第1講 機械振動

第七章機械振動和機械波第1講機械振動一、簡諧運動1.五個概念物理量定義意義回復力F促使振動物體返回①

平衡位置

的力。來源:振動物體在②振動方向

的合力位移x由③平衡位置

指向質點所在位置的有向線段描述質點振動中某時刻的位置相對于④平衡位置

的位移,矢量振幅A振動物體離開平衡位置的⑤

最大距離

描述振動的⑥

強弱

和能量,標量知識梳理周期T振動物體完成一次⑦

全振動

所需時間描述振動的⑨

快慢

,兩者關系:⑩

頻率f振動物體在⑧單位時間

內完成全振動的次數(shù)

2.三個特征及表達式(1)受力特征:F回=

-kx

(2)運動特征:a=-

x。x、v、a均按

正弦或余弦

規(guī)律發(fā)生周期性變化(注意v、a的變化趨勢相反)。(3)能量特征:系統(tǒng)機械能守恒,振幅A不變。3.簡諧運動的表達式與圖像(1)表達式x=

Asin(ωt+φ0)

,其中ωt+φ0為相位。(2)圖像a.從平衡位置開始計時,函數(shù)表達式為x=Asinωt,圖像如圖甲所示。b.從最大位移處開始計時,函數(shù)表達式為x=Acosωt,圖像如圖乙所示。模型彈簧振子單擺示意圖

特點(1)忽略彈簧的

質量

和摩擦力(2)彈簧對小球的彈力提

供

回復力

(1)忽略細線的質量且細線不可伸縮

(2)小球的直徑和擺角要

足夠小

公式回復力

F=-kx

回復力

周期

4.簡諧運動的兩種模型振動類項目

自由振動受迫振動共振受力情況系統(tǒng)內部的相互作

用力周期性驅動力作用周期性驅動力作用振動周期或頻率由系統(tǒng)本身性質決定,即固有周期或固有頻率由驅動力的周期或頻率決定,即T=T驅或f=f驅T驅=T固或f驅=f固振動能量振動物體的機械能

不變由產生驅動力的物體提供振動物體獲得的能量最大常見例子彈簧振子或單擺(θ<10°)機械工作時底座發(fā)生的振動共振篩、轉速計等二、受迫振動1.自由振動、受迫振動和共振2.共振曲線

由圖可知當f驅=f0時振幅①最大

。1.簡諧運動的平衡位置是指

(

)A.速度為零的位置B.回復力為零的位置C.加速度為零的位置D.位移最大的位置

答案

B簡諧運動的物體,平衡位置是回復力為零的位置,而合外力是否為零,不同的系統(tǒng)是不同的,因此加速度不一定為零,比如單擺在平衡位置時存在向心加速度。簡諧運動的物體經過平衡位置時速度最大,位移為零。2.懸掛在豎直方向上的彈簧振子,周期為2s,從最低點的位置向上運動時開始計時,它的振動圖像如圖所示,由圖可知

(

)A.t=1.25s時振子的加速度為正,速度為正B.t=1.7s時振子的加速度為負,速度為負C.t=1.0s時振子的速度為零,加速度為負的最大值D.t=1.5s時振子的速度為零,加速度為負的最大值

答案

C彈簧振子振動時,加速度的方向總是指向平衡位置,且在最大位移處,加速度值最大,在平衡位置處加速度的值為0,由圖可知,A、B、D均錯誤,只有C正確。3.(2013北京朝陽期末)彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動,在振子向著平衡位置運動的過程中

(

)A.振子所受的回復力逐漸增大B.振子離開平衡位置的位移逐漸增大C.振子的速度逐漸增大D.振子的加速度逐漸增大

答案

C由F=-kx知,振子向著平衡位置運動過程中,位移x逐漸減小,則回復力減小,A、B、D錯。由能量守恒得彈性勢能減小,則動能增大,速度增大,C對。4.如圖甲所示,一彈簧振子在A、B間做簡諧運動,O為平衡位置,如圖乙是振子做簡諧運動時的位移-時間圖像,則關于振子的加速度隨時間的變化規(guī)律,下列四個圖像(選項)中正確的是

(

)

答案

C根據(jù)簡諧運動的運動特點知a=

,因x隨t按正弦函數(shù)變化,所以C選項正確。A.2π

B.2π

C.

+

D.π

答案

D

T=

+

=π

+π

,故選D。5.如圖所示,一單擺懸于O點,擺長為L,若在O點的豎直線上的O‘點釘一個釘子,使OO’=L/2,將單擺拉至A處釋放,小球將在A、B、C間來回振動,若振動中擺線與豎直方向夾角小于10°,則此擺的周期是

(

)重難一簡諧運動的“五個”特征

1.受力特征:回復力滿足F=-kx,即回復力大小與位移的大小成正比,方向與位移的方向相反。2.運動特征:簡諧運動是變速運動,位移x、速度v、加速度a都隨時間按正弦規(guī)律周期性變化。當振子靠近平衡位置時,a、F、x都減小,v增大;當振子遠離平衡位置時,a、F、x都增大,v減小。3.能量特征:振幅越大,能量越大。在運動過程中,動能和勢能相互轉化,機械能守恒。重難突破4.周期性特征相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同。5.對稱性特征(1)如圖所示,振子經過關于平衡位置O對稱(OP=OP‘)的兩點P、P’時,速度的大小、動能、勢能相等,相對于平衡位置的位移大小相等。(2)振子由P到O所用時間等于由O到P'所用時間,即tPO=tOP'。(3)振子往復運動過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等即tOP=tPO。

典例1一簡諧振子沿x軸振動,平衡位置在坐標原點。t=0時刻振子的位移

x=-0.1m;t=

s時刻x=0.1m;t=4s時刻x=0.1m。該振子的振幅和周期可能為

(

)A.0.1m,

sB.0.1m,8sC.0.2m,

sD.0.2m,8s

解析若振幅A=0.1m,T=

s,則

s為半周期,從-0.1m處運動到0.1m,符合運動實際,4s-

s=

s為一個周期,正好返回0.1m處,所以A項正確。若A=0.1m,T=8s,

s只是T的

,不可能由負的最大位移處運動到正的最大位移處,所以B錯。若A=0.2m,T=

s,

s=

,振子可以由-0.1m運動到對稱位置,4s-

s=

s=T,振子可以由0.1m返回0.1m,所以C對。若A=0.2m,T=8s,

s=2×

,而sin

=

,即

時間內,振子可以從平衡位置運動到0.1m處;再經

s又恰好能由0.1m處運動到0.2m處后,再返回0.1m處,故D項正確。

答案

ACD1-1

(2013北京西城一模)一彈簧振子的位移y隨時間t變化的關系式為y=0.1sin2.5πt,位移y的單位為m,時間t的單位為s。則

(

)A.彈簧振子的振幅為0.2mB.彈簧振子的周期為1.25sC.在t=0.2s時,振子的運動速度為零D.在任意0.2s時間內,振子的位移均為0.1m

答案

C

解析由y=Asinωt和y=0.1sin2.5πt,可知A=0.1m,ω=2.5π;又有T=

,得T=0.8s,則A、B均錯誤。當t=0.2s時,彈簧振子位于最大位移處,此時振子的運動速度為零,C正確。0.2s是四分之一周期,而四分之一周期內振子的位移是不確定的,故D錯誤。重難二簡諧運動的圖像

1.圖像的物理意義圖像描述的是振動物體對平衡位置的位移隨時間的變化情況,不是物體的運動軌跡。2.從簡諧運動的圖像上獲得的信息(1)確定振動物體在任一時刻的位移(2)確定振動的振幅(3)確定振動的周期和頻率(4)確定各質點的振動方向(5)比較各時刻質點加速度的大小和方向典例2

(2012北京理綜,17,6分)一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動,取平衡位置O為x軸坐標原點。從某時刻開始計時,經過四分之一周期,振子具有沿x軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移x與時間t關系的圖像是(

)

解析如圖所示,O為平衡位置,由題意知t=

時,振子具有正向最大加速度,故此時振子應在A處,位移x為負的最大值。分析各圖像知,只有A項正確。

答案

A

答案

C解析由x-t圖像可知,t1時刻和t2時刻,彈簧振子具有相同的動能,但動量只有大小相等,方向則相反,A錯誤;由題圖知t2到1.0s時間內加速度變小,但速度增大,B錯誤;由題圖知彈簧振子振動周期T=2.0s,則ω=

=π,故振動方程為x=Asinωt=0.10sinπt(m),即C正確;由三解函數(shù)知識可知,t2應為t1的5倍,D錯誤。2-1

(2013北京海淀零模)圖是一彈簧振子在水平面內做簡諧運動的x-t圖像,則下列說法正確的是

(

)A.t1時刻和t2時刻具有相同的動能和動量B.t2到1.0s時間內加速度變小,速度減小C.彈簧振子的振動方程是x=0.10sinπt(m)D.t2等于3倍的t12-2彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動,從某次經過O點開始計時,振子第一次到達M點用了0.3s,又經過0.2s第二次通過M點。則振子第三次通過M點,還要經過的時間可能是

(

)A.

s

B.

s

C.1.4s

D.1.6s

答案

AC解析

(1)取質點開始運動的方向為正方向,且向著M點運動,即M點位移為正,作出圖像如圖所示。第一次經M點時為t1時刻,第二次經M點時為t2時刻,第三次經M點時為t3時刻。由題意知t1=0.3s,t2-t1=0.2s。根據(jù)t1、t2時刻關于最大位移的對稱性得:

=0.3s+

=0.4s,T=1.6s,同理得:t3-t2=(T+t1)-t2=1.4s,C正確。(2)仍取質點開始運動的方向為正方向,而背離M運動,即M點位移為負,即圖

中的A、B、C點對應的時刻分別為第一、二、三次經過M點的時刻,因A到

B為0.2s,由對稱性知,

T=0.3s+

=0.4s,得T=

s,則B到C為T+tA-tB=

s,A正確。重難三單擺的周期公式的應用

1.單擺的周期公式T=2π

,該公式提供了一種測定重力加速度g的方法。2.l為等效擺長,表示從懸點到擺球重心的距離。3.g為當?shù)刂亓铀俣取?.T=2π

只與l及g有關,而與振子的質量及振幅無關。

典例3如圖所示為同地點的兩單擺甲、乙的振動圖像,下列說法中正確的是

(

)A.甲、乙兩單擺的周期相等B.甲擺的振幅比乙擺大C.甲擺的機械能比乙擺大D.在t=0.5s時有正向最大加速度的是乙擺

解析由圖像可看出兩單擺的周期相等,都為2.0s,A正確;從題圖上可看出甲擺振幅大,B對;因質量關系不明確,無法比較機械能,C項錯誤。t=0.5s時,乙擺球在負的最大位移處,故有正向最大加速度,D正確。

答案

ABD3-1如圖所示,AC是一段半徑為2m的光滑圓弧軌道,圓弧與水平面相切于

A點,BC=7cm?，F(xiàn)將一個小球先后從曲面的頂端C和圓弧中點D由靜止開

始釋放,到達底端時的速度分別為v1和v2,所用的時間分別為t1和t2,則

(

)A.v1>v2,t1=t2

B.v1>v2,t1>t2C.v1<v2,t1=t2

D.v1=v2,t1=t2

答案

A

解析

小球兩次沿光滑圓弧軌道下滑,其重力的切向分力提供回復力,又因弧長遠遠小于半徑,即最大擺角小于10°,小球兩次運動均可視為單擺的

簡諧運動,擺長等于圓弧槽半徑,所以有T=2π

,則t1=t2=

。球運動中只有重力做功,機械能守恒,mgh=

mv2,v=

,因為h1>h2,所以v1>v2,A項正確。應用圖像分析機械振動的方法簡諧運動圖像能夠反映簡諧運動的運動規(guī)律,因此將簡諧運動圖像跟具體

的運動過程聯(lián)系起來是討論簡諧運動的一種好方法。思想方法典例一彈簧振子做簡諧運動,周期為T

(

)A.若t時刻和(t+Δt)時刻振子運動位移大小相等、方向相同,則Δt一定等于T的整數(shù)倍B.若t時刻和(t+Δt)時刻振子運動速度大小相等、方向相反,則Δt一定等于T的整數(shù)倍C.若Δt=T,則在t時刻和(t+Δt)時刻振子運動的加速度一定相等D.若Δt=

,則在t時刻和(t+Δt)時刻彈簧的長度一定相等

解析此題可應用振動圖像來分析解答。如圖甲所示,兩虛線與圖線的交點處對應的時刻的位移都相等,設t1、t2的