2023年比例線段知識點及練習題

相似形——比例線段及相似知識點講解【知識點講解】

一、比例線段

1.線段的比：假如選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m,n,那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?/p>

,其中a叫做比的前項;b叫做比的后項。

2.成比例線段：在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于此外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．

3.比例的項:已知四條線段a，ｂ，c，ｄ,假如

,那么a，b,ｃ,d，叫做組成比例的項，線段ａ,d叫做比例外項，線段b,c叫做比例內(nèi)項,線段ｄ還叫做a，ｂ,ｃ的第四比例項．

4.比例中項：假如作為比例線段的內(nèi)項是兩條相同的線段,即a:b=b：ｃ或

，那么線段b叫做線段ａ和ｃ的比例中項．

比例的性質(zhì)：

（1)比例的基本性質(zhì):

(2)反比性質(zhì)：

(3）更比性質(zhì):

或

或

(4)合比性質(zhì):

(5)等比性質(zhì):

且

?比例線段練習１、判斷下列四條線段是否成比例

①

a＝2,b＝,c＝，d=2；

②

a＝，b=３,

c=2,d＝;

③

a=4,b=6,

c=5,d=10；

④

ａ=12，b=8,

c＝15,d＝10

２、已知：ad=bc

（1)

將其改寫成比例式；

（2)

寫出所有以ａ,d為內(nèi)項的比例式；

（３)

寫出使ｂ作為第四項比例項的比例式;

(4)若；寫出以c作第四比例項的比例式；

3

、計算.

已知:x∶ｙ=５∶４,y∶z＝3∶７.求x∶y∶z.

(2）已知:a,b，c為三角形三邊長，(a-c)

∶(c+b）

∶(ｃ－b)=2∶7∶(-1），周長為24.求三邊長.

4

、在相同時刻的物高與影長成比例，假如一古塔在地面上影長為50ｍ,同時，高為１.５ｍ的測竿的影長為2．5ｍ,那么，古塔的高是多么米？

5、，AB=10cm,AＤ=２cm,ＢＣ=7.2cm,E為BＣ中點.求EF,BF的長.

６.(1)已知:ｘ：(x+1)＝(1—x）：3，求x。

(2）若，求

（３)

若，求

，

(4)若x2-3xy+2y2=0,求7.將比例式中的移到第四比例項，使比例式仍成立。

(１)a:b=:c

(2)

：a=b:c

(3)

ａ：＝ｂ:ｃ

8:若,求

練習:已知:,

求的值9:

若ABC三邊a：b:c＝６：4:3,三邊上的高分別為ｈ1、h2、h3,求h１：h2：h3的值。

10：已知兩地的實際距離是２50米,畫在地圖上的距離（圖距)是5厘米,在這樣的地圖上,圖距ａ=８厘米的兩地A,Ｂ的實際距離是多少呢？比例尺是多少？

１2:操場上有一群學生在玩游戲,其中男生與女生的人數(shù)比例是3:2,后來又有6名女同學參與進來，此時女生與女生人數(shù)的比為5：4,求本來各有多少男生和女生?

比例線段拓展

1、比例線段

在四條線段中,假如其中兩條線段的比等于此外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

設ａ、b、c、d為線段，假如a:ｂ=c：d，ｂ、c叫比例內(nèi)項,ａ、ｄ叫比例外項,ｄ叫做a、ｂ、ｃ的第四比例項；假如a:b=b:c，或b2=aｃ,那么b叫a、c的比例中項。

黃金分割

如圖,把線段AＢ提成兩條線段AC和ＢC(AC>BC),且使AC是ＡＢ和ＢＣ的比例中項，叫做把線段ＡB黃金分割，

點C叫做線段AＢ的黃金分割點，叫作黃金分割數(shù)（簡稱黃金數(shù)或黃金比）

注意:（1)；

(2）一條線段有兩個黃金分割點。

３、平行線分三角形兩邊成比例

（1)基本領實:兩條直線被一組平行線所截，所得的相應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線）,所得的相應線段成比例。

推論:平行于三角形一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊相應成比例。

如圖，則有【思考】畫圖說明平行于三角形一邊的其他情況。

（２)三角形的重心

定義:三角形的重心是三角形三條中線的交點

與重心有關的比例線段：三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍。

（３）三角形一邊平行線的鑒定定理：假如一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的相應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊。(三角形一邊平行線的鑒定定理)

(4）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的相應線段成比例。平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

根據(jù)被截的兩條直線的位置關系，可以分五種圖形情況（如圖1-圖5)：

推論1:通過梯形一腰的中點與底平行的直線,必平分另一腰.

在梯形AＣFD中,ＡＤ/／CF，AB=BC，那么ＤＥ=EF

推論2：通過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

在△ＡCF中，CFBE//，AＢ=BC

，那么AE=ＥF

(5）三角形和梯形的中位線定理

三角形的中位線:連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

如圖,Ｄ、Ｅ分別為AB、AＣ的中點，那么BC//DE,DE＝BC

梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半。

梯形ＡBＣD中，AＤ/／BC，E、F分別是AB、ＣＤ的中點，那么EF／／AＤ//BC,ＥＦ=(AD+BC)

練習

如圖，已知△AＢＣ中，DＥ∥BC,則下列等式中不成立的是(

)AＤ：ＡB=AE:AC

(B)AD:DB＝AＥ：EＣ

(Ｃ）AD:ＤB=DＥ:ＢC

（D)ＡD:AB＝DE:ＢC

如圖,DF∥AC，DE∥BＣ,下列各式中對的的是（

）

(Ｂ)

(Ｃ)

（D)

３、如圖，已知ΔABC中,ＤＥ∥BC,AD2=ＡB?AＦ,求證∠1＝∠2

4、已知ΔAＢC中,ＡD為∠BAＣ的外角∠EAC的平分線,D為平分線與BC延長線交點,求證：

5、設點F在平行四邊形ABCＤ的邊CB的延長線上，DＦ交AB于點E,求證

AＥ:AD=ＡＢ:CＦ

?【課后練習】

已知：

a：b:ｃ=3:5:7且2