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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年安徽醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB+AD=λAO,則λ=______.答案:∵四邊形ABCD為平行四邊形,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,∴AB+AD=AC,又O為AC的中點(diǎn),∴AC=2AO,∴AB+AD=2AO,∵AB+AD=λAO,∴λ=2.故為:2.2.設(shè)U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},則M∩N=______.答案:∵M(jìn)={直角三角形},N={等腰三角形},∴M∩N={直角三角形且等腰三角形}={等腰直角三角形}故為{等腰直角三角形}3.經(jīng)過點(diǎn)P(4,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()
A.y2=-8x
B.x2=-8y
C.y2=x或x2=-8y
D.y2=x或y2=8x答案:C4.已知|a|=8,e是單位向量,當(dāng)它們之間的夾角為π3時(shí),a在e方向上的投影為
______.答案:a在e方向上的投影為a?e=|a||e|cosπ3=4故為:45.某學(xué)校為了調(diào)查高三年級(jí)的200名文科學(xué)生完成課后作業(yè)所需時(shí)間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學(xué)生會(huì)的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對(duì)該年級(jí)的文科學(xué)生進(jìn)行編號(hào),從001到200,抽取學(xué)號(hào)最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,則這兩種抽樣的方法依次為()A.分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層抽樣C.分層抽樣,系統(tǒng)抽樣D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣答案:第一種由學(xué)生會(huì)的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查;這是一種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,第二種由教務(wù)處對(duì)該年級(jí)的文科學(xué)生進(jìn)行編號(hào),從001到200,抽取學(xué)號(hào)最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,對(duì)于個(gè)體比較多的總體,采用系統(tǒng)抽樣,故選D.6.將函數(shù)y=sin(x+)的圖象按向量=(-m,0)平移所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m最小正值是
(
)
A.
B.
C.
D.答案:A7.如圖,有兩條相交成π3角的直線EF,MN,交點(diǎn)是O.一開始,甲在OE上距O點(diǎn)2km的A處;乙在OM距O點(diǎn)1km的B處.現(xiàn)在他們同時(shí)以2km/h的速度行走.甲沿EF的方向,乙沿NM的方向.設(shè)與OE同向的單位向量為e1,與OM同向的單位向量為e2.
(1)求e1,e2;
(2)若過2小時(shí)后,甲到達(dá)C點(diǎn),乙到達(dá)D點(diǎn),請(qǐng)用e1,e2表示CD;
(3)若過t小時(shí)后,甲到達(dá)G點(diǎn),乙到達(dá)H點(diǎn),請(qǐng)用e1,e2表示GH;
(4)什么時(shí)間兩人間距最短?答案:(1)由題意可得e1=12OA,e2=OB,(2)若過2小時(shí)后,甲到達(dá)C點(diǎn),乙到達(dá)D點(diǎn),則OC=-2e1,OD=5e2,故CD=OD-OC=2e1+5e2,(3)同(2)可得:經(jīng)過t小時(shí)后,甲到達(dá)G點(diǎn),乙到達(dá)H點(diǎn),則OG=(-2t+2)e1,OH=(2t+1)e2,故GH=OH-OG=(2t-2)e1+(2t+1)e2,(4)由(3)可得GH=(2t-2)e1+(2t+1)e2,故兩人間距離y=|GH|=[(2t-2)e1+(2t+1)e2]2=(2t-2)2+(2t+1)2+2(2t-2)(2t+1)×12=12t2-6t+3,由二次函數(shù)的知識(shí)可知,當(dāng)t=--62×12=14時(shí),上式取到最小值32,故14時(shí)兩人間距離最短.8.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點(diǎn),已知燈口直徑是60
cm,燈深40
cm,則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是
______cm.答案:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),點(diǎn)(40,30)在拋物線y2=2px上,∴900=2p×40.∴p=454.∴p2=458.因此,光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為458cm.9.已知a=(1,-2,4),b=(1,0,3),c=(0,0,2).求
(1)a?(b+c);
(2)4a-b+2c.答案:解(1)∵b+c=(1,0,5),∴a?(b+c)=1×1+(-2)×0+4×5=21.(2)4a-b+2c=(4,-8,16)-(1,0,3)+(0,0,4)=(3,-8,17).10.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;
(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.答案:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).…(3分)(Ⅰ)證明:設(shè)AC∩BD=E,連接D1、E,則有E(1,1,0),D1E=B1B=(1,1,-2),所以B1B∥D1E,∵BB?平面D1AC,D1E?平面D1AC,∴B1B∥平面D1AC;…(6分)(II)D1B1=(1,1,0),D1A=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面AB1D1的法向量,n?B1D1=x+y=0,n?D1A=2x-2z=0.于是令x=1,則y=-1,z=1.則n=(1,-1,1)…(8分)同理可以求得平面D1AC的一個(gè)法向量m=(1,1,1),…(10分)cos<m,n>=m?n|m||n|=13.∴二面角B1-AD1-C的余弦值為13.…(12分)11.已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+λb),則實(shí)數(shù)λ的值是
______.答案:a+λb=(2,4)+λ(1,1)=(2+λ,4+λ).∵b⊥(a+λb),∴b?(a+λb)=0,即(1,1)?(2+λ,4+λ)=2+λ+4+λ=6+2λ=0,∴λ=-3.故:-312.與x軸相切并和圓x2+y2=1外切的圓的圓心的軌跡方程是______.答案:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn),則由題意知1+|y|=x2+y2,化簡(jiǎn)得x2=2|y|+1.因此與x軸相切并和圓x2+y2=1外切的圓的圓心的軌跡方程是x2=2|y|+1.故為x2=2|y|+1.13.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作()個(gè).
A.2
B.3
C.4
D.5答案:D14.P是直線3x+y+1=0上一點(diǎn),P到點(diǎn)Q(0,2)距離的最小值是______.答案:過點(diǎn)Q作直線的垂線段,當(dāng)P是垂足時(shí),線段PQ最短,故最小距離是點(diǎn)Q(0,2)到直線3x+y+1=0的距離d,d=|0+2+1|3+1=32=1.5.∴P到點(diǎn)Q(0,2)距離的最小值是1.5;故為1.5.15.例3.設(shè)a>0,b>0,解關(guān)于x的不等式:|ax-2|≥bx.答案:原不等式|ax-2|≥bx可化為ax-2≥bx或ax-2≤-bx,(1)對(duì)于不等式ax-2≤-bx,即(a+b)x≤2
因?yàn)閍>0,b>0即:x≤2a+b.(2)對(duì)于不等式ax-2≥bx,即(a-b)x≥2①當(dāng)a>b>0時(shí),由①得x≥2a-b,∴此時(shí),原不等式解為:x≥2a-b或x≤2a+b;當(dāng)a=b>0時(shí),由①得x∈?,∴此時(shí),原不等式解為:x≤2a+b;當(dāng)0<a<b時(shí),由①得x≤2a-b,∴此時(shí),原不等式解為:x≤2a+b.綜上可得,當(dāng)a>b>0時(shí),原不等式解集為(-∞,2a+b]∪[2a-b,+∞),當(dāng)0<a≤b時(shí),原不等式解集為(-∞,2a+b].16.已知函數(shù)f
(x)=logx,則方程()|x|=|f(x)|的實(shí)根個(gè)數(shù)是()
A.1
B.2
C.3
D.2006答案:B17.若x~N(2,σ2),P(0<x<4)=0.8,則P(0<X<2)=______.答案:∵X~N(2,σ2),∴正態(tài)曲線關(guān)于x=2對(duì)稱,∵P(0<X<4)=0.8,∴P(0<X<2)=12P(0<X<4)=0.4,故為:0.4.18.根據(jù)下列條件,求圓的方程:
(1)過點(diǎn)A(1,1),B(-1,3)且面積最??;
(2)圓心在直線2x-y-7=0上且與y軸交于點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2).答案:(1)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓就是以線段AB為直徑的圓,∴圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2,∴所求圓的方程為x2+(y-2)2=2;(2)由圓與y軸交于點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2)可知,圓心在直線y=-3上,由2x-y-7=0y=-3,解得x=2y=-3,∴圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=5,∴所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.19.若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3,它的側(cè)面積是兩底面面積和的2倍,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是()A.2B.2.5C.5D.10答案:設(shè)母線長(zhǎng)為l,則S側(cè)=π(1+3)l=4πl(wèi).S上底+S下底=π?12+π?32=10π.據(jù)題意4πl(wèi)=20π即l=5,故選C.20.若a>0,b>0,2a+3b=1,則ab的最大值為______.答案:∵a>0,b>0,2a+3b=1∴2a+3b=1≥26ab∴ab≤124故為12421.在圖中,M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn),若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N,沿怎么樣的路線路程最短?答案:沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開輔平,得出圓柱的側(cè)面展開圖,從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn),實(shí)際上是從側(cè)面展開圖的長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N.而兩點(diǎn)間以線段的長(zhǎng)度最短.所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線.如圖所示.22.過點(diǎn)A(3,5)作圓C:(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線的方程為______.答案:由圓的一般方程可得圓的圓心與半徑分別為:(2,3);1,當(dāng)切線的斜率存在,設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為:kx-y-3k+5=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得:|2k-3-3k+5|k2+1=1解得:k=-34,所以切線方程為:3x+4y-29=0;當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),直線為:x=3,滿足圓心(2,3)到直線x=3的距離為圓的半徑1,x=3也是切線方程;故為:3x+4y-29=0或x=3.23.如圖,⊙O中弦AB,CD相交于點(diǎn)P,已知AP=3,BP=2,CP=1,則DP=()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:D24.為了了解1200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見,打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為______答案:由題意知本題是一個(gè)系統(tǒng)抽樣,總體中個(gè)體數(shù)是1200,樣本容量是40,根據(jù)系統(tǒng)抽樣的步驟,得到分段的間隔K=120040=30,故為:30.25.已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(1,2),則直線AB的斜率為______.答案:因?yàn)锳(0,4)和點(diǎn)B(1,2),所以直線AB的斜率k=2-41-0=-2故為:-226.已知函數(shù)f(x)=2x+a的圖象不過第三象限,則常數(shù)a的取值范圍是
______.答案:函數(shù)f(x)=2x+a的圖象可根據(jù)指數(shù)函數(shù)f(x)=2x的圖象向上(a>0)或者向下(a<0)平移|a|個(gè)單位得到,若函數(shù)f(x)=2x+a的圖象不過第三象限,則只能向上平移或者不平移,因此,a的取值范圍是a≥0.故為:a≥0.27.設(shè)a,b,λ都為正數(shù),且a≠b,對(duì)于函數(shù)y=x2(x>0)圖象上兩點(diǎn)A(a,a2),B(b,b2).
(1)若AC=λCB,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______;
(2)過點(diǎn)C作x軸的垂線,交函數(shù)y=x2(x>0)的圖象于D點(diǎn),由點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方可得不等式:______.答案:(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A(a,a2),B(b,b2),AC=λCB,則(x-a,y-a2)=λ(b-x,b2-y),所以:x=a+λb1+λ,y=a2+λb21+λ(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在點(diǎn)D的上方,則y>yD,所以a2+λb21+λ>(a+λb1+λ)228.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},則集合A∩B中的元素個(gè)數(shù)為(
)
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.無窮多個(gè)答案:C29.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.答案:由題意可知x2=14y∴p=18∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,116)故為(0,116)30.俊、杰兄弟倆分別在P、Q兩籃球隊(duì)效力,P隊(duì)、Q隊(duì)分別有14和15名球員,且每個(gè)隊(duì)員在各自隊(duì)中被安排首發(fā)上場(chǎng)的機(jī)會(huì)是均等的,則P、Q兩隊(duì)交戰(zhàn)時(shí),俊、杰兄弟倆同為首發(fā)上場(chǎng)交戰(zhàn)的概率是(首發(fā)上場(chǎng)各隊(duì)五名隊(duì)員)(
)A.B.C.D.答案:B解析:解:P(俊首發(fā))=
P(杰首發(fā))==P(俊、杰同首發(fā))=
選B評(píng)析:考察考生等可能事件的概率與相互獨(dú)立事件的概率問題。31.設(shè)e1,e2為單位向量.且e1、e2的夾角為π3,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的射影為______.答案:∵e1、e2為單位向量,且e1和e2的夾角θ等于π3,∴e1?e2=1×1×cosπ3=12.∵a=e1+3e2,b=2e1,∴a?b=(e1+3e2)?(2e1)=2e12+6e1?e2=2+3=5.∴a在b上的射影為a?b|b|=52,故為52.32.用反證法證明命題“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有1個(gè)能被5整除.”則假設(shè)的內(nèi)容是()
A.a(chǎn),b都能被5整除
B.a(chǎn),b都不能被5整除
C.a(chǎn),b不能被5整除
D.a(chǎn),b有1個(gè)不能被5整除答案:B33.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為13,則x2的系數(shù)為()A.31B.40C.31或40D.71或80答案:(1+2x)m的展開式中x的系數(shù)為2Cm1=2m,(1+3x)n的展開式中x的系數(shù)為3Cn1=3n∴3n+2m=13∴n=1m=5或n=3m=2(1+2x)m的展開式中的x2系數(shù)為22Cm2,(1+3x)n的展開式中的x2系數(shù)為32Cn2∴當(dāng)n=1m=5時(shí),x2的系數(shù)為22Cm2+32Cn2=40當(dāng)n=3m=2時(shí),x2的系數(shù)為22Cm2+32Cn2=31故選C.34.已知直線過點(diǎn)A(2,0),且平行于y軸,方程:|x|=2,則(
)
A.l是方程|x|=2的曲線
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在l上答案:C35.若A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則A∩B=()
A.{2,1}
B.{(2,1)}
C.{1,2}
D.{(1,2)}答案:D36.考慮坐標(biāo)平面上以O(shè)(0,0),A(3,0),B(0,4)為頂點(diǎn)的三角形,令C1,C2分別為△OAB的外接圓、內(nèi)切圓.請(qǐng)問下列哪些選項(xiàng)是正確的?
(1)C1的半徑為2
(2)C1的圓心在直線y=x上
(3)C1的圓心在直線4x+3y=12上
(4)C2的圓心在直線y=x上
(5)C2的圓心在直線4x+3y=6上.答案:O,A,B三點(diǎn)的位置如右圖所示,C1,C2為△OAB的外接圓與內(nèi)切圓,∵△OAB為直角三角形,∴C1為以線段AB為直徑的圓,故半徑為12|AB|=52,所以(1)選項(xiàng)錯(cuò)誤;又C1的圓心為線段AB的中點(diǎn)(32,2),此點(diǎn)在直線4x+3y=12上,所以選項(xiàng)(2)錯(cuò)誤,選項(xiàng)(3)正確;如圖,P為△OAB的內(nèi)切圓C2的圓心,故P到△OAB的三邊距離相等均為圓C2的半徑r.連接PA,PB,PC,可得:S△OAB=S△POA+S△PAB+S△POB?12×3×4=12×3×r+12×5×r+12×4×r?r=1故P的坐標(biāo)為(1,1),此點(diǎn)在y=x上.所以選項(xiàng)(4)正確,選項(xiàng)(5)錯(cuò)誤,綜上,正確的選項(xiàng)有(3)、(4).37.設(shè)A(1,-1,1),B(3,1,5),則線段AB的中點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是()
A.在y軸上
B.在xOy面內(nèi)
C.在xOz面內(nèi)
D.在yOz面內(nèi)答案:C38.若數(shù)列{an}(n∈N+)為等差數(shù)列,則數(shù)列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也為等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列且cn>0(n∈N+),則有數(shù)列dn=______(n∈N+)也是等比數(shù)列.答案:從商類比開方,從和類比到積,可得如下結(jié)論:nC1C2C3Cn故為:nC1C2C3Cn39.已知=(3,4),=(5,12),與則夾角的余弦為()
A.
B.
C.
D.答案:A40.已知中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的和為92,離心率為35的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.答案:由題意可得a+b=92e=ca=35a2=b2+c2,解得a2=50b2=32.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x250+y232=1或y250+x232=1.故為x250+y232=1或y250+x232=1.41.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的M的值為()
A.17
B.53
C.161
D.485
答案:C42.一個(gè)算法的流程圖如圖所示,則輸出S的值為
.答案:根據(jù)程序框圖,題意為求:s=1+2+3+4+5+6+7+8+9,計(jì)算得:s=45,故為:45.43.雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,則該雙曲線的離心率等于______.答案:∵雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,∴ba=32,設(shè)a=2k,b=3k,則c=13k,∴e=ca=132.:132.44.從30個(gè)足球中抽取10個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),說明利用隨機(jī)數(shù)法抽取這個(gè)樣本的步驟及公平性.答案:第一步:首先將30個(gè)足球編號(hào):00,01,02…29,第二步:在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)的選一個(gè)數(shù)作為開始.第三步:從選定的數(shù)字向右讀,得到二位數(shù)字,將它取出,把大于29的去掉,,按照這種方法繼續(xù)向右讀,取出的二位數(shù)若與前面相同,則去掉,依次下去,就得到一個(gè)具有10個(gè)數(shù)據(jù)的樣本.其公平性在于:第一隨機(jī)數(shù)表中每一個(gè)位置上出現(xiàn)的哪一個(gè)數(shù)都是等可能的,第二從30個(gè)個(gè)體中抽到那一個(gè)個(gè)體的號(hào)碼也是機(jī)會(huì)均等的,基于以上兩點(diǎn),利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本保證了各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是等可能的.45.若x、y∈R+且x+2y≤ax+y恒成立,則a的最小值是()A.1B.2C.3D.1+22答案:由題意,根據(jù)柯西不等式得x+2y≤(1+2)(x+y)∴x+2y≤3(x+y)要使x+2y≤ax+y恒成立,∴a≥3∴a的最小值是3故選C.46.如圖,在△ABC中,設(shè)AB=a,AC=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.
(Ⅰ)若AP=λa+μb,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對(duì)角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比S平行四邊形ANPMS△ABC.答案:(Ⅰ)∵在△ABC中,設(shè)AB=a,AC=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ∵AP=λa+μb,可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,可得AP=27AB+47AC=λa+μb,∴λ=27μ=47;(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對(duì)角線,作平行四邊形ANPM,∵得AP=27AB+47AC,∴S平行四邊形ANPMS平行四邊形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;47.直線y=1與直線y=3x+3的夾角為______答案:l1與l2表示的圖象為(如下圖所示)y=1與x軸平行,y=3x+3與x軸傾斜角為60°,所以y=1與y=3x+3的夾角為60°.故為60°48.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一點(diǎn),若λOG=OA+OB+OC,則λ=______.答案:如圖,正方體中,OA+OB+OC=OD=3OG,∴λ=3.故為3.49.在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn),以該點(diǎn)為中點(diǎn)作弦,則所做弦的長(zhǎng)度超過3的概率是()A.15B.14C.13D.12答案:如圖,C是弦AB的中點(diǎn),在直角三角形AOC中,AC=12AB=32,OA=1,∴OC=12.∴符合條件的點(diǎn)必須在半徑為12圓內(nèi),則所做弦的長(zhǎng)度超過3的概率是P=S小圓S大圓=(12)2ππ=14.故選B.50.不論k為何實(shí)數(shù),直線y=kx+1與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:直線y=kx+1恒過(0,1)點(diǎn),與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點(diǎn),必須定點(diǎn)在圓上或圓內(nèi),即:a2+12
≤4+2a所以,-1≤a≤3故為:-1≤a≤3.第2卷一.綜合題(共50題)1.將參數(shù)方程化為普通方程為(
)
A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)答案:C2.已知f(x+1)=x2+2x+3,則f(2)的值為______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故為:6.3.如圖,△ABC是圓的內(nèi)接三角形,PA切圓于點(diǎn)A,PB交圓于點(diǎn)D.若∠ABC=60°,PD=1,BD=8,則∠PAC=______°,PA=______.答案:∵PD=1,BD=8,∴PB=PD+BD=9由切割線定理得PA2=PD?PB=9∴PA=3又∵PE=PA∴PE=3又∠PAC=∠ABC=60°故:60,34.如圖,在正方體OABC-O1A1B1C1中,棱長(zhǎng)為2,E是B1B的中點(diǎn),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為()
A.(2,2,1)
B.(2,2,)
C.(2,2,)
D.(2,2,)
答案:A5.規(guī)定符號(hào)“△”表示一種運(yùn)算,即a△b=ab+a+b,其中a、b∈R+;若1△k=3,則函數(shù)f(x)=k△x的值域______.答案:1△k=k+1+k=3,解得k=1,∴k=1∴f(x)=k△x=kx+k+x=x+x+1對(duì)于x需x≥0,∴對(duì)于f(x)=x+x+1=(x+12)2+34≥1故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)故為:[1,+∞)6.已知復(fù)數(shù)z滿足(1-i)?z=1,則z=______.答案:∵復(fù)數(shù)z滿足(1-i)?z=1,∴z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,故為12+i2.7.三個(gè)數(shù)a=60.5,b=0.56,c=log0.56的大小順序?yàn)開_____.(按大到小順序)答案:∵a=60.5>60=1,0<b=0.56<0.50=1,c=log0.56<log0.51=0.∴a>b>c.故為a>b>c.8.O、A、B、C為空間四個(gè)點(diǎn),又為空間的一個(gè)基底,則()
A.O、A、B、C四點(diǎn)共線
B.O、A、B、C四點(diǎn)共面,但不共線
C.O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線
D.O、A、B、C四點(diǎn)不共面答案:D9.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí),使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A.(0,0)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,2)答案:由題意得F(12,0),準(zhǔn)線方程為x=-12,設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|,則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí),|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-(-12)=72.把y=2代入拋物線y2=2x得x=2,故點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,2),故選D.10.已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?9,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6,外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9.求他的總分和平均成績(jī)的一個(gè)算法為:
第一步:取A=89,B=96,C=99;
第二步:______;
第三步:______;
第四步:輸出計(jì)算的結(jié)果.答案:由題意,第二步,求和S=A+B+C,第三步,計(jì)算平均成績(jī).x=A+B+C3.故為:S=A+B+C;.x=A+B+C3.11.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?2?…?(2n-1)”(n∈N+)時(shí),從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)增添的式子是______.答案:當(dāng)n=k時(shí),左邊等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),當(dāng)n=k+1時(shí),左邊等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),故從“k”到“k+1”的證明,左邊需增添的代數(shù)式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1),故為:2(2k+1).12.一個(gè)路口的紅綠燈,紅燈的時(shí)間為30秒,黃燈的時(shí)間為5秒,綠燈的時(shí)間為40秒,一學(xué)生到達(dá)該路口時(shí),見到紅燈的概率是()A.25B.58C.115D.35答案:由題意知本題是一個(gè)那可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是總的時(shí)間長(zhǎng)度為30+5+40=75秒,設(shè)紅燈為事件A,滿足條件的事件是紅燈的時(shí)間為30秒,根據(jù)等可能事件的概率得到出現(xiàn)紅燈的概率P(A)=構(gòu)成事件A的時(shí)間長(zhǎng)度總的時(shí)間長(zhǎng)度=3075=25.故選A.13.用反證法證明“a>b”時(shí),反設(shè)正確的是()
A.a(chǎn)>b
B.a(chǎn)<b
C.a(chǎn)=b
D.以上都不對(duì)答案:D14.設(shè)F1,F(xiàn)2為定點(diǎn),|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A.橢圓B.直線C.圓D.線段答案:對(duì)于在平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)M到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于6,而6正好等于兩定點(diǎn)F1、F2的距離,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1,F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段.故選D.15.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P,設(shè)命題甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是:“點(diǎn)P的軌跡是以A.B為焦點(diǎn)的橢圓”,那么()A.甲是乙成立的充分不必要條件B.甲是乙成立的必要不充分條件C.甲是乙成立的充要條件D.甲是乙成立的非充分非必要條件答案:命題甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是:“點(diǎn)P的軌跡是以A.B為焦點(diǎn)的橢圓∵當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)距離之和等于定值時(shí),再加上這個(gè)和大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離,可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓,沒有加上的條件不一定推出,而點(diǎn)P的軌跡是以A.B為焦點(diǎn)的橢圓,一定能夠推出|PA|+|PB|是定值,∴甲是乙成立的必要不充分條件故選B.16.設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布如表所示:
求:(l)P(ξ<1),P(ξ≤1),P(ξ<2),P(ξ≤2);
(2)P(x)=P(ξ≤x),x∈R.答案:(1)根據(jù)所給的分布列可知14+13+m+112=1,∴m=13,∴P(ξ<1)=0P(ξ≤1)=P(ξ=1)=14P(ξ<2)=P(ξ≤1)=P(ξ=1)=14P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=14+13=712(2)根據(jù)所給的分布列和第一問做出的結(jié)果,得到P(X)=14,(x≤1)P(X)=712,(1<X≤2)P(X)=1112,(2<x≤3)p(X)=1,(X≥3)17.設(shè)M是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn)(且不與M重合),則OA+OB+OC+OD
等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案:∵O為任意一點(diǎn),不妨把A點(diǎn)O看成O點(diǎn),則OA+OB+OC+OD=0+AB+AC
+AD,∵M(jìn)是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),∴0+AB+AC+AD=2AC=4AM故選D18.設(shè)x+y+z=1,求F=2x2+3y2+z2的最小值.答案:∵1=(x+y+z)2=(12?2x+13?3y+1?z)2≤(12+13+1)(2x2+3y2+z2)∴F=2x2+3y2+z2≥611(8分)當(dāng)且僅當(dāng)2x12=3y13=z1且x+y+z=1,x=311,y=211,z=611F有最小值611(12分)19.從5名男學(xué)生、3名女學(xué)生中選3人參加某項(xiàng)知識(shí)對(duì)抗賽,要求這3人中既有男生又有女生,則不同的選法共有()A.45種B.56種C.90種D.120種答案:由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題,要求這3人中既有男生又有女生包括兩種情況,一是兩女一男,二是兩男一女,當(dāng)包括兩女一男時(shí),有C32C51=15種結(jié)果,當(dāng)包括兩男一女時(shí),有C31C52=30種結(jié)果,∴根據(jù)分類加法得到共有15+30=45故選A.20.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為______.答案:依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P',拋物線的焦點(diǎn)為F,則F(12,0),依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP'|=|PF|,則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=(12)2+22=172.故為:172.21.已知雙曲線的兩條準(zhǔn)線將兩焦點(diǎn)間的線段三等分,則雙曲線的離心率是______.答案:由題意可得2c×13=2a2c,∴3a2=c2,∴e=ca=3,故為:3.22.若a=(1,1),則|a|=______.答案:由題意知,a=(1,1),則|a|=1+1=2,故為:2.23.(幾何證明選講選做題)
如圖,已知AB是⊙O的一條弦,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,則PC的長(zhǎng)是______.答案:∵AB是⊙O的一條弦,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),PC⊥OP,PC交⊙O于C,∴AP×PB=PC2,∵AP=4,PB=2,∴PC2=8,解得PC=22.故為:22.24.如圖,已知AB是⊙O的直徑,AB⊥CD于E,切線BF交AD的延長(zhǎng)線于F,若AB=10,CD=8,則切線BF的長(zhǎng)是
______.答案:連接OD,AB⊥CD于E,根據(jù)垂徑定理得到DE=4,在直角△ODE中,根據(jù)勾股定理得到OE=3,因而AE=8,易證△ABF∽△AED,得到DEBF=AEAB=810,解得BF=5.25.分析如圖的程序:若輸入38,運(yùn)行右邊的程序后,得到的結(jié)果是
______.答案:根據(jù)程序語(yǔ)句,其意義為:輸入一個(gè)x,使得9<x<100a=x\10
為去十位數(shù)b=xMOD10
去余數(shù),即取個(gè)位數(shù)x=10*b+a
重新組合數(shù)字,用原來二位數(shù)的十位當(dāng)個(gè)位,個(gè)位當(dāng)十位否則說明輸入有誤故當(dāng)輸入38時(shí)輸出83故為:8326.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,用速度恒定的傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間之前,質(zhì)檢員每隔3分鐘從傳送帶上是特定位置取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),這種抽樣方法是()
A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
B.系統(tǒng)抽樣
C.分層抽樣
D.其它抽樣方法答案:B27.設(shè)0<a<1,m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),則m,n,p的大小關(guān)系是()A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n答案:取a=0.5,則a2+1、a+1、2a的大小分別為:1.25,1.5,1,又因?yàn)?<a<1時(shí),y=logax為減函數(shù),所以p>m>n故選D28.若P=+,Q=+(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系是()
A.P>Q
B.P=Q
C.P<Q
D.由a的取值確定答案:C29.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若向量OB=a100OA+a101OC,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)O),則S200等于______.答案:由題意可知:向量OB=a100OA+a101OC,又∵A、B、C三點(diǎn)共線,則a100+a101=1,等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為Sn=(a1+an)?n
2,∴S200=(a1+a200)×200
2=(a100+
a101)×2002=100,故為100.30.已知
|x|<a,|y|<a.求證:|xy|<a.答案:證明:∵0<|x|<a,0<|y|<a∴由不等式的性質(zhì),可得|xy|<a31.右圖程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為()
A.3456
B.4567
C.5678
D.6789
答案:A32.直線(3+4)x+(4-6)y-14-2=0(∈R)恒過定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
)。答案:(2,-1)33.設(shè)ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且a12+a22+…an2=1,x12+x22+…xn2=1,則a1x1,a2x2,…,anxn的值中,現(xiàn)給出以下結(jié)論,其中你認(rèn)為正確的是______.
①都大于1②都小于1③至少有一個(gè)不大于1④至多有一個(gè)不小于1⑤至少有一個(gè)不小于1.答案:由題意ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且a12+a22+…an2=1,x12+x22+…xn2=1,對(duì)于a1x1,a2x2,…,anxn的值中,若①成立,則分母都小于分子,由于分母的平方和為1,故可得a12+a22+…an2大于1,這與已知矛盾,故①不對(duì);若②成立,則分母都大于分子,由于分母的平方和為1,故可得a12+a22+…an2小于1,這與已知矛盾,故②不對(duì);由于③與①兩結(jié)論互否,故③對(duì)④不可能成立,a1x1,a2x2,…,anxn的值中有多于一個(gè)的比值大于1是可以的,故不對(duì)⑤與②兩結(jié)論互否,故正確綜上③⑤兩結(jié)論正確故為③⑤34.圓x2+y2-6x+4y+12=0與圓x2+y2-14x-2y+14=0的位置關(guān)系是______.答案:∵圓x2+y2-6x+4y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得(x-3)2+(y+2)2=1∴圓x2+y2-6x+4y+12=0的圓心為C1(3,-2),半徑r1=1同理可得圓x2+y2-14x-2y+14=0的C2(7,1),半徑r2=6∵兩圓的圓心距|C1C2|=(7-3)2+(1+2)2=5∴|C1C2|=r2-r1=5,可得兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切故為:內(nèi)切35.(幾何證明選做題)如圖,已知:△ABC內(nèi)接于圓O,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上,AD是圓O的切線,若∠B=30°,AC=2,則OD的長(zhǎng)為______.答案:∵AD是圓O的切線,∠B=30°∴∠DAC=30°,∴∠OAC=60°,∴△AOC是一個(gè)等邊三角形,∴OA=OC=2,在直角三角形AOD中,OD=2AO=4,故為:4.36.已知點(diǎn)M(a,b)在直線3x+4y=15上,則a2+b2的最小值為______.答案:a2+b2的幾何意義是到原點(diǎn)的距離,它的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線3x+4y=15的距離:d=155=3.故為3.37.如圖是一幾何體的三視圖,正視圖是一等腰直角三角形,且斜邊BD長(zhǎng)為2;側(cè)視圖一直角三角形;俯視圖為一直角梯形,且AB=BC=1,則異面直線PB與CD所成角的正切值是()A.1B.2C.12D.12答案:取AD的中點(diǎn)E,連接BE,PE,CE,根據(jù)題意可知BE∥CD,∴∠PBE為異面直線PB與CD所成角根據(jù)條件知,PE=1,BE=2,PE⊥BE∴tan∠PBE=12故選C.38.已知曲線,
θ∈[0,2π)上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0)的距離之差為2,則△PAB是()
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形答案:C39.設(shè)a、b為單位向量,它們的夾角為90°,那么|a+3b|等于______.答案:∵a,b它們的夾角為90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10∴|a+3b|=10故為1040.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是(
)A.B.C.D.答案:D解析:是和的最大公約數(shù),也就是和的最大公約數(shù)41.函數(shù)f(x)=8xx2+2(x>0)()A.當(dāng)x=2時(shí),取得最小值83B.當(dāng)x=2時(shí),取得最大值83C.當(dāng)x=2時(shí),取得最小值22D.當(dāng)x=2時(shí),取得最大值22答案:f(x)=8xx2+2=8x+2x≤822(x>0)=22當(dāng)且僅當(dāng)x=2x即x=2時(shí),取得最大值22故選D.42.某校在檢查學(xué)生作業(yè)時(shí),抽出每班學(xué)號(hào)尾數(shù)為4的學(xué)生作業(yè)進(jìn)行檢查,這里主要運(yùn)用的抽樣方法是()
A.分層抽樣
B.抽簽抽樣
C.隨機(jī)抽樣
D.系統(tǒng)抽樣答案:D43.直線m的傾斜角為30°,則此直線的斜率等于()A.12B.1C.33D.3答案:因?yàn)橹本€的斜率k和傾斜角θ的關(guān)系是:k=tanθ∴傾斜角為30°時(shí),對(duì)應(yīng)的斜率k=tan30°=33故選:C.44.在程序語(yǔ)言中,下列符號(hào)分別表示什么運(yùn)算*;\;∧;SQR;ABS?答案:“*”表示乘法運(yùn)算;“\”表示除法運(yùn)算;“∧”表示乘方運(yùn)算;“SQR()”表示求算術(shù)平方根運(yùn)算;“ABS()”表示求絕對(duì)值運(yùn)算.45.(文)函數(shù)f(x)=x+2x(x∈(0
,
2
]
)的值域是______.答案:f(x)=x+2x≥
22當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)該函數(shù)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,2]上單調(diào)遞增∴當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取最小值22,x趨近0時(shí),函數(shù)值趨近無窮大故函數(shù)f(x)=x+2x(x∈(0
,
2
]
)的值域是[22,+∞)故為:[22,+∞)46.
若向量,滿足||=||=2,與的夾角為60°,則|+|=()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B47.用反證法證明:已知x,y∈R,且x+y>2,則x,y中至少有一個(gè)大于1.答案:證明:用反證法,假設(shè)x,y均不大于1,即x≤1且y≤1,則x+y≤2,這與已知條件x+y>2矛盾,∴x,y中至少有一個(gè)大于1,即原命題得證.48.已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是11,(1)求矩陣A.(2)β=40,求A5β.答案:(1)設(shè)A=abcd,由abcd10=23得,a=2c=3,由abcd11=311=33得,a+b=3c+d=3,所以b=1d=0所以A=2130.
7分(2)A=2130的特征多項(xiàng)式為f(λ)=.λ-2-1-3λ.=
(λ
-3)(λ+1)令f(λ)=0,可得λ1=3,λ2=-1,λ1=3時(shí),α1=11,λ2=-1時(shí),α2=1-3令β=mα1+α2,則β=40=3α1+α2,A5β=3×35α1-α2=36-136+3…14分.49.由直角△ABC勾上一點(diǎn)D作弦AB的垂線交弦于E,交股的延長(zhǎng)線于F,交外接圓于G,求證:EG為EA和EB的比例中項(xiàng),又為ED和EF的比例中項(xiàng).
答案:證明:連接GA、GB,則△AGB也是一個(gè)直角三角形,因?yàn)镋G為直角△AGB的斜邊AB上的高,所以,EG為EA和EB的比例中項(xiàng),即EG2=EA?EB∵∠AFE=∠ABC,∴直角△AEF∽直角△DEB,EAEF=EDEB即EA?EB=ED?EF.又∵EG2=EA?EB,∴EG2=ED?EF(等量代換),故EG也是ED和EF的比例中項(xiàng).50.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后輸出的k的值是()A.4B.5C.6D.7答案:根據(jù)流程圖所示的順序,程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:是否繼續(xù)循環(huán)
S
K循環(huán)前/0
0第一圈
是
1
1第二圈
是
3
2第三圈
是
11
3第四圈
是
20594第五圈
否∴最終輸出結(jié)果k=4故為A第3卷一.綜合題(共50題)1.化簡(jiǎn):AB+CD+BC=______.答案:如圖:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故為:AD.2.已知向量表示“向東航行1km”,向量表示“向南航行1km”,則向量表示()
A向東南航行km
B.向東南航行2km
C.向東北航行km
D.向東北航行2km答案:A3.在△ABC中,已知向量=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),則△ABC的面積等于()
A.
B.
C.
D.
答案:A4.若則實(shí)數(shù)λ的值是()
A.
B.
C.
D.答案:D5.把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次,事件A=“第一次出現(xiàn)正面”,事件B=“第二次出現(xiàn)正面”,則P(B|A)等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:A6.如圖,AC、BC分別是直角三角形ABC的兩條直角邊,且AC=3,BC=4,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于D,則BD=______.答案:連CD,在Rt△ABC中,因?yàn)锳C、BC的長(zhǎng)分別為3cm、4cm,所以AB=5cm,∵AC為直徑,∴∠ADC=90°,∵∠B公共角,可得Rt△BDC∽R(shí)t△BCA,∴BD=165,故為:1657.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.答案:根據(jù)柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13時(shí),(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值為18因此,3a+1+3b+1+3c+1的最大值為18=328.已知某幾何體的三視圖如圖,畫出它的直觀圖,求該幾何體的表面積和體積.答案:由三視圖可知:該幾何體是由下面長(zhǎng)、寬、高分別為4、4、2的長(zhǎng)方體,上面為高是2、底面是邊長(zhǎng)分別為4、4的矩形的四棱錐,而組成的幾何體.它的直觀圖如圖.∴S表面積=4×2×4+4×4+4×12×4×22=48+162.V體積=4×4×2+13×4×4×2=1283.9.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:如圖,同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為a24.類比到空間,有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為______.答案:∵同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為a24,類比到空間有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為a38,故為a38.10.△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,那么△ABC的斜二測(cè)平面直觀圖△A′B′C′的面積為(
)
A.
B.
C.
D.答案:D11.若向量n與直線l垂直,則稱向量n為直線l的法向量.直線x+2y+3=0的一個(gè)法向量為()
A.(2,-1)
B.(1,-2)
C.(2,1)
D.(1,2)答案:D12.(選做題)方程ρ=cosθ與(t為參數(shù))分別表示何種曲線(
)。答案:圓,雙曲線13.已知三個(gè)向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?答案:解:實(shí)數(shù)λ,μ,使p=λq+μr,則a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c∵a,b,c不共面,∴∴即存在實(shí)數(shù),,使p=λq+μr,故向量p、q、r共面.14.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的圖形是()
A.都是兩個(gè)點(diǎn)
B.一條直線和一個(gè)圓
C.前者為兩個(gè)點(diǎn),后者是一條直線和一個(gè)圓
D.前者是一條直線和一個(gè)圓,后者是兩個(gè)圓答案:D15.若a,b∈R,求證:≤+.答案:證明略解析:證明
當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|≠0時(shí),由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.16.(x+1)4的展開式中x2的系數(shù)為()A.4B.6C.10D.20答案:(x+1)4的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C4rxr令r=2得T3=C42x2=6x∴展開式中x2的系數(shù)為6故選項(xiàng)為B17.如圖,在Rt△ABC中,已知∠ABC=90°,BC=6,以AB為直徑作⊙O,連接OC,過點(diǎn)C作⊙O的切線CD,D為切點(diǎn),若sin∠OCD=45,則直徑AB=______.答案:連接OD,則OD⊥CD.∵∠ABC=90°,∴CD、CB為⊙O的兩條切線.∴根據(jù)切線長(zhǎng)定理得:CD=BC=6.在Rt△OCD中,sin∠OCD=45,∴tan∠OCD=43,OD=tan∠OCD×CD=8.∴AB=2OD=16.故為16.18.若隨機(jī)變量X~B(5,12),那么P(X≤1)=______.答案:P(X≤1)=C06(12)0(12)6+C16(12)1(12)5=316故為:31619.為了參加奧運(yùn)會(huì),對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度的數(shù)據(jù)如表所示:
甲273830373531乙332938342836請(qǐng)判斷:誰(shuí)參加這項(xiàng)重大比賽更合適,并闡述理由.答案:.X甲=27+38+30+37+35+316=33S甲=946≈3.958,(
4分).X乙=33+29+38+34+28+366=33S乙=383≈3.559(8分).X甲=.X乙,S甲>S乙
(10分)乙參加更合適
(12分)20.兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是()
A.內(nèi)切
B.相交
C.外切
D.外離答案:B21.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是______.答案:由點(diǎn)的極坐標(biāo)的意義可得,點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)到極點(diǎn)的距離等于ρ,極角為π+θ,故點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ,π+θ),故為(ρ,π+θ).22.設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1),如果f(x1+x2+…+x2009)=8,那么f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)的值等于()A.32B.64C.16D.8答案:f(x1+x2+…+x2009)=8可得ax1+x2+…+x2009=8f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)=a2(x1+x2+…+x2009)=82=64故選B.23.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合為______.答案:∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn),橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0,∴在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點(diǎn)組成的集合為{(x,y)|x<0且y>0},故為:{(x,y)|x<0且y>0}.24.已知函數(shù)f(x)=ax2+(a+3)x+2在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:∵f(x)=ax2+(a+3)x+2,∴f′(x)=2ax+a+3,∵函數(shù)f(x)=ax2+x+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),∴f′(x)=2ax+a+3≥0在區(qū)間[1,+∞)恒成立.∴a≥02a×1+a+3≥0,解得a≥0,故為:a≥0.25.α為第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:若α為第一象限角,則sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,則①sinα>0,cosα>0,此時(shí)α為第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此時(shí)α為第三象限角.所以α為第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要條件.故選A.26.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=1x有相同定義域的是()A.f(x)=lnxB.f(x)=1xC.f(x)=x3D.f(x)=ex答案:∵函數(shù)y=1x,∴x>0,A、∵f(x)=lnx,∴x>0,故A正確;B、∵f(x)=1x,∴x≠0,故B錯(cuò)誤;C、f(x)=x3,其定義域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤;D、f(x)=ex,其定義域?yàn)镽,故D錯(cuò)誤;故選A.27.已知a,b,c是空間的一個(gè)基底,且實(shí)數(shù)x,y,z使xa+yb+zc=0,則x2+y2+z2=______.答案:∵a,b,c是空間的一個(gè)基底∴a,b,c兩兩不共線∵xa+yb+zc=0∴x=y=z=0∴x2+y2+z2=0故為:028.不等式﹣2x+1>0的解集是(
).答案:{x|x<}29.有以下四個(gè)結(jié)論:
①lg(lg10)=0;
②lg(lne)=0;
③若e=lnx,則x=e2;
④ln(lg1)=0.
其中正確的是()
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.②③④答案:A30.直線(x+1)a+(y+1)b=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是______.答案:直線(x+1)a+(y+1)b=0化為ax+by+(a+b)=0,所以圓心點(diǎn)到直線的距離d=|a+b|a2+b2=a2+b2+2aba2+b2≤2(a2+b2)a2+b2=2.所以直線(x+1)a+(y+1)b=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是:相交或相切.故為:相交或相切.31.已知向量=(x,1),=(3,6),且⊥,則實(shí)數(shù)x的值為()
A.
B.-2
C.2
D.-答案:B32.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用()
①結(jié)論相反的判斷,即假設(shè)
②原命題的條件
③公理、定理、定義等
④原結(jié)論
A.①②
B.①②④
C.①②③
D.②③答案:C33.一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球,
(1)從中任取4個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種?
(2)若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,從中任取5個(gè)球,使總分不少于7分的取法有多少種?答案:解(1)由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題,將取出4個(gè)球分成三類情況取4個(gè)紅球,沒有白球,有C44種取3個(gè)紅球1個(gè)白球,有C43C61種;取2個(gè)紅球2個(gè)白球,有C42C62,∴C44+C43C61+C42C62=115種(2)設(shè)取x個(gè)紅球,y個(gè)白球,則x+y=5(0≤x≤4)2x+y≥7(0≤y≤6)∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1∴符合題意的取法種數(shù)有C42C63+C43C62+C44C61=186種34.某校為提高教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn),設(shè)有試驗(yàn)班和對(duì)照班.經(jīng)過兩個(gè)月的教學(xué)試驗(yàn),進(jìn)行了一次檢測(cè),試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下的2×2列聯(lián)表所示(單位:人),則其中m=______,n=______.
80及80分以下80分以上合計(jì)試驗(yàn)班321850對(duì)照班12m50合計(jì)4456n答案:由題意,18+m=56,50+50=n,∴m=38.n=100,故為38,010.35.(1)把二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù);(2)把化為二進(jìn)制數(shù).答案:(1)45,(2)解析:(1)先把二進(jìn)制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式,再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果;(2)根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則,可以用連續(xù)去除或所得商,然后取余數(shù).(1)(2),,,,.所以..這種算法叫做除2余法,還可以用下面的除法算式表示;把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列,得到【名師指引】直接插入排序和冒泡排序是兩種常用的排序方法,通過該例,我們對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),直接插入排序比冒泡排序更有效一些,執(zhí)行的操作步驟更少一些..36.已知定直線l及定點(diǎn)A(A不在l上),n為過點(diǎn)A且垂直于l的直線,設(shè)N為l上任意一點(diǎn),線段AN的垂直平分線交n于B,點(diǎn)B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為P,求證:點(diǎn)P的軌跡為拋物線.答案:證明:如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,并且連結(jié)PA,PN,NB.由題意知PB垂直平分AN,且點(diǎn)B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為P,∴AN也垂直平分PB.∴四邊形PABN為菱形,∴PA=PN.∵AB⊥l,∴PN⊥l.故點(diǎn)P符合拋物線上點(diǎn)的條件:到定點(diǎn)A的距離和到定直線l的距離相等,∴點(diǎn)P的軌跡為拋物線.37.在某電視歌曲大獎(jiǎng)賽中,最有六位選手爭(zhēng)奪一個(gè)特別獎(jiǎng),觀眾A,B,C,D猜測(cè)如下:A說:獲獎(jiǎng)的不是1號(hào)就是2號(hào);A說:獲獎(jiǎng)的不可能是3號(hào);C說:4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)都不可能獲獎(jiǎng);D說:獲獎(jiǎng)的是4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)中的一個(gè).比賽結(jié)果表明,四個(gè)人中恰好有一個(gè)人猜對(duì),則猜對(duì)者一定是觀眾
獲特別獎(jiǎng)的是
號(hào)選手.答案:C,3.解析:推理如下:因?yàn)橹挥幸蝗瞬聦?duì),而C與D互相否定,故C、D中一人猜對(duì)。假設(shè)D對(duì),則推出B也對(duì),與題設(shè)矛盾,故D猜錯(cuò),所以猜對(duì)者一定是C;于是B一定猜錯(cuò),故獲獎(jiǎng)?wù)呤?號(hào)選手(此時(shí)A錯(cuò)).38.如圖,梯形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB∥CD,AB為直徑,DO平分∠ADC,則∠DAO的度數(shù)是
______.答案:∵DO平分∠ADC,∴∠CDO=∠ODA;∵OD=OA,∴∠A=∠ADO=12∠ADC;∵AB∥CD,∴∠A+∠ADC=3∠A=180°,即∠A=∠ADO=60°.故為:60°39.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)
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