理論力學(xué)-理力講稿16原理

第16章達(dá)朗貝爾原理返回總目錄TheoreticalMechanics主講郭翔第三篇動力學(xué)

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第16章達(dá)朗貝爾原理16.1質(zhì)點和質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理16.2剛體慣性力系的簡化16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics

第16章達(dá)朗貝爾原理

引進(jìn)慣性力的概念，將動力學(xué)系統(tǒng)的二階運動量表示為慣性力，并應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動力學(xué)問題——達(dá)朗貝爾原理。它將非自由質(zhì)點系的動力學(xué)方程用靜力學(xué)平衡方程的形式寫出來。這種處理動力學(xué)問題的方法又叫做動靜法。它廣泛應(yīng)用于剛體動力學(xué)求解動約束力。引言

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第16章達(dá)朗貝爾原理16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理16.1.2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理

返回首頁TheoreticalMechanics16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理FNFRFaxzyOmA非自由質(zhì)點Am——質(zhì)量；sS——運動軌跡；FN——約束力；F——主動力；

返回首頁TheoreticalMechanicsFI根據(jù)牛頓定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0F+FN

＋FI

＝0非自由質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理FNFRFaxzyOmAsFI

＝－ma慣性力TheoreticalMechanicsF＋FN＋FI=0：質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理

-在質(zhì)點運動的任意瞬時，如果在其質(zhì)點上假想地加上一慣性力FI，則此慣性力與主動力、約束力在形式上組成一平衡力系。討論

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics對于質(zhì)點本身，慣性力是假想的。但確有大小等于ma的力-ma存在，它作用在使質(zhì)點運動狀態(tài)發(fā)生改變的物體上。例如，人推車前進(jìn)，這個力向后作用在人手上。正是通過這個力，我們感到了物體運動的慣性，稱這個力為慣性力。慣性力

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanicsF+FN

＋

FI

＝0應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理求解非自由質(zhì)點動約束力的方法動靜法1.分析質(zhì)點所受的主動力和約束力；2.分析質(zhì)點的運動，確定加速度；3.在質(zhì)點上施加與加速度方向相反的慣性力。質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics非自由質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理的投影形式

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理16.1.1質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics16.1.2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2質(zhì)點系的主動力系質(zhì)點系的約束力系質(zhì)點系的慣性力系

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics

在質(zhì)點系中，取質(zhì)量為mi的質(zhì)點研究。a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2由質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理可知，F(xiàn)Ii、Fi、FNi將組成一平衡力系。

返回首頁16.1.2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理16.1達(dá)朗貝爾原理在任意瞬時，該質(zhì)點在主動力Fi、約束力FNi作用下，加速度為ai。在此質(zhì)點上假想地加上一慣性力FIi＝–miai

Fi

+FNi

＋

FIi

＝0TheoreticalMechanicsa2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2對于整個質(zhì)點系來說，在運動的任意瞬時，虛加于質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力與作用于該系上的主動力、約束力將組成一平衡力系。

返回首頁16.1.2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理：在運動的任意瞬時，虛加于質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力與作用于該系上的外力將組成一平衡力系。對質(zhì)點系應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，由動靜法得到另一種表示

返回首頁16.1.2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics例題例球磨機(jī)的滾筒以勻角速度繞水平軸O轉(zhuǎn)動，內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料。鋼球被筒壁帶到一定高度的A處脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r，試求脫離處半徑OA與鉛直線的夾角1（脫離角）。解：以隨著筒壁一起轉(zhuǎn)動、尚未脫離筒壁的某個鋼球為研究對象，它所受到的力有重力P、筒壁的法向約束力FN和切向摩擦力F及慣性力FI，如圖所示。

返回首頁16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics鋼球隨著筒壁作勻速圓周運動，只有法向慣性力ＦI，大小，方向背離中心O。列出沿法線方向的平衡方程：脫離角當(dāng)時，1＝0，鋼球始終不脫離筒壁，球磨機(jī)不工作。

鋼球不脫離筒壁的角速度

為了保證鋼球在適當(dāng)?shù)慕嵌让撾x筒壁，故要求

返回首頁例題16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics例質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用球鉸鏈A和繩子BC與鉛直軸OD相連，繩子在C點與重量可略去的小環(huán)相連，小環(huán)可沿軸滑動，如圖示。設(shè)AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，該系統(tǒng)以角速度勻速轉(zhuǎn)動，求繩子的張力、鉸鏈A的約束力及軸承O、D的附加動約束力。

解：研究AB桿，畫受力圖其作用點在距A點AB處首先將AB桿上三角形分布的慣性力簡化

返回首頁例題16.1達(dá)朗貝爾原理TheoreticalMechanics由達(dá)朗貝爾原理

返回首頁例題16.1達(dá)朗貝爾原理研究整體，畫受力圖，由達(dá)朗貝爾原理解得

FOy＝mg

附加動約束力為TheoreticalMechanics

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第16章達(dá)朗貝爾原理16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics16.2剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的特點

剛體慣性力的分布與剛體的質(zhì)量分布以及剛體上各點的絕對加速度有關(guān)。FIi＝－miai

對于平面問題，剛體的慣性力為面積力，組成平面力系。對于一般問題，剛體的慣性力為體積力，組成空間一般力系。在用達(dá)朗伯原理研究剛體的運動時，必須研究其簡化問題，并以剛體質(zhì)心為簡化中心。

返回首頁TheoreticalMechanics剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關(guān)慣性力系的主矢慣性力系的主矢等于剛體的質(zhì)量與剛體質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。這一簡化結(jié)果與運動形式無關(guān)。把剛體質(zhì)心坐標(biāo)公式對時間取二階導(dǎo)數(shù)得：

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關(guān)慣性力系的主矩過C作平動坐標(biāo)系，將剛體運動分解為平動及轉(zhuǎn)動LC為剛體相對質(zhì)心的動量矩

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics1.平移剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質(zhì)心的合力。其方向與平移加速度的方向相反，大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘積。

剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關(guān)慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關(guān)以剛體質(zhì)心為簡化中心

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics2.定軸轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)軸上任一點O簡化主矢主矩：以簡化中心O為坐標(biāo)原點。設(shè)剛體的角速度為，角加速度為，剛體內(nèi)任一質(zhì)點的質(zhì)量為mi，到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為ri，質(zhì)點的坐標(biāo)為xi、yi、zi。

質(zhì)點的慣性力分解為切向慣性力

法向慣性力

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics慣性力系對x軸的矩慣性積慣性力系對于y軸的矩

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics慣性力系對z軸的矩轉(zhuǎn)動慣量

結(jié)論：當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸上任一點簡化得一個力和一個力偶。這個力等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反；這個力偶的矩矢在直角坐標(biāo)軸上的投影，分別等于慣性力系對于三個軸的矩。

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics如果剛體有對稱平面S，并且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直，則慣性力系簡化為在對稱面內(nèi)的平面力系。2.定軸轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)軸上點O簡化主矢：主矩：對稱平面的剛體繞垂直于該平面的軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系簡化為在平面內(nèi)的一個力和一個力偶。

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics3.平面運動以剛體質(zhì)心為簡化中心主矢：主矩：MI=–IC

具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與質(zhì)量對稱平面互相平行。這種情形下，慣性力系向質(zhì)心簡化的結(jié)果得到一個合力和一個合力偶，二者都位于質(zhì)量對稱平面內(nèi)。

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體對通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方向相反。合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。MI=–IC

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics

剛體慣性力系的簡化結(jié)果

剛體慣性力系的主矢與剛體運動形式無關(guān)1.平行移動2.定軸轉(zhuǎn)動3.平面運動

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慣性力系的主矩

——慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關(guān)。2.定軸轉(zhuǎn)動3.平面運動

剛體慣性力系的簡化結(jié)果

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化1.平行移動TheoreticalMechanics例題例長度為、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB靜置于半徑為r的光滑圓槽內(nèi)。當(dāng)圓槽以勻加速度a在水平面上運動時，AB桿的平衡位置用角表示。如果要求AB桿在＝30時保持平衡，試求此時圓槽的加速度a應(yīng)該多大？作用在AB桿上的約束力FAR、FBR分別是多少？不計摩擦。

解：這是剛體的平行移動問題，研究桿AB，畫受力圖，其中慣性力為

返回首頁16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics桿AB慣性力為由達(dá)朗貝爾原理∴FAR＝FBR

；解得：a＝2.625m/s2

；0.732mg

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化解法2:三力平衡匯交定理TheoreticalMechanics例圖示圓輪的質(zhì)量m＝2kg，半徑r＝150mm，質(zhì)心離幾何中心O的距離e＝50mm，輪對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑＝75mm。當(dāng)輪滾而不滑時，它的角速度是變化的。在圖示C、O位于同一高度之瞬時，＝12rad/s。求此時輪的角加速度。解：這是剛體的平面運動問題，研究圓輪。設(shè)角加速度和受力分析如圖所示，其中

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics由達(dá)朗貝爾原理由運動學(xué)關(guān)系

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化直接對接觸點取矩更簡單！TheoreticalMechanics得負(fù)號表示方向與圖示方向相反。

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics例圖中均質(zhì)桿AB的長度為l，質(zhì)量為m，可繞O軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，OA=，用細(xì)線靜止懸掛在圖示水平位置。若將細(xì)線突然剪斷，求AB桿運動到與水平線成角時轉(zhuǎn)軸O的約束力。

解：設(shè)AB桿轉(zhuǎn)至角位置時，角速度、角加速度為、。質(zhì)心C至轉(zhuǎn)軸O的距離OC=，因此質(zhì)心的加速度、桿對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics虛加于轉(zhuǎn)軸O處的慣性力主矢、主矩，大小為它們與重力mg，軸承約束力FOx、FOy在形式上組成一平衡力系。由達(dá)朗貝爾原理

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化注意取矩點的選取和投影軸方向的選取TheoreticalMechanics分離變量、積分，即

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化TheoreticalMechanics解得AB桿轉(zhuǎn)動至角位置時的軸承約束力

由此可以看出，運用達(dá)朗貝爾原理，可用平衡方程的形式建立動力學(xué)方程式，為了求解角速度，仍需進(jìn)行積分計算。也可先用動能定理解出，再用達(dá)朗貝爾原理解出FOx、FOy。這種做法具有一定的普遍意義(why)。

返回首頁例題16.2剛體慣性力系的簡化注意：能否選擇向質(zhì)心簡化？是否便捷？TheoreticalMechanics

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第16章達(dá)朗貝爾原理16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力在工程實際中，通常將轉(zhuǎn)動機(jī)械的轉(zhuǎn)動部件稱為轉(zhuǎn)子。如果忽略其本身的變形，轉(zhuǎn)子是定軸轉(zhuǎn)動的剛體。轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)時，由于偏心和偏角誤差將產(chǎn)生慣性力。動壓力：轉(zhuǎn)子處于運行狀態(tài)作用于軸承上的力；靜壓力：轉(zhuǎn)子處于靜止?fàn)顟B(tài)作用于軸承上的力；附加動壓力：動壓力與靜壓力之差。如果考慮軸承對轉(zhuǎn)子的作用，則分別稱為靜約束力、動約束力和附加動約束力。

返回首頁TheoreticalMechanics附加動約束力的計算方法

在一般情況下，剛體在主動力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用下繞定軸AB轉(zhuǎn)動。質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、慣性積分別為C(xC、yC、zC)、Iz、Ixz、Iyz。軸承動約束力分別為FAx、FAy、FAz、FBx、FBy。在圖示瞬時，設(shè)動坐標(biāo)系的角位移、角速度、角加速度分別為

=

k，=

k，=

k。

A

返回首頁16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力ATheoreticalMechanics剛體上的慣性力系向A點簡化的主矢和主矩為根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，它們與主動力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，約束力FAx、FAy、FAz、FBx、Fby在形式上組成一空間的平衡力系，平衡方程為：

返回首頁16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics平衡方程：A此方程組的最后一個方程式不包含軸承約束力，這表明慣性力主矩只作用在促使該剛體加速（或減速）轉(zhuǎn)動的物體上。

返回首頁16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics求出此瞬時軸承的動約束力：軸承動約束力由兩部分組成：一是由主動力引起的，與運動無關(guān)，為靜約束力；二是由慣性力主矢、主矩引起的，為附加動約束力。

返回首頁16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics消除附加動約束力，有效地控制：滿足以下條件時，才能消除附加動約束力

xC＝y(tǒng)C＝0Ixz＝Iyz＝0 即：為了消除軸承的附加動約束力，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的轉(zhuǎn)軸必須是中心慣性主軸。

返回首頁16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics例題例一電機(jī)水平放置，轉(zhuǎn)子質(zhì)量m＝300kg，對其轉(zhuǎn)軸z的回轉(zhuǎn)半徑＝0.2m。質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸e＝2mm。已知該電機(jī)在起動過程中的起動力矩M＝150kN·m，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)至圖示的瞬時位置，轉(zhuǎn)速n＝2400r/min。試求此瞬時轉(zhuǎn)子的角加速度和軸承的動約束力。不計軸承的摩擦。解：首先，運用方程組中的最后一個方程式，計算圖示瞬時的角加速度，即

返回首頁16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics而此瞬時的角速度為由此可得質(zhì)心C的加速度：慣性力系向O點簡化的主矢、主矩為方向如圖

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根據(jù)空間力系的平衡條件，列平衡方程并計算軸承約束力為

返回首頁例題16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics在y向的靜約束力和附加動約束力分別為

返回首頁例題16.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力TheoreticalMechanics附加動約束力與靜約束力之比為

由此可見，僅僅由于質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸2mm，軸承的附加動約束力竟高達(dá)靜約束力的12.89倍。這說明，在制造安裝轉(zhuǎn)速比較高的轉(zhuǎn)子時，必須盡量減小質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸的距離e。

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第16章達(dá)朗貝爾原理16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics16.4靜平衡和動平衡簡介16.4.1轉(zhuǎn)子質(zhì)量均衡的調(diào)試為了消除繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承附加動約束力，剛體的轉(zhuǎn)軸必須是中心慣性主軸。為此，需要對轉(zhuǎn)子部件進(jìn)行質(zhì)量均衡調(diào)試工作。通過調(diào)試，改變轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分布狀況，使其轉(zhuǎn)軸成為中心慣性主軸，或者接近于中心慣性主軸。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量均衡調(diào)試工作分兩大類：一是在非運轉(zhuǎn)條件下調(diào)試轉(zhuǎn)子，稱為靜平衡，它只能將轉(zhuǎn)子的質(zhì)心足夠精確地調(diào)至轉(zhuǎn)軸上；二是在運轉(zhuǎn)條件下調(diào)試轉(zhuǎn)子，稱為動平衡，它能將轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)軸足夠精確地調(diào)試成為中心慣性主軸。

返回首頁TheoreticalMechanics16.4.2靜平衡靜平衡就是校正轉(zhuǎn)子質(zhì)心的位置。校正轉(zhuǎn)子靜平衡的方法：將轉(zhuǎn)子放在靜平衡架的水平刀口上，使其自由滾動或住復(fù)擺動，當(dāng)轉(zhuǎn)子停止轉(zhuǎn)動時，可把校正用的平衡重量附加在轉(zhuǎn)子的上（輕）邊；再讓其滾動或擺動，試驗校正反復(fù)多次，直至轉(zhuǎn)子能夠達(dá)到隨遇平衡時為止，然后按所加平衡重量的大小和位置，在適當(dāng)位置焊上錫塊或鑲上鉛塊，也可以在轉(zhuǎn)子重的—邊用鉆孔的方法去掉相當(dāng)?shù)闹亓?，使校正后的轉(zhuǎn)子不再偏心，即達(dá)到靜平衡。

返回首頁16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics原理：設(shè)轉(zhuǎn)子重G，偏心距為e，平衡重量為P，距軸O的距離為l，當(dāng)部件處于隨遇平衡時，有

平衡重量P與l的乘積Pl稱為重徑積，它表示轉(zhuǎn)動部件的不平衡程度。實際上，靜平衡校正的精度不可能很高，因此靜平衡方法僅適用于軸向尺寸不大、要求不高、轉(zhuǎn)速一般的轉(zhuǎn)子或為動平衡校正作初步平衡。

返回首頁16.4.2靜平衡16.4靜平衡和動平衡簡介TheoreticalMechanics16.4.3動平衡

若轉(zhuǎn)子的軸向尺寸較大，尤其是形狀不對稱的或轉(zhuǎn)速很高的轉(zhuǎn)子，雖然作了