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為______.答案:由題意,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形,故可分為兩類:①當(dāng)∠P為直角時(shí),設(shè)P的縱坐標(biāo)為y,則F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)∴|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23∵∠P為直角,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∵|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23∴|PF1||PF2|=2∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=1∵S△PF1F2=12|F1F2|×y=3y∴3y=1∴y=33②當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí),P的橫坐標(biāo)為3設(shè)P的縱坐標(biāo)為y(y>0),則(3)24+y2=1,∴y=12故為:33
或1231.把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是(
)A.B.C.D.答案:D解析:,取非零實(shí)數(shù),而A,B,C中的的范圍有各自的限制32.如圖所示,CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線,CE⊥CD,CE=103,連接DE交BC于點(diǎn)F,AC=4,BC=3.
求證:(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.答案:證明:(1)∵CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線∴CD=12AB=12AC2+BC2=52.∴CECD=10352=43=ACBC,∠ACB=∠DCE=90°.∴△ABC∽△EDC.(2)因?yàn)椤鰽BC∽△EDC∴∠B=∠CDE,∠E=∠A.由CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線得:CD=AD=DB?∠B=∠DCB,∠A=∠DCA∴∠DCB=∠CDE?DF=CF;又因?yàn)椋骸螪CA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°;∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E∴CF=EF.∴DF=EF.33.用黃金分割法尋找最佳點(diǎn),試驗(yàn)區(qū)間為[1000,2000],若第一個(gè)二個(gè)試點(diǎn)為好點(diǎn),則第三個(gè)試點(diǎn)應(yīng)選在(
)。答案:123634.求證:答案:證明見解析解析:證明:此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧,放縮拆項(xiàng)時(shí),不一定從第一項(xiàng)開始,須根據(jù)具體題型分別對(duì)待,即不能放的太寬,也不能縮的太窄,真正做到恰倒好處。35.b=ac(a,b,c∈R)是a、b、c成等比數(shù)列的()A.必要非充分條件B.充分非必要條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件答案:當(dāng)b=a=0時(shí),b=ac推不出a,x,b成等比數(shù)列成立,故不充分;當(dāng)a,b,c成等比數(shù)列且a<0,b<0,c<0時(shí),得不到b=ac故不必要.故選:D36.求證:梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)連線平行于上、下底,且等于兩底差的一半(用解析法證之).答案:證明見過程解析:求證:梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)連線平行于上、下底,且等于兩底差的一半(用解析法證之).37.若圖中的直線l1,l2,l3的斜率為k1,k2,k3則()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k2<k1<k3
D.k3<k2<k1
答案:C38.已知正方形ABCD的邊長為1,=,=,=,則|++|等于(
)
A.0
B.2
C.
D.3答案:B39.已知:如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,,過A點(diǎn)的切線交CB的延長線于E點(diǎn),求證:AB2=BE·CD。
答案:證明:連結(jié)AC,因?yàn)镋A切⊙O于A,所以∠EAB=∠ACB,因?yàn)?,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD,于是∠EAB=∠ACD,又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,所以∠ABE=∠D,所以△ABE∽△CDA,于是,即AB·DA=BE·CD,所以。40.如圖所示,已知A、B、C三點(diǎn)不共線,O為平面ABC外的一點(diǎn),若點(diǎn)M滿足
(1)判斷三個(gè)向量是否共面;
(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).答案:解:(1)由已知,得,∴向量共面.(2)由(1)知向量共面,三個(gè)向量的基線又有公共點(diǎn)M,∴M、A、B、C共面,即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),41.若向量=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),則(+)=()
A.4
B.15
C.7
D.3答案:D42.集合{x∈N*|
12
x
∈Z}中含有的元素個(gè)數(shù)為()
A.4
B.6
C.8
D.12答案:B43.某航空公司經(jīng)營A,B,C,D這四個(gè)城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù),它們之間的直線距離的部分機(jī)票價(jià)格如下:AB為2000元;AC為1600元;AD為2500元;CD為900元;BC為1200元,若這家公司規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比,則BD間直線距離的票價(jià)為(設(shè)這四個(gè)城在同一水平面上)()
A.1500元
B.1400元
C.1200元
D.1000元答案:A44.解不等式logx(2x+1)>logx2.答案:當(dāng)0<x<1,logx(2x+1)>logx2?0<2x+1<20<x<1,解得0<x<12;當(dāng)x>1,logx(2x+1)>logx2?2x+1>2x>1,解得x>1.綜上所述,原不等式的解集為{x|0<x<12或x>1}.45.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1與C2的參數(shù)方程分別為x=ty=t(t為參數(shù))和x=2cosθy=2sinθ(θ為參數(shù)),則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為______.答案:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1與C2的普通方程分別為y2=x,x2+y2=2.解方程組y2=xx2
+y2=2
可得x=1y=1,故曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),故為(1,1).46.直線(t為參數(shù))被圓x2+y2=9截得的弦長為()
A.
B.
C.
D.答案:B47.若圓C過點(diǎn)M(0,1)且與直線l:y=-1相切,設(shè)圓心C的軌跡為曲線E,A、B為曲線E上的兩點(diǎn),點(diǎn)P(0,t)(t>0),且滿足AP=λPB(λ>1).
(I)求曲線E的方程;
(II)若t=6,直線AB的斜率為12,過A、B兩點(diǎn)的圓N與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線,求圓N的方程;
(III)分別過A、B作曲線E的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好在直線l上,求證:t與QA?QB均為定值.答案:【解】(Ⅰ)依題意,點(diǎn)C到定點(diǎn)M的距離等于到定直線l的距離,所以點(diǎn)C的軌跡為拋物線,曲線E的方程為x2=4y.(Ⅱ)直線AB的方程是y=12x+6,即x-2y+12=0.由{_x2=4y,x-2y+12=0,及AP=λPB(λ>1)知|AP|>|PB|,得A(6,9)和B(-4,4)由x2=4y得y=14x2,y′=12x.所以拋物線x2=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y'|x=6=3.直線NA的方程為y-9=-13(x-6),即y=-13x+11.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,132),線段AB中垂線方程為y-132=-2(x-1),即y=-2x+172.②由①、②解得N(-32,232).于是,圓C的方程為(x+32)2+(y-232)2=(-4+32)2+(4-232)2,即(x+32)2+(y-232)2=1252.(Ⅲ)設(shè)A(x1,x124),B(x2,x224),Q(a,-1).過點(diǎn)A的切線方程為y-x214=x12(x-x1),即x12-2ax1-4=0.同理可得x22-2ax2-4=0,所以x1+x2=2a,x1x2=-4.又kAB=x124-x224x1-x2=x1+x24,所以直線AB的方程為y-x124=x1+x24(x-x
1),即y=x1+x24x-x1x24,亦即y=a2x+1,所以t=-1.而QA=(x1-a,x124+1),QB=(x2-a,x224+1),所以QA?QB=(x1-a)(x2-a)+(x214+1)(x224+1)=x1x2-a(x1+x2)+a2+x21x2216+(x1+x2)2-2x1x24+1=-4-2a2+a2+1+4a2+84+1=0.48.不等式的解集是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:當(dāng)時(shí),不等式成立;當(dāng)時(shí),不等式可化為,解得綜上,原不等式解集為故選B49.已知點(diǎn)A分BC所成的比為-13,則點(diǎn)B分AC所成的比為______.答案:由已知得B是AC的內(nèi)分點(diǎn),且2|AB|=|BC|,故B分AC
的比為ABBC=|AB||BC|=12,故為12.50.假設(shè)兩圓互相外切,求證:用連心線做直徑的圓,必與前兩圓的外公切線相切.答案:證明:設(shè)⊙O1及⊙O2為互相外切的兩個(gè)圓,其一外公切線為A1A2,切點(diǎn)為A1及A2令點(diǎn)O為連心線O1O2的中點(diǎn),過O作OA⊥A1A2,由直角梯形的中位線性質(zhì)得:OA=12(O1A1+O2A2)=12O1O2,∴以O(shè)1O2為直徑,即以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓必與直線A1A2相切,同理可證,此圓必切于⊙O1及⊙O2的另一條外公切線.第3卷一.綜合題(共50題)1.(幾何證明選講選做題)如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,直線MN切
⊙O于D,∠MDA=45°,則∠DCB=______.答案:連接BD,∵AB為⊙O的直徑,直線MN切⊙O于D,∠MDA=45°,∴∠ABD=45°,∠ADB=90°,∴∠DCB=∠ABD+∠ADB=45°+90°=135°.故為:135°.2.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為33,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線l2垂直于直線l1,垂足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(3)設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q,不同的兩點(diǎn)R,S在C2上,且滿足QR?RS=0,求|QS|的取值范圍.答案:(1)由e=33得2a2=3b2,又由直線l:y=x+2與圓x2+y2=b2相切,得b=2,a=3,∴橢圓C1的方程為:x23+y22=1.(4分)(2)由MP=MF2得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以l1:x=-1為準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線,∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y2=4x.(8分)(3)Q(0,0),設(shè)R(y214,y1),S(y224,y2),∴QR=(y214,y1),RS=(y22-y214,y2-y1),由QR?RS=0,得y21(y22-y21)16+y1(y2-y1)=0,∵y1≠y2∴化簡得y2=-y1-16y1,(10分)∴y22=y21+256y21+32≥2256+32=64(當(dāng)且僅當(dāng)y1=±4時(shí)等號(hào)成立),∵|QS|=(y224)2+y22=14(y22+8)2-64,又∵y22≥64,∴當(dāng)y22=64,即y2=±8時(shí)|QS|min=85,∴|QS|的取值范圍是[85,+∞).(13分)3.直線l1到l2的角為α,直線l2到l1的角為β,則cos=()
A.
B.
C.0
D.1答案:A4.______稱為向量;常用
______表示,記為
______,又可用小寫字線表示為
______.答案:既有大小,又有方向的量叫做向量;表示方法:①常用有帶箭頭的線段來表示,記為有向線段AB,②又可用小寫字線表示為:a,b,c…,故為:既有大小,又有方向的量;有帶箭頭的線段,有向線段AB,a,b,c….5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為()A.5B.10C.25D.210答案:求x2+y2的最小值,就是求2x+y+5=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線2x+y+5=0的距離,d=522+1=5.故選A.6.某公司為慶祝元旦舉辦了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng),現(xiàn)場準(zhǔn)備的抽獎(jiǎng)箱里放置了分別標(biāo)有數(shù)字1000、800﹑600、0的四個(gè)球(球的大小相同).參與者隨機(jī)從抽獎(jiǎng)箱里摸取一球(取后即放回),公司即贈(zèng)送與此球上所標(biāo)數(shù)字等額的獎(jiǎng)金(元),并規(guī)定摸到標(biāo)有數(shù)字0的球時(shí)可以再摸一次﹐但是所得獎(jiǎng)金減半(若再摸到標(biāo)有數(shù)字0的球就沒有第三次摸球機(jī)會(huì)),求一個(gè)參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人可得獎(jiǎng)金的期望值是多少元.答案:設(shè)ξ表示摸球后所得的獎(jiǎng)金數(shù),由于參與者摸取的球上標(biāo)有數(shù)字1000,800,600,0,當(dāng)摸到球上標(biāo)有數(shù)字0時(shí),可以再摸一次,但獎(jiǎng)金數(shù)減半,即分別為500,400,300,0.則ξ的所有可能取值為1000,800,600,500,400,300,0.依題意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=14,P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=116,則ξ的分布列為∴所求期望值為Eξ=14(1000+800+600)+116(500+400+300+0)=675元.7.圓C1x2+y2-4y-5=0與圓C2x2+y2-2x-2y+1=0位置關(guān)系是()
A.內(nèi)含
B.內(nèi)切
C.相交
D.外切答案:A8.如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓上的兩點(diǎn),半圓O的切線PC交AB的延長線于點(diǎn)P,∠PCB=25°,則∠ADC為()
A.105°
B.115°
C.120°
D.125°
答案:B9.命題“12既是4的倍數(shù),又是3的倍數(shù)”的形式是()A.p∨qB.p∧qC.¬pD.簡單命題答案:命題“12既是4的倍數(shù),又是3的倍數(shù)”可轉(zhuǎn)化成“12是4的倍數(shù)且12是3的倍數(shù)”故是p且q的形式;故選B.10.某學(xué)院有四個(gè)飼養(yǎng)房,分別養(yǎng)有18,54,24,48只白鼠供實(shí)驗(yàn)用,某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)需要抽取24只白鼠,你認(rèn)為最合適的抽樣方法是()A.在每個(gè)飼養(yǎng)房各抽取6只B.把所以白鼠都編上號(hào),用隨機(jī)抽樣法確定24只C.在四個(gè)飼養(yǎng)房應(yīng)分別抽取3,9,4,8只D.先確定這四個(gè)飼養(yǎng)房應(yīng)分別抽取3,9,4,8只樣品,再由各飼養(yǎng)房將白鼠編號(hào),用簡單隨機(jī)抽樣確定各自要抽取的對(duì)象答案:A中對(duì)四個(gè)飼養(yǎng)房平均攤派,但由于各飼養(yǎng)房所養(yǎng)數(shù)量不一,反而造成了各個(gè)個(gè)體入選概率的不均衡,是錯(cuò)誤的方法.B中保證了各個(gè)個(gè)體入選概率的相等,但由于沒有注意到處在四個(gè)不同環(huán)境中會(huì)產(chǎn)生差異,不如采用分層抽樣可靠性高,且統(tǒng)一編號(hào)統(tǒng)一選擇加大了工作量.C中總體采用了分層抽樣,但在每個(gè)層次中沒有考慮到個(gè)體的差層(如健壯程度,靈活程度),貌似隨機(jī),實(shí)則各個(gè)個(gè)體概率不等.故選D.11.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:如圖,同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為a24.類比到空間,有兩個(gè)棱長均為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為______.答案:∵同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為a24,類比到空間有兩個(gè)棱長均為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為a38,故為a38.12.若90°<θ<180°,曲線x2+y2sinθ=1表示()
A.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
B.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
D.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓答案:D13.如圖:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F(xiàn)分別是線段AB,BC上的點(diǎn),且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-C1的大??;
(2)求異面直線EC1與FD1所成角的大??;
(3)求異面直線EC1與FD1之間的距離.答案:(1)以A為原點(diǎn)AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,則有D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(xiàn)(4,1,0),C1(4,3,2).(1分)于是DE=(3,-3,0),EC1=(1,3,2),F(xiàn)D1=(-4,2,2)(3分)設(shè)向量n=(x,y,z)與平面C1DE垂直,則有n⊥DEn⊥EC1?3x-3y=0x+3y+2z=0?x=y=-12z.∴n=(-z2,-z2,z)=z2(-1,-1,2),其中z>0.取n0=(-1,-1,2),則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量,(5分)∵向量AA1=(0,0,2)與平面CDE垂直,∴n0與AA1所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角.(6分)∴cosθ=n0?AA1|n0||AA1|=-1×0-1×0+2×21+1+4×0+0+4=63.(7分)故二面角C-DE-C1的大小為arccos63.(8分)(2)設(shè)EC1與FD1所成角為β,(1分)則cosβ=EC1?FD1|EC1||FD1|=1×(-4)+3×2+2×21+1+4×0+0+4=2114(10分)故異面直線EC1與FD1所成角的大小為arccos2114(11分)(3)設(shè)m=(x,y,z)m⊥EC1m⊥FD1?m=(17,-57,1)又取D1C1=(4,0,0)$}}\overm}=(\frac{1}{7},-\frac{5}{7},1)$$}}\overC}_1}=(4,0,0)$(13分)設(shè)所求距離為d,則d=|m?D1C1||m|=4315$}}\overC}}_1}|}}{|\vecm|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$(14分).14.隋機(jī)變量X~B(6,),則P(X=3)=()
A.
B.
C.
D.答案:C15.先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b.
(1)求直線ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切的概率;
(2)將a,b,5的值分別作為三條線段的長,求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.答案:(1)先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36.∵直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相切的充要條件是5a2+b2=1即:a2+b2=25,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}∴滿足條件的情況只有a=3,b=4,c=5;或a=4,b=3,c=5兩種情況.∴直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相切的概率是236=118(2)先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36.∵三角形的一邊長為5∴當(dāng)a=1時(shí),b=5,(1,5,5)1種當(dāng)a=2時(shí),b=5,(2,5,5)1種當(dāng)a=3時(shí),b=3,5,(3,3,5),(3,5,5)2種當(dāng)a=4時(shí),b=4,5,(4,4,5),(4,5,5)2種當(dāng)a=5時(shí),b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5)6種當(dāng)a=6時(shí),b=5,6,(6,5,5),(6,6,5)2種故滿足條件的不同情況共有14種故三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為1436=718.16.要證明,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是()
A.綜合法
B.分析法
C.反證法
D.歸納法答案:B17.將n2個(gè)正整數(shù)1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形就叫做n階幻方.記f(n)為n階幻方對(duì)角線的和,如右表就是一個(gè)3階幻方,可知f(3)=15,則f(4)=()
816357492A.32B.33C.34D.35答案:由等差數(shù)列得前n項(xiàng)和公式可得,所有數(shù)之和S=1+2+3+…+42=16?(1+16)2=136,所以,f(4)=1364=34,故選C.18.若a1-i=1-bi,其中a,b都是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則|a+bi|=______.答案:a1-i=a(1+i)(1-i)(1+i)=a2+a2i=1-bi∴a=2,b=-1∴|a+bi|=a2+b2=5故為:5.19.2012年3月2日,國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米.
某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
組別PM2.5濃度
(微克/立方米)頻數(shù)(天)頻率
第一組(0,25]50.25第二組(25,50]100.5第三組(50,75]30.15第四組(75,100)20.1(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的5天中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)?說明理由.答案:(Ⅰ)
設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在(50,75]內(nèi)的三天記為A1,A2,A3,PM2.5的24小時(shí)平均濃度在(75,100)內(nèi)的兩天記為B1,B2.所以5天任取2天的情況有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共10種.
…(4分)其中符合條件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6種.
…(6分)所以所求的概率P=610=35.
…(8分)(Ⅱ)去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為:12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40(微克/立方米).…(10分)因?yàn)?0>35,所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).
…(12分)20.已知函數(shù)y=f(n),滿足f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,則
f(3)的值為______.答案:∵f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,∴f(2)=3f(1)=6,f(3)=f(2+1)=3f(2)=18,故為18.21.如圖,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,則下列向量相等的是()
A.AD與CB
B.OA與OC
C.AC與DB
D.DO與OB
答案:D22.過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線交于P、Q兩點(diǎn),若線段PF、FQ的長分別為p、q,則1p+1q=______.答案:設(shè)PQ的斜率k=0,因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,14a),把直線方程y=14a
代入拋物線方程得x=±12a,∴PF=FQ=12a,從而
1p+1q=2a+2a=4a,故為:4a.23.已知x,y的取值如下表:
x0134y2.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),則回歸方程為.y=bx+a必過點(diǎn)______.答案:.X=0+1+3+44=2,.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92,故樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,92).故為:(2,92).24.已知A(1,2),B(-3,b)兩點(diǎn)的距離等于42,則b=______.答案:∵A(1,2),B(-3,b)∴|AB|=(-3-1)2+(b-2)2=42,解之得b=6或-2故為:6或-225.已知點(diǎn)P是以F1、F2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(a>0,b>0)左支上一點(diǎn),且滿足PF1⊥PF2,且|PF1|:|PF2|=2:3,則此雙曲線的離心率為()
A.
B.
C.
D.答案:D26.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ與方程θ=(ρ>0)所表示的圖形的交點(diǎn)的極坐標(biāo)是(
)
A.(1,1)
B.(1,)
C.(,)
D.(,)答案:C27.有外形相同的球分裝三個(gè)盒子,每盒10個(gè).其中,第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A、3個(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè);第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè),白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行:先在第一號(hào)盒子中任取一球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二號(hào)盒子中任取一個(gè)球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三號(hào)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗(yàn)成功,那么試驗(yàn)成功的概率為()
A.0.59
B.0.54
C.0.8
D.0.15答案:A28.設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)定圓,動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切,則圓P的圓心軌跡不可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:A29.求證:不論λ取什么實(shí)數(shù)時(shí),直線(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).答案:證明:直線(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0即λ(2x+y-1)+(-x+3y+11)=0,根據(jù)λ的任意性可得2x+y-1=0-x+3y+11=0,解得x=2y=-3,∴不論λ取什么實(shí)數(shù)時(shí),直線(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)(2,-3).30.求證:答案:證明見解析解析:證明:此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧,放縮拆項(xiàng)時(shí),不一定從第一項(xiàng)開始,須根據(jù)具體題型分別對(duì)待,即不能放的太寬,也不能縮的太窄,真正做到恰倒好處。31.在直角坐標(biāo)系內(nèi),坐標(biāo)軸上的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為()A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}B.{(x,y)|x=0且y=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x,y不同時(shí)為零}答案:在x軸上的點(diǎn)(x,y),必有y=0;在y軸上的點(diǎn)(x,y),必有x=0,∴xy=0.∴直角坐標(biāo)系中,x軸上的點(diǎn)的集合{(x,y)|y=0},直角坐標(biāo)系中,y軸上的點(diǎn)的集合{(x,y)|x=0},∴坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x,y)|y=0}∪{(x,y)|x=0}={(x,y)|xy=0}.故選C.32.已知點(diǎn)P1(3,-5),P2(-1,-2),在直線P1P2上有一點(diǎn)P,且|P1P|=
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