第1章 事件與概率

第一章隨機(jī)事件與概率1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.2概率的定義及其確定方法1.3概率的性質(zhì)1.4條件概率1.5獨(dú)立性1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算現(xiàn)實(shí)世界中的客觀現(xiàn)象確定性現(xiàn)象（條件完全決定結(jié)果）非確定性現(xiàn)象（條件不能完全決定結(jié)果）隨機(jī)現(xiàn)象（不確定性、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性）隨機(jī)試驗(yàn)種瓜得瓜，種豆得豆世界上沒有兩片完全相同的葉子多次重復(fù)拋擲一枚硬幣，正面朝上的次數(shù)占一半在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出來的固有規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.例如，確定南極磷蝦年齡的方法.問題:（1）冬天食物缺乏時(shí)，身體會(huì)減小，不能靠常用的體長確定年齡.（2）無論磷蝦是生長還是收縮，都會(huì)蛻皮，從色素深淺上不能確定年齡.解決辦法：

生命的存在依賴它的眼睛，故在生存條件惡劣時(shí)也不會(huì)消化眼睛，于是它的復(fù)眼包含的小眼隨年齡的增加會(huì)增多，其直徑也會(huì)增加.隨機(jī)試驗(yàn)E

(randomtest)的特點(diǎn)：

（1）在同一條件下可以重復(fù)試驗(yàn)；

（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;

（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前無法確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).隨機(jī)現(xiàn)象：在一定的條件下，并不是總出現(xiàn)相同的結(jié)果，其特點(diǎn)有

（1）結(jié)果不止一個(gè);

（2）事前無法確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要研究能大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象.

(也注意研究不能重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象，如失業(yè)、經(jīng)濟(jì)增長速度等.)

例1.1.1

將一枚硬幣先后擲兩次，令(1,0)=“第一次正面朝上，第二次反面朝上”則樣本空間為：={(0,0),

(0,1),

(1,0),

(1,1)}

.若令i=“正面朝上的次數(shù)”則樣本空間為：={0,1,

2}

.樣本點(diǎn)是今后抽樣的最基本單元，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的前提是要先列出它的樣本空間.樣本空間

(samplespace)：隨機(jī)試驗(yàn)的一切可能結(jié)果組成的集合.記為或S.可能結(jié)果又稱為樣本點(diǎn)，常用符號(hào)表示.注意：樣本空間和劃分的標(biāo)準(zhǔn)有關(guān).

例1.1.2

一天內(nèi)進(jìn)入某商場(chǎng)的人數(shù)的樣本空間為={0,1,

2,

…}.例1.1.3

電視機(jī)壽命的樣本空間為={t|t0}.

在以后的數(shù)學(xué)處理上，我們往往把有限個(gè)或可列個(gè)樣本點(diǎn)的情況歸為一類，稱為離散樣本空間；而將不可列無限個(gè)樣本點(diǎn)的情況歸為另一類，稱為連續(xù)樣本空間.

隨機(jī)事件

(randomevent)

隨機(jī)試驗(yàn)的某些子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.它在隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性.注意事項(xiàng)(1)在概率論中常用一個(gè)長方形來

表示概率空間，用橢圓或者其它的

幾何圖形來表示事件.這類圖形被稱

為維恩(Venn)圖，又叫文氏圖.●1●2A常用符號(hào)(1)大寫的英文字母：A,B,C.

(2)大寫的英文字母加下標(biāo)：A1,A2,A3,…

.

(2)由中的單個(gè)元素組成的子集稱為基本事件，常用表示.

①

樣本空間的最大子集稱為必然事件，常用表示；

②

樣本空間的最小子集稱為不可能事件，常用表示.(3)判定一個(gè)事件是否發(fā)生的標(biāo)準(zhǔn)是看它所包含的樣本點(diǎn)是否出現(xiàn).事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)該事件包含的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).可能結(jié)果——樣本點(diǎn)——基本事件

例1.1.4

擲一枚骰子的樣本空間為={1,

2,

…,

6}={i|1

i6}.則A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”={2,

4,

6}.

例1.1.5

檢測(cè)燈泡壽命的試驗(yàn)中，如果規(guī)定壽命超過1500小時(shí)為合格，則={t|t0}事件A=“合格品”={t|t>1500}.

例1.1.6

向平面OXY內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則={(x,y)

|x,yR}事件A=“落在單位圓內(nèi)”={(x,y)

|x2+y2<1}.

隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算包含相等互不相容并交差補(bǔ)AB如果屬于A的樣本點(diǎn)一定屬于B，則稱A包含于B，或B包含A.記作AB.概率論表述：事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.如果AB，且AB，那么A=B.即A=B

AB,B

A.概率論表述：事件A,B相等意味著它們是同一個(gè)集合.如果事件A,B沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱互不相容.記作A∩B=

.概率論表述：事件A,B不可能同時(shí)發(fā)生.AB由事件A與事件B中所有的樣本點(diǎn)組成的新事件.記作A∪B.AB概率論表述：事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生.由事件A與事件B中所共有的樣本點(diǎn)組成的新事件.記作A∩B.概率論表述：事件A,B同時(shí)發(fā)生.AB由在事件A中而不在事件B中的樣本點(diǎn)組成的新事件.記作A-B.AB概率論表述：事件A發(fā)生，而事件B發(fā)生.由在中而不在事件A中的樣本點(diǎn)組成的新事件，也叫A的對(duì)立.記作

.A概率論表述：事件A不發(fā)生.事件A和不能都不發(fā)生，也不能都發(fā)生，只能恰好發(fā)生其中一個(gè).互不相容與對(duì)立區(qū)別（1）事件A與事件B對(duì)立AB=,A∪B=.（2）事件A與事件B互不相容

AB=.

例1.1.7

設(shè)A,B,C是某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的三個(gè)事件，則（1）事件“A與B發(fā)生，C不發(fā)生”：（2）事件“A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生”：（3）事件“A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生”：（4）事件“A,B,C中恰好有兩個(gè)發(fā)生”：（5）事件“A,B,C都發(fā)生”：（6）事件“A,B,C都不發(fā)生”：（7）事件“A,B,C不都發(fā)生”：事件的運(yùn)算性質(zhì)（1）否定律：（2）冪等律：A∩A=A,A∪A=A；（3）交換律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A；（4）結(jié)合律：A∩(B∩C)

=(A∩B)∩C,

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；（5）分配律：A∩(B∪C)

=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；（6）對(duì)偶律(德摩根Demorgan公式)：對(duì)于多個(gè)事件及可列個(gè)事件場(chǎng)合有作業(yè)注：可以寫在書上1.2概率的定義及其確定方法定義1.2.1設(shè)的某些子集所組成的集合類F有（1）F；（2）若AF，則（3）若AnF(n=1,2,…)，則則稱F為一個(gè)事件域(域或代數(shù)),(,F)為可測(cè)空間.由于①交運(yùn)算可以通過并和對(duì)立實(shí)現(xiàn)；

②差運(yùn)算可以通過交和對(duì)立來實(shí)現(xiàn)；所以只要求事件域滿足對(duì)并運(yùn)算和對(duì)立封閉.

所謂事件域，直觀上講就是一個(gè)樣本空間中某些子集及其運(yùn)算(并、交、差、對(duì)立)結(jié)果而組成的集合類.（1）={1,2}F含有22個(gè)事件（2）={1,2,…,n

}F含有2n個(gè)事件（3）={1,2,…,n,…

}F含有可列個(gè)事件{,

{1},{2},},和①

個(gè)單元素集:②個(gè)雙元素集:…③個(gè)n-1元素集:,和①可列個(gè)單元素集:②可列個(gè)雙元素集:③可列個(gè)三元素集:…常見的事件域（4）博雷爾(Borel)事件域=(-,+)=RF含有不可列個(gè)事件（每個(gè)元素又稱為博雷爾集（可測(cè)集））定義1.2.2若D

={D1,D2,…,Dn}滿足

①

DiDj=(1i<jn);②D1∪D2∪

…∪Dn=.則稱D是的一個(gè)劃分.由D中一切可能的并及

組成的事件域稱為劃分D產(chǎn)生的事件域，記為(D)

.①基本集合類:P={(-,x)|

xR};②(a,b),(a,b],[a,b),

[a,b],(a,bR);③上述集合的(有限個(gè)或可列個(gè))并運(yùn)算和交運(yùn)算結(jié)果.排列數(shù)公式和組合數(shù)公式(1)排列數(shù)特別地，①r=n時(shí)，②重復(fù)排列數(shù)

nr.(2)組合數(shù)特別地，重復(fù)組合數(shù)定義1.2.5

在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)為m，則稱m為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱為事件A出現(xiàn)的頻率.

頻率的基本性質(zhì)：(1)0fn(A)1;(2)fn()=1;(3)如果AiAj=(1i<jk)，則fn(A1∪A2∪

…

∪Ak)

=fn(A1)

+fn(A2)

+…+fn(Ak).

頻率的大小表示事件發(fā)生的頻繁程度.頻率大，事件發(fā)生就頻繁，這意味著事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性就大，反之亦然.人們長期的實(shí)踐表明：隨著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n的增加，頻率fn(A)會(huì)穩(wěn)定在某一常數(shù)a附近，我們稱這個(gè)常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值.這個(gè)穩(wěn)定值就是我們所說的(統(tǒng)計(jì))概率.注意定義1.2.6

設(shè)F為樣本空間的某些子集組成的一個(gè)事件域，如果AF，定義在F上的實(shí)值函數(shù)P(A)滿足(1)非負(fù)性P(A)0;

(2)正則性

P()=1;(3)可列可加性若AiAj=(i,j1,ij)，則P(A1∪A2∪…∪An∪…)

=P(A1)

+P(A2)

+…

+P(An)

+…那么稱P(A)為事件A出現(xiàn)的概率.概率P(A)表征了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.確定概率的常用方法有：（1）公理化方法（2）頻率方法(統(tǒng)計(jì)方法)（3）古典方法（4）幾何方法（5）主觀方法古典概率

定義1.2.7

如果試驗(yàn)滿足下面兩個(gè)特征，則稱其為古典概型(或有限等可能概型)：（1）有限性：樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限；（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同.

定義1.2.8

設(shè)古典概型有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A含有其中的m個(gè),則稱為事件A的古典概率.(1)古典概率的假想世界是不存在的.對(duì)于那些極其罕見的，但并非不可能發(fā)生的事情，古典概率不予考慮.如硬幣落地后恰好立著，一次課堂討論時(shí)突然著火等.(2)古典概率還假定周圍世界對(duì)事件的干擾是均等的.在實(shí)際生活中無次序的、靠不住的因素是經(jīng)常存在的.例1.2.1(無放回抽樣模型)

一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中M個(gè)不合格品，N-M個(gè)合格品，從中抽取n個(gè)，令A(yù)m=“取出的n個(gè)產(chǎn)品中含有m個(gè)不合格品”求(1)無放回時(shí)，P(Am)；(2)無放回時(shí)，P(Am).解(1)無放回時(shí)(2)有放回時(shí)

例1.2.2（抽簽問題）袋中有a支紅簽，b支白簽，它們除顏色外無差別，現(xiàn)有a+b個(gè)人無放回地去抽簽，求第k個(gè)人抽到紅簽的概率.

解法一

假定這a+b支簽都不相同，不妨設(shè)它們?yōu)镽1,R2,…,Ra;W1,W2,…,Wb令A(yù)=“第k個(gè)人抽到紅簽”，則解法二

假定a支紅簽完全相同，b支紅簽完全相同.令A(yù)=“第k個(gè)人抽到紅簽”，則解法三

令A(yù)=“第k個(gè)人抽到紅簽”，則

這個(gè)例子告訴我們，對(duì)于古典概型可用不同的等可能基本事件組來描述，對(duì)同一事件的概率也常有多種不同的解法。本題結(jié)果還告訴我們每個(gè)人抽到紅簽的概率與抽簽的先后次序無關(guān)，所以，進(jìn)行分組的時(shí)候采用抽簽或抓鬮的方法是公平的。

例1.2.3（盒子問題）設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)球都等可能地被放到m不同的盒子中的任一個(gè)，每個(gè)盒子所放球數(shù)不限，試求（1）指定的n(nm)個(gè)盒子各有一球的概率P1；（2）恰好有n(nm)個(gè)盒子各有一球的概率P2.

解

(1)（2）(1)本題對(duì)應(yīng)的模型為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的馬克斯威爾—波爾茲曼(Maxwell-Boltzmann)統(tǒng)計(jì)；(2)若每個(gè)球是不可辨的，對(duì)應(yīng)波色—愛因斯坦(Bose-Einstein)統(tǒng)計(jì)；(3)如果球是不可辨的，且每個(gè)盒子里最多只能放一個(gè)球?qū)?yīng)費(fèi)米—狄拉克(Fermi-Dirac)統(tǒng)計(jì)。

例1.2.4（生日問題）某班級(jí)有n個(gè)人，問該班至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率是多少？

解令A(yù)=“至少有兩個(gè)人的生日在同一天”，且假定一年按365天計(jì)算，把365天當(dāng)作365個(gè)房間，于是“n個(gè)人的生日都不相同”相當(dāng)于“恰有n個(gè)房間，其中各有一人”.于是例1.2.5（占位問題）將n個(gè)完全相同的球隨機(jī)地分配到m(mn)個(gè)不同的盒子中去，求不出現(xiàn)空盒的概率.

解假設(shè)已經(jīng)將n個(gè)球分配到各盒子中，把這m(mn)個(gè)盒子排成一排每個(gè)小球和每個(gè)盒子內(nèi)壁看作一個(gè)位置在這n+m個(gè)位置里隨意選出m-1個(gè)放上內(nèi)壁，則形成m個(gè)盒子，并且這n個(gè)球都被分配到盒子中.所以，每一種選取盒子內(nèi)壁位置的方法就對(duì)應(yīng)著一種往盒子中放小球的方法，方法的個(gè)數(shù)為令A(yù)=“不出現(xiàn)空盒”，則作業(yè)

例1.2.6（取數(shù)問題）從1,2,…,9中有放回地取出五個(gè)數(shù)，求下列事件的概率.(1)A1=“最后取出的數(shù)字是奇數(shù)”；(2)A2=“5個(gè)數(shù)字都不相同”；(3)A3=“1恰好出現(xiàn)2次”；(4)A4=“1至少出現(xiàn)2次”；(5)A5=“恰好出現(xiàn)不同的2對(duì)數(shù)字”；(6)A6=“5個(gè)數(shù)字的總和為10”；解(1)(2)(3)(4)(5)A1=“最后取出的數(shù)字是奇數(shù)”A2=“5個(gè)數(shù)字都不相同”A3=“1恰好出現(xiàn)2次”A4=“1至少出現(xiàn)2次”A5=“恰好出現(xiàn)不同的2對(duì)數(shù)字”(6)A6=“5個(gè)數(shù)字的總和為10”解法一令xi=“第i次取到的數(shù)字”(i=1,2,…,5;1xi9)

則A6=“x1+x2+x3+x4+x5=10”設(shè)xi=“第i個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)”(i=1,2,…,5)，則A6=“把10個(gè)小球隨機(jī)投向這5個(gè)盒中，不出現(xiàn)空盒”于是解法二令xi=“第i次取到的數(shù)字”(i=1,2,…,5;1xi9)

則A6=“x1+x2+x3+x4+x5=10”設(shè)f(x)=(x+x2+…+x9)5，那么于是P(A6)=126/95.尋找

f(x)的10方項(xiàng)系數(shù)

例1.2.7（對(duì)稱性問題）甲、乙兩人擲一枚均勻硬幣，其中甲擲n次，乙擲n-1次，求下述事件的概率.A=“甲擲出正面的次數(shù)大于乙擲出正面的次數(shù)”

解設(shè)甲正=“甲擲出正面的次數(shù)”甲反=“甲擲出反面的次數(shù)”乙正=“乙擲出正面的次數(shù)”乙反=“乙擲出反面的次數(shù)”則A=

甲正>乙正，且甲反>乙反=甲正乙正由對(duì)稱性知P(甲正>乙正)=

P(甲反>乙反)，故P(A)=

0.5.幾何概型

定義1.2.9

如果試驗(yàn)滿足下面兩個(gè)特征，則稱其為幾何概型(或無限等可能概型)：（1）樣本點(diǎn)有無限多個(gè)，且可以用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來表示；（2）每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同.

定義1.2.10

設(shè)幾何概型的樣本空間為,則稱為事件A的幾何概率.

簡單地說，每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.例1.2.8（等車問題）公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客到達(dá)汽車站的時(shí)刻是等可能的，求乘客等候不超過3分鐘的概率.解設(shè)A=“乘客等候不超過3分鐘”，乘客提前到達(dá)汽車站的時(shí)間為x分鐘.則={x|0x5}A={x|0x3}.所以特別地:P(“乘客等候時(shí)間剛好為3分鐘)=0這表明：不可能事件的概率為0，但概率為0的事件不一定是不可能事件.幾何概型的解題步驟（1）根據(jù)問題選取合適的參數(shù)(盡量少)；（2）寫出樣本空間和所求事件A的集合形式；（3）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（4）在坐標(biāo)系上找出樣本空間和所求事件A對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，根據(jù)幾何概率公式求解.例1.2.9（約會(huì)問題）甲乙兩人約定周末12點(diǎn)到13點(diǎn)之間在人民公園門口見面，先到者等待20分鐘后離去，假定他倆在12點(diǎn)到13點(diǎn)之間到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)刻是任意的，求他們能相見的概率.解設(shè)A=“他們能相見”，兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為12點(diǎn)零x,y小時(shí).則={(x,y)

|0x,y1}A={(x,y)

|0x,y1;|x-y|<1/3}所以例1.2.10（布豐(Buffon)投針問題）平面上畫有間隔為d的等距平行線，向該平面任意投擲一枚長為l(l<d)的針,求針與任一平行線相交的概率.解設(shè)A=“針與某一平行線相交”，針的中點(diǎn)到最近一條平行線的距離為x，針與該平行線的夾角為.則={(x,)

|0xd/2,0}A={(x,)

|0xd/2,0;0x(lsin)/2}={(x,)

|0;0x(lsin)/2}所以本題的答案與有關(guān)，因此歷史上有很多學(xué)者利用它來計(jì)算的近似值.只要設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，使得一個(gè)事件的概率與某未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)試驗(yàn)，以頻率近似概率，即可求得未知數(shù)的近似解.一般來說,試驗(yàn)次數(shù)越多，求得的近似解就越精確.由于計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，人們可以利用計(jì)算機(jī)來大量重復(fù)地模擬所設(shè)計(jì)的隨機(jī)試驗(yàn)，使得這種方法得到迅速的發(fā)展和應(yīng)用.人們稱這種方法為隨機(jī)模擬法，又叫蒙特卡洛(MonteDarlo)法.課后練習(xí)題（1）平面上畫有間隔為d的等距平行線，向該平面任意投擲一枚直徑為l(l<d)的硬幣,求該硬幣與任一平行線相交的概率.（2）平面上畫有間隔為d的等距平行線，向該平面任意投擲一個(gè)三邊長分別為a,b,c(max{a,b,c}<d)的三角形,求該三角形與任一平行線相交的概率.ddabbc例1.2.11（三角形構(gòu)成問題）在長度為a的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)將其分為三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.解設(shè)A=“它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形”，被截成的三段線段長度分別為x,y,a-x-y，則

={(x,y)

|0<x,y,a-x-y<a}={(x,y)

|0<x,y,x+y<a}A={(x,y)

|0<x,y,a-x-y<a;x+y>a-x-y,a-x>x,

a-y>y}={(x,y)

|x<a/2,y<a/2,x+y>a/2}所以引入的變量越少，幾何圖形越簡單.作業(yè)

(1)P()=0.(2)若AiAj=(1i<jn)，則P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An).(3)對(duì)任意事件A，有

特別地，若AB，則P(A-B)=P(A)-P(B).(4)對(duì)任意事件A,B，有①P(A∪B)

=P(A)

+P(B)-P(AB);②P(A-B)

=P(A)-P(AB)1.3概率的性質(zhì)證明

1=P()=P(∪

∪∪…)=P

()+P()

+P()

+

…P()+P()

+

…=0P()=0證明

因?yàn)锳iAj=(1i<jn)，所以P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1∪A2∪…∪An∪

∪∪…)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)+P(

)

+P(

)

+…=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)A證明

1=P()證明

因?yàn)锳B

，所以P(A)=P((A-B)∪B)=P(B)+P(A-B)P(A-B)=P(A)-P(B)BA證明

P(A∪B)

=P((A-B)∪AB∪(B-A)

)

=P(A-B)+P(AB)+P(B-A)

=P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(AB)BA證明

P(A)

=P((A-B)∪AB)

=P(A-B)+P(AB)

P(A-B)

=P(A)-P(AB)

P(A)P(B)（5）對(duì)任意的n個(gè)事件A1,A2,

…,

An，有證明

①當(dāng)n=2時(shí)，顯然有②假定n=m時(shí)，有那么n=m+1時(shí)，有綜上所述，命題得證.

例1.3.136只燈泡中有4只13W，其余都是28W，現(xiàn)在從中任取3只，求至少取到一只13W的概率.

解設(shè)A=“取到的3只中至少取到一只13W”，則

例1.3.2

口袋中有編號(hào)為1,2,…,n的n個(gè)球，從中有放回地任取m次，求取出的m個(gè)球中最大號(hào)碼為k的概率.

解設(shè)Ak=“取出的m個(gè)球中最大號(hào)碼為k”，Bk=“取出的m個(gè)球中最大號(hào)碼不超過k”.(k=1,2,…,n)則上例中，假如n=6,m=3，可以算得這表明:擲三枚骰子，最大點(diǎn)數(shù)k是6的概率為0.4213且P(k3)=0.0046+0.0324+0.0880=0.1250

例1.3.3

在12000的整數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

解設(shè)A=“取到的整數(shù)能被6整除”，B=“取到的整數(shù)能被8整除”.因?yàn)?33<2000/6<334,2000/8=250,83<2000/24<84.所以

例1.3.4已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6求

解因?yàn)镻(A)=0.4,P(B)=0.3

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6所以P(AB)=0.4+0.3-0.6=0.1于是無論是條件還是所求結(jié)論，先把“并、補(bǔ)、差、條件”符號(hào)利用基本公式轉(zhuǎn)換掉，使得最后只有“交”運(yùn)算.

例1.3.5（配對(duì)問題）在一個(gè)有n個(gè)人參加的晚會(huì)上每個(gè)人帶了一件禮物，且假定各人帶的禮物都不相同.晚會(huì)期間各人從放在一起的n件禮物中隨機(jī)抽取一件，問至少有一個(gè)人抽到自己禮物的概率.

解設(shè)

Ai=“第i個(gè)人抽到自己的禮物”(i=1,2,…,n).則P(“至少有一個(gè)人抽到自己的禮物”)是否n越大上述概率越??？

概率的連續(xù)性定義1.3.1（1）對(duì)F中任一單調(diào)不減的事件序列A1A2

…

An

…

稱可列并為的{An}極限事件，記為（2）對(duì)F中任一單調(diào)不增的事件序列B1B2

…

Bn

…

稱可列交

為的{An}極限事件，記為定義1.3.2對(duì)F上的一個(gè)概率P（1）若它對(duì)F中任一單調(diào)不減的事件序列{An}滿足則稱概率P是下連續(xù)的.（2）若它對(duì)F中任一單調(diào)不增的事件序列{Bn}滿足則稱概率P是上連續(xù)的.定理1.3.1(概率的連續(xù)性)若P為事件域F上的概率，則P既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.

證明

略定理1.3.2若P為

F上滿足P()=1的非負(fù)集合函數(shù)，則它具有可列可加性的充要條件是（1）它是有限可加的：（2）它是下連續(xù)的.定理1.3.1(概率的連續(xù)性)若P為事件域F上的概率，則P既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.

證明（1）P的下連續(xù)性設(shè){An}是F中一個(gè)單調(diào)不減的事件序列，即令A(yù)0

=，則Ai-1

Ai,且各(Ai-

Ai-1)互不相容，于是（2）P的上連續(xù)性設(shè){Bn}是F中一個(gè)單調(diào)不增的事件序列，則是F中一個(gè)單調(diào)不減的事件序列，于是作業(yè)

1.4條件概率所謂條件概率是指在某事件A發(fā)生的條件下，另一事件B發(fā)生的概率.記作：P(B|A).

例1.4.1

考察有兩個(gè)小孩的家庭，其樣本空間為={bb,bg,gb,gg}其中bg代表大的是男孩、小的是女孩.已知此家庭有一個(gè)女孩，求另一個(gè)也是女孩的概率.

解令A(yù)=“該家有一個(gè)女孩”，B=“該家另一個(gè)是女孩”則將A包含的范圍視為新的樣本空間定義1.4.1

設(shè)A,B是樣本空間中的兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.條件概率的基本性質(zhì)(1)非負(fù)性P(B|A)0;

(2)正則性

P(|A)=1;(3)可列可加性若AiAj=(i,j1,ij)，則

例1.4.2

設(shè)某種動(dòng)物由出生起活20歲以上的概率為80%，活25歲以上的概率為40%.如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，問它能活25歲以上的概率？

解設(shè)A=“這個(gè)動(dòng)物能活20歲以上”，B=“這個(gè)動(dòng)物能活25歲以上”，則P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.4，所以解法二

P(B|A)=0.5年齡20歲25歲80%40%既然條件概率符合上述三條基本性質(zhì)，故一般概率的性質(zhì)公式也適用于條件概率.如條件概率還有三個(gè)非常實(shí)用的公式：乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式.例1.4.3

若，試證證明課后習(xí)題：P5331一、乘法公式(Multiplicationformula)

（1）若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B).（2）若P(A1A2

…

An-1

)>0，則P(A1A2

…

An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

…

P(An|A1A2

…

An-1

).

證明（1）因?yàn)镻(B)>0，所以（2）因?yàn)镻(A1)P(A1A2)…P(A1A2

An-1

)>0，所以（2）證法二

例1.4.3

某人欲從甲地到丙地，途經(jīng)乙地.在甲地每天有30個(gè)人買票去丙地，但只有20張去丙地的票；已知在甲地沒有買到票的乘客中有70%選擇去乙地買票，乙地每天有200張去丙地的票，有300人要買票到丙地去.問乘客在甲地沒有買到票，到乙地也沒有買到票的概率.

解設(shè)A=“在甲地沒有買到票”，B=“從甲地去乙地去”，C=“乙地沒有買到票”，則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

甲乙丙30/20300/20070%

例1.4.4（罐子模型）設(shè)袋中裝有b只黑球，r只紅球，每次隨機(jī)從袋中任取一只球，觀察其顏色后放回，并再放入c只同色球和d只異色球.解設(shè)Bi

=“第i次取出的是黑球”，

Rj

=“第j次取出的是紅球”，(i=1,2,…)則

從上述計(jì)算中可以看出，若連續(xù)從罐子中取出三個(gè)球，其中兩個(gè)紅球、一個(gè)黑球，則各種情況的概率和黑球在第幾次取出有關(guān).(罐子模型)波利亞模型（1）當(dāng)c=-1,d=0時(shí)，稱為無返回抽樣（2）當(dāng)c=0,d=0時(shí)，稱為有返回抽樣（3）當(dāng)c>0,d=0時(shí)，稱為傳染病模型（4）當(dāng)c=0,d>0時(shí)，稱為安全模型（3）模型解釋每次取出球后會(huì)增加下一次取到同色球的概率，換句話說，每出現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，以后都會(huì)增加再傳染的概率.（4）模型解釋每當(dāng)事故發(fā)生了（紅球被取出），安全工作就抓緊一些，下次發(fā)生事故的概率就會(huì)減??；而當(dāng)事故沒有發(fā)生（黑球被取出），安全工作就放松一些，下次在發(fā)生事故的概率機(jī)會(huì)增大.概率相同概率不同二、全概率公式(Completeprobabilityformula)

若事件A1,A2,…,An滿足：

(1)A1∪A2∪…∪An=;

(2)AiAj=(ij,1i,jn);

(3)P(Ai)>0

(1in);則對(duì)任意的事件B，有特別地，若P(A)>0，則的劃分的完備事件組

證明因?yàn)?1)A1∪A2∪…∪An=;(2)AiAj=(ij,1i,jn);

(3)P(Ai)>0

(1in);所以例1.4.5

設(shè)某倉庫有一批產(chǎn)品，已知其中甲乙丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品依次占50%、30%、20%，且甲乙丙廠的次品率分別為1/10,1/15,1/20，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得正品的概率？

解設(shè)A1,A2,A3分別表示事件“取得的產(chǎn)品分別由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，B=“取得正品”，則利用全概率公式時(shí)，所求問題通常可以分前后兩步，若把前一步的每一種可能情況設(shè)為一個(gè)事件，則它們構(gòu)成一個(gè)完備事件組.前(取)：A1,A2,A3后(判)：B,

例1.4.6

甲、乙兩人輪流擲一枚骰子，甲先擲.每當(dāng)某人擲出1點(diǎn)時(shí)，則交給對(duì)方擲，否則此人繼續(xù)擲.試求第n次由甲擲的概率.

解設(shè)Ai=

“第i次由甲擲”(i=

1,2,…)，則P(A1)=1.于是

前(第n-1次)：An-1,后(第n次)：An

,敏感性問題的調(diào)查

例1.4.6（敏感性問題的調(diào)查）學(xué)生閱讀黃色書刊和觀看黃色影像會(huì)嚴(yán)重影像學(xué)生身心健康的發(fā)展.但這些都是避著老師和家長進(jìn)行屬個(gè)人行為.現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，從調(diào)查數(shù)據(jù)中估計(jì)出學(xué)生閱讀黃色書刊和觀看黃色影像的比率p.根據(jù)之前我們做的調(diào)查獲知:有效問卷

n張；回答“是”的

k張.而且（1）每人生日在7月1日之前的概率為p1=0.5.（2）罐中紅球的比率p2

.問題一：你的生日是否在7月1日之前？●問題二：你是否看過黃色書刊或影像？●是否于是，由全概率公式知P(是)=P(黑球)P(是|黑球)+P(紅球)P(是|紅球)即三、貝葉斯公式(Bayesianformula)若事件A1,A2,…,An是的一個(gè)完備事件組，則對(duì)任意的事件B，有

如果所求問題可以分前后兩步，把前一步的每一種可能情況設(shè)為一個(gè)事件，則它們構(gòu)成一個(gè)完備事件組.假如求后一步某事件的概率用全概率公式；若求后一步某事件發(fā)生的條件下前一步某事件的概率用貝葉斯公式.后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率例1.6.7發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“●”和“-”，由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“●”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“●”

，而是分別以0.8和0.2收到“●”和“-”；同樣，發(fā)出“-”時(shí)分別以0.9和0.1收到“-”和“●”.如果收?qǐng)?bào)臺(tái)收到“●”，問它沒收錯(cuò)的概率？解設(shè)A=

“發(fā)出信號(hào)‘●’”；B=

“收到信號(hào)‘●’”則前(發(fā))：

●

A,-后(收)：●

B,-

例1.4.8

某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查.醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是存有錯(cuò)誤的.已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性(有病)而沒有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陰性(無病).現(xiàn)在某人的檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性，問他真患肝癌的概率是多少？解設(shè)A=

“被檢驗(yàn)的居民患肝癌”；B=

“檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性”則于是前(居民)：

A(患肝癌),(不患肝癌)后(化驗(yàn))：B(陽性),(陰性)進(jìn)一步降低錯(cuò)檢的概率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵.在實(shí)際中由于技術(shù)、操作或經(jīng)濟(jì)等等原因，降低錯(cuò)檢的概率又是很困難的.所以，實(shí)際當(dāng)中常常采用復(fù)查的方法來減少錯(cuò)誤率.或者用一些簡單易行的方法先進(jìn)行初查，排除大量明顯不是肝癌的人.作業(yè)

1.5獨(dú)立性

獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念，利用獨(dú)立性可以簡化概率的計(jì)算.

定義1.5.1

如果事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B相互獨(dú)立，簡稱A,B獨(dú)立，否則稱A,B不獨(dú)立或相依.

兩事件相互獨(dú)立是指：一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生.

性質(zhì)1.5.1

若事件A,B相互獨(dú)立，則

證明因?yàn)槭录嗀,B相互獨(dú)立，所以于是同理可證

定義1.5.2

如果事件A,B,C滿足P(AB)=