流體力學(xué)434相似定理

第三節(jié)相似原理原型(Prototype)：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。模型(Model)：通常把原型（工程實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮小（或放大）的代表物，稱為模型。水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來(lái)模擬和研究原型水流問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題：使模型水流和原型水流保持流動(dòng)相似。

相似原理就是研究相似現(xiàn)象之間的聯(lián)系的理論，是模型試驗(yàn)的理論基礎(chǔ),為對(duì)流動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行理論分析的一個(gè)重要手段。

一、比尺1、比尺λ：原型和模型對(duì)應(yīng)的物理量之比比尺的數(shù)目與物理量的個(gè)數(shù)相同2、基本比尺：對(duì)應(yīng)基本量綱，互相獨(dú)立的基本物理量的原型和模型的比值，對(duì)于力學(xué)

λl=lp/lmλt=tp/tmλF=Fp/Fm3、導(dǎo)出比尺：由基本比尺以指數(shù)形式的乘積組成的比尺

λv、λQ、λa……二、流動(dòng)相似若兩個(gè)流動(dòng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)及各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿足：

幾何相似

運(yùn)動(dòng)相似

動(dòng)力相似

初始條件和邊界條件相似1.幾何相似（geometricsimilarity）

指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度成比例、夾角相等。

以腳標(biāo)p表示原型、m表示模型，則有長(zhǎng)度比尺面積比尺

體積比尺2.運(yùn)動(dòng)相似（kinematicsimilarity）

指原型和模型流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，即兩流場(chǎng)各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小具有同一比值。速度比尺

加速度比尺

3.動(dòng)力相似（dynamicsimilarity）

指原型和模型流動(dòng)相應(yīng)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。

分別以符號(hào)T、G、P、Tw和I代表影響流體運(yùn)動(dòng)的作用力，如粘滯力、重力、壓力、表面張力和慣性力，則有力的比尺達(dá)朗貝爾原理：對(duì)于運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，設(shè)想加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力，則慣性力與質(zhì)點(diǎn)所受作用力平衡，形式上構(gòu)成封閉力多邊形。動(dòng)力相似可表述為響應(yīng)點(diǎn)上的力多邊形相似，相應(yīng)力（同名力）成比例。4.初始條件和邊界條件相似#邊界條件相似指兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如原型中有固體壁面，模型中相應(yīng)部分也是固體壁面；原型中的自由液面，模型相應(yīng)部分也是自由液面。

#對(duì)于非恒定流動(dòng)，還要滿足初始條件相似；而對(duì)于恒定流動(dòng)，無(wú)需初始條件相似。流動(dòng)相似的進(jìn)一步解釋：邊界條件和初始條件相似以及幾何相似是流動(dòng)相似的前提與依據(jù)；動(dòng)力相似是決定流體運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素；運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的最終表現(xiàn)，是流動(dòng)相似的目標(biāo)；

凡流動(dòng)相似的原型與模型流動(dòng)，必然同時(shí)滿足幾何相似、動(dòng)力相似和運(yùn)動(dòng)相似。三、相似準(zhǔn)則

相似準(zhǔn)則：要使兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，前面定義的各項(xiàng)比尺須符合一定的約束關(guān)系，這種約束關(guān)系稱為相似準(zhǔn)則。

動(dòng)力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持某種固定不變的比例關(guān)系。1、雷諾準(zhǔn)則Re（粘滯力）考慮原型與模型之間粘滯力與慣性力的關(guān)系

無(wú)量綱數(shù)Re稱雷諾數(shù)（Reynoldsnumber）

雷諾數(shù)表示慣性力與粘滯力之比。兩相似流動(dòng)，粘滯力起主要作用時(shí)，雷諾數(shù)相等。適用范圍：水流阻力即粘滯力起主要作用的流體流動(dòng)，如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。2.弗勞德準(zhǔn)則

Fr（重力）考慮原型與模型之間重力與慣性力的關(guān)系弗勞德數(shù)（Froudenumber）表征慣性力與重力之比。兩相似流動(dòng)，重力起主要作用時(shí)，弗勞德數(shù)相等。適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動(dòng)的各種流動(dòng)（重力起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動(dòng)、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動(dòng)等。

3.歐拉準(zhǔn)則

Eu（壓力）考慮原型與模型之間壓力與慣性力的關(guān)系

歐拉數(shù)（Eulernumber）表征壓力與慣性力之比。兩相似流動(dòng)，壓力起主要作用時(shí)，歐拉數(shù)相等。由于壓力通常是待求量，這樣只要粘滯力、重力相似，壓力將自行相似。換言之，當(dāng)雷諾準(zhǔn)則、弗勞德準(zhǔn)則成立，歐拉準(zhǔn)則可自行成立。4.韋伯準(zhǔn)則

We（表面張力）當(dāng)流動(dòng)受表面張力影響時(shí)Tw=σl

I=ρl2v2Wep=Wem

韋伯?dāng)?shù)表征慣性力與表面張力之比，兩流動(dòng)相應(yīng)的韋伯?dāng)?shù)相等，則表面張力相似Webernumber.5.馬赫準(zhǔn)則

Ma（表面張力）Machnumber

在高速氣流中，存在著彈性力和慣性力的關(guān)系FE=El2

E=ρa(bǔ)2Map=Mam

馬赫數(shù)表征慣性力與彈性力的關(guān)系，兩流動(dòng)相應(yīng)的馬赫數(shù)相等，則彈性力相似。I=ρl2v2FE=ρl2a2第四節(jié)模型實(shí)驗(yàn)

建立與原型相似的小尺度模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，并以模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果預(yù)測(cè)原型將會(huì)發(fā)生的流動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律。一、模型律的選擇

為了使模型和原型流動(dòng)完全相似，除要幾何相似外，各獨(dú)立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時(shí)滿足。但實(shí)際上要同時(shí)滿足各準(zhǔn)則很困難，甚至是不可能的。原型與模型流動(dòng)雷諾數(shù)相等的這個(gè)相似條件，稱為雷諾模型律。原型與模型流動(dòng)弗勞德數(shù)相等的這個(gè)相似條件，稱為弗勞德模型律。

1、雷諾模型律通常采用同一種流體作實(shí)驗(yàn)按雷諾準(zhǔn)則(Re)p=(Re)m

2、弗勞德模型律按弗勞德準(zhǔn)則(Fr)p=(Fr)m

通常實(shí)驗(yàn)在地球表面進(jìn)行，各地g=c模型實(shí)驗(yàn)想做到與原型完全流動(dòng)相似是困難的，一般只能達(dá)到近似相似，就是保證對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相似，這就是模型律的選擇問(wèn)題。實(shí)際模型試驗(yàn)中，根據(jù)流動(dòng)的特點(diǎn)，抓住主要矛盾。在幾何相似的基礎(chǔ)上，只滿足雷諾模型律，或者只滿足弗勞德模型律，或者兩者都不滿足（處于自模區(qū)，只需滿足幾何相似），即可近似認(rèn)為流動(dòng)相似，在主要方面滿足試驗(yàn)要求。若要同時(shí)滿足Re、Fr準(zhǔn)則若要同時(shí)考慮Re、Fr準(zhǔn)則,并涉及所有量λg≠1

轉(zhuǎn)輪實(shí)驗(yàn)、微重力實(shí)驗(yàn)λg=1

二、模型設(shè)計(jì)

步驟：1、通常是先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，模型制做和量測(cè)條件定出長(zhǎng)度比尺λl；再以選定的比尺縮小原型的幾何尺寸，得出模型區(qū)的幾何邊界；2、根據(jù)對(duì)流動(dòng)受力情況分析，滿足對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相似，抓住主要矛盾選擇模型律；3、最后按所選用的相似準(zhǔn)則，確定流速比尺λv及模型的流量。

例題：書P84例：為研究輸油管道水力特征，用水管作模型實(shí)驗(yàn)。已知油管直徑dp=600mm，νp=40×10-6m2/s，輸油量Qp=90l/s，水管dm=50mm，νm=1.31×10-6m2/s，求輸水量Qm=?解：本實(shí)驗(yàn)應(yīng)滿足Re準(zhǔn)則（有壓管流）法一

(Re)p=(Re)m

法二2、舉例說(shuō)明由重力、粘滯力起主要作用的水流。粘滯力：層流狀態(tài)下的、管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。重力：堰壩溢流、孔口出流及明槽流動(dòng)及處于阻力平方區(qū)的有壓隧洞等。

作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力外，其他力都是企圖改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個(gè)力多邊形的話，那么慣性力則是這個(gè)力多邊形的合力，即牛頓定律流動(dòng)的變化就是慣性力與其他上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。1、為什么每個(gè)相似準(zhǔn)則都要表征慣性力？3、原型和模型能否同時(shí)滿足重力相